期末复习：浙教版九年级数学学下册 第一章 解直角三角形
一、单选题（共10题；共30分）
1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（ ）
A. 32 B. 55 C. 33 D. 12
2.已知tanA=1，则锐角A的度数是
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cosA的值为( )
A. 55 B. 255 C. 12 D. 2
4.如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（ ）
A. 30 3 m B. 20 5 m C. 30 2 m D. 15 6 m
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（ ）
A. 53 B. 255 C. 52 D. 23
6.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（ ）
A. 20海里 B. 40海里 C. 203海里 D. 403海里
7.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A. msin35° B. mcos35° C. msin35° D. mcos35°
8.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（ ）
A. 24° B. 34° C. 44° D. 46°
9.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= 34 ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
10.如图，已知 BD 是 △ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90° ， AD=3 ，则 CE 的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 33
二、填空题（共8题；共24分）
11.计算：3tan30°+sin45°=________．
12.计算：（ 12 ）﹣2﹣|1﹣ 3 |﹣（π﹣2015）0﹣2sin60°+ 12 =________．
13.如果∠A是锐角，且sinA= 12 ，那么∠A=________゜．
14.B在A北偏东30°方向（距A）2千米处，C在B的正东方向（距B）2千米处，则C和A之间的距离为________ 千米．
15.如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正半轴的夹角α的余弦值是________
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=34 ， 则BC的长是________
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是________．
18.如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= 32 x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= 32 x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
三、解答题（共9题；共66分）
19.计算： 12-|-2|+(1-3)0-9tan30°
20.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向 北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB,CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上.在 C 点测得点 A 的仰角为 300 ，点 E 的俯角也为 300 ，测得 B,E 间的距离为10米，立柱 AB 高30米.求立柱 CD 的高（结果保留根号）.
22.小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（B,F,D在同一条直线上）。一直小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据： 3 ≈1.732， 2 ≈1.414，结果保留整数）
23.如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）．
24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．
25.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数） （参考数据：sin35°≈ 712 ，cos35°≈ 56 ，tan35°≈ 710 ）
26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sin A= 35 ,求DE的长度.
27.如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
cosB= BCAB=12 ．
故答案为：D．
【分析】根据余弦函数的定义即可直接得出答案。
2.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】易知α=45°时，sinα=22，cosα=22，tanα=1，cot=1。
可知锐角A=45°。
【点评】本题难度较低，主要考查学生对特殊三角函数知识点的掌握。要求学生熟背各特殊角的三角函数值。
3.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= 5 ，
∴cosA= 25=255
故答案为：B．
【分析】利用三角函数的定义，直角三角形中，∠A的邻边比斜边等于余弦.
4.【答案】D
【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH= 32 ×30=15 3 ，
∴AD= 2 DH=15 6 m．
答：从A地到D地的距离是15 6 m．
故答案为：D．
【分析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从A地到D地的距离．
5.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB=AB2+BC2=22+12=5 ，
由余角的性质，得∠ACD=∠B，
由正弦函数的定义，得
sin∠ACD=sin∠B=ACAB=25=255 ，
故选：B．
【分析】根据勾股定理，可得AB，根据余角的性质，可得∠ACD=∠B，再根据等角的三角函数相等，可得答案．
6.【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=40海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=CDBC ，
∴sin60°=CDBC ，
∴CD=40×sin60°=40×32=203（海里）．
故选：C．
【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．
7.【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：解：sin∠A= BCAB ，
AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
8.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】∵两个锐角和是90°，
∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，
设一个锐角为x ， 则另一个锐角为90°-x ，
得：90°-x-x=22°，
得：x=34°.
故选B.
【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x ， 则另一个为90°-x ， 即可求出最小的锐角度数.
9.【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= 34 ，AB=6cm，
∴ ABBC=6BC = 34 ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= 12 ×BP×BQ= 12 ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：
0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
10.【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE=CD×cos∠C= 33 ，
故答案为：D
【分析】根据垂直平分线的性质定理得出DB=DC，根据等边对等角得出∠C=∠DBC，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，根据直角三角形两锐角互余得出∠C+∠ABD+∠DBC=90°，进而得出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据含30º角的直角三角形的边之间的关系得出BD=2AD=6，故CD=6，根据余弦函数的定义，由CE=CD×cos∠C即可算出答案。
二、填空题
11.【答案】3+22
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】3tan30°+sin45°= 3×33+22 = 3+22 .
故答案为： 3+22
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。即原式=3×33+22=3+22.
12.【答案】4
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=4- (3-1) -1-2 ×32 + 23
=4- 3+1-1-3+23
=4，
故答案为：4.
【分析】根据实数的运算性质即可求解。
13.【答案】30
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA= 12 ，
∴∠A=30°．
故答案为：30．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值判断.熟记特殊角的三角函数值是关键.
14.【答案】 2 3
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，
∵B在A北偏东30°方向，
∴∠BAE=60°，
∴∠ABC=180°﹣60°=120°．
∵AB=BC=2，
∴∠BAD=∠BCD=30°，AD=CD，
∴AD=AB•cos30°=2×32=3 ，
∴AC=2AD=23（千米）．
故答案为：23 ．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BCD=30°，AD=CD，再由AD=AB•cos30°即可得出AD的长，进而得出结论．
15.【答案】35
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作QA⊥x轴于点A．
则OA=3，QA=4，
在直角△OAQ中，OQ=OA2+QA2=32+42=5，
则cosα=OAOQ=35 ．
故答案是：35 ．
【分析】作QA⊥x轴于点A，在直角△OAQ中利用勾股定理求得OQ的长，然后根据余弦的定义求解．
16.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAB ，
∴BC8=34 ，
解得BC=6．
故答案为：6．
【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
17.【答案】45
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= 52-32 =4，
∴cosA= ACAB = 45 ．
故答案为： 45 ．
【分析】在△ABC中，根据勾股定理可得出AC值，再由锐角三角函数余弦定义即可得出答案.
18.【答案】(233)n-1
【考点】解直角三角形，探索图形规律，与一次函数有关的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵AnBn+1∥x轴，
∴tan∠AnBn+1Bn= 32 ．
当x=1时，y= 32 x= 32 ，
∴点B1的坐标为（1， 32 ），
∴A1B1=1﹣ 32 ，A1B2= A1B132 = 233 ﹣1．
∵1+A1B2= 233 ，
∴点A2的坐标为（ 233 ， 233 ），点B2的坐标为（ 233 ，1），
∴A2B2= 233 ﹣1，A2B3= A2B232 = 43 ﹣ 233 ，
∴点A3的坐标为（ 43 ， 43 ），点B3的坐标为（ 43 ， 233 ）．
同理，可得：点An的坐标为（ (233)n-1 ， (233)n-1 ）．
故答案为： (233)n-1 ．
【分析】根据两直线与坐标点的特点由三角函数值求出点B1的坐标，从而求出A1B1的值，根据解直角三角形求出A2B2的值，探索规律求出An的坐标；此题规律性较强，计算复杂需仔细认真.
三、解答题
19.【答案】
-1-3
【考点】绝对值及有理数的绝对值，实数的运算，0指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=23-2+1-9×33
=23-2+1-33
=-1-3
【分析】本题涉及零指数幂，绝对值，二次根式化简，特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求得计算结果。
20.【答案】解：根据题意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．
∴AC2+AB2=BC2 ．
∴AB2=BC2-AC2=302-242=324
∴AB=18．
∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度.此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，比较简单.
21.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CF，BF=CD.
由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，
设CD=x米，则AF=（30﹣x）米，
在Rt△AFC中，FC= ABtan∠ACF=3(30-x) ，
则BD=CF= 3(30-x) ，
∴ED= 3(30-x) -10，
在Rt△CDE中，ED= CDtan∠CED=3x ，则 3(30-x) -10= 3x ，
解得，x=15﹣ 533 ，
答：立柱CD的高为（15﹣ 533 ）米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作CF⊥AB于F，此时CF//水平线，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即设CD=x，由仰角和俯角可得到∠ACF=30°，∠CED=30°，用x表示出ED两种代数式，构造方程解答即可.
22.【答案】解：延长AE交CD于点G．设CG=xm，
在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．
在直角△ACG中，AG= CGtan30°=3 xm．
∵AG-EG=AE，
∴ 3 x-x=30，
解得：x=15（ 3 +1）≈15×2．732≈40．98（m）．
则CD=40．98+1．5=42．48（m）．
答：这栋建筑物CD的高度约为42m
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】通过延长AE,把特殊角放到直角三角形中，利用三角函数用CG=x的代数式表示AG、EG，根据线段之差列出方程.
23.【答案】解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠D=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110× 32 =55 3 （米），
BE=AB•sin30°= 12 ×110=55（米），
设BF=x米，则AD=AE+ED=55 3 +x（米），
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°= 3 x（米），
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
∴DN=DF+NF=55+ 3 x（米），
即55 3 +x= 3 x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+ 3 x≈150（米），
答：山的高度约为150米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，根据余弦的定义求出AE，根据正弦的定义求出BE，设BF=x米，根据正切的定义求出NF，结合图形列出方程，解方程即可．
24.【答案】解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=420米，
∴CD=AD•tan30°=420× 33 =140 3 （米），
∴AE=CD=140 3 米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°，AE=140 3 米，
∴BE=AE•tan30°=140 3 × 33 =140（米），
∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280（米），
答：这栋楼的高度为280米．
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可知∠CAD=30°，AD=420米，在Rt△ACD中，利用解直角三角形可求出CD（CD=AE）的长，再在Rt△ABE中，求出BE的长，即可求出这栋楼的高度BC的长。
25.【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x， 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD= ，
∴ = ，
解得，x≈233m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
26.【答案】解:在Rt△ABC中，∵BC=6,sin A= 35 ,∴AB=10,∴AC= 102-62 =8.∵D是AB的中点
∴AD= 12 AB=5,∵∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°,∴△ADE∽△ACB,
∴ DEBC = ADAC ,即 DE6 = 58 ,解得:DE= 154
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由BC=6，sinA=35,可得AB=BCsinA，再由勾股定理求出AC，和AD；由∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°,得△ADE∽△ACB，则DEBC=ADAC求得DE。
27.【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE，
则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，
根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，
则在Rt△PAE和Rt△PBE中，
AE=PE⋅tan∠APE=PE⋅tan30°=33PE ， BE=PE，
而AE+BE=AB， 即 (33+1)PE=100 ， ∴PE= 50(3-3) ，
∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，
∴公路不会穿越保护区.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，只要算出PE的长，再与50比大小即可得出结论，在Rt△PAE和Rt△PBE中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AE=PE⋅tan∠APE=PE⋅tan30°，表示出AE,根据等腰直角三角形的性质得出 BE=PE，然后由AE+BE=AB，建立方程，求解即可求出PE的长。
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