解四边形专题
东城区
21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC.
（1）求证：四边形ACDE为平行四边形;
（2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3，，求线段CE的长.
21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD，
∴，.
∵AB=AE，
∴，.
∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分
(2) ∵，
∴.
∴平行四边形ACDE为菱形.
∴AD⊥CE.
∵，
∴BC⊥CE.
在Rt△EBC中，BE=6, ,
∴.
根据勾股定理，求得.----------------------5分
西城区
21．如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为．
（1）补全图形，求的度数并说明理由;
（2）若，，求的长．
10
【解析】（1）补全的图形如图所示．．
证明：由题意可知，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴．
（2）∵四边形为菱形，
∴．
在中，，，，
∴，
∴．
海淀区
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21．如图，□的对角线相交于点，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形的面积取得最大值是_______.
21．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形. ………………1分
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵,
∴.
∴平行四边形是矩形. ………………2分
∴.
∴.
∴平行四边形是菱形. ………………3分
(2) 正方形； ………………4分
2. ………………5分
丰台区
21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，FC，CA．
（1）求证：四边形AEFC为矩形；
（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，
AB = 4，求DE的长．
21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，
E
F
D
C
B
A
G
∴四边形AEFC为平行四边形. ………………………1分
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC.
∴BE=BF.
∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC.
∴四边形AEFC为矩形. ………………………2分
（2）解：连接DB.
由（1）知，AD∥EB，且AD=EB.
∴四边形AEBD为平行四边形
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∵DE⊥AB，
∴四边形AEBD为菱形.
∴AEEB，AB2AG，ED2EG. ………………………4分
∵矩形ABCD中，EBAB，AB=4，
∴AG2，AE4.
∴Rt△AEG中，EG=2.
∴ED=4. ………………………5分
（其他证法相应给分）
石景山区
21．如图，在四边形中，，，于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（1）证明：（法一）
过点B作BH⊥CE于H，如图1．
∵CE⊥AD，
∴∠BHC＝∠CED＝90°，．
∵∠BCD＝90°，
∴，
∴．
又BC＝CD
∴≌．
∴．
∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形是矩形，
∴．
∴． ………………3分
（法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略．
（2）解： ∵四边形是矩形，
∴．
∵在Rt中，,
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设，
∴．
∴．
∴,． ………………4分
∵．
∴． ………………5分
朝阳区
21. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C
作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=，求DF的长．
21.（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD.
∵E是BC中点，
∴CE＝BE.
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED.
∴CF＝BD.
∴四边形CDBF是平行四边形. ………………………2分
（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝，
∴，.
在Rt△EMB中，. ……………………3分
在Rt△EMD中，. …………………4分
∴DF＝8. ………………………………………………………5分
燕山区
23． 如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F，使得EF=BE,连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若∠BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE的面积．
23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点
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∴DE∥BC, DE=BC……………………….1′
又BE=2DE,即DE=BE
∴BC=BE 又EF=BE
∴EF∥BC, EF=BC
∴四边形BCFE是平行四边形……………………….2′
又EF=BE
∴四边形BCFE是菱形 ……………………….3′
（2）∵四边形BCFE是菱形
∴BC=BE 又∠BCF=120°
∴∠BCE=60°
∴△BCE 是等边三角形
∴连结BF交EC于点O．∴BF⊥EC
在Rt△BOC中，BO=……………………….4′
∴
∴ ……………………….5′
门头沟区
21.在矩形ABCD中，连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周长．
21. （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，……………………1分
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF． ……………2分
又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；……………3分
（2）设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线，
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∴AF=CF=x，BF=8﹣x， ………………………………………4分
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8﹣x）2=x2，
解得 x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．…………………5分
大兴区
21. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE=OC，CE=OD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．
21.（1）证明：
∵DE=OC，CE=OD，
∴四边形OCED是平行四边形 ………………………………1分
∵矩形ABCD，
∴AC=BD，OC=AC，OD=BD.
∴OC=OD.
∴平行四边形OCED是菱形 ………………………………2分
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC＝4，
∴BC=2.
∴AB=DC=.…………………………………………………3分
连接OE，交CD于点F.
∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点.
∵O为BD中点，
∴OF=BC=1.
∴OE＝2OF＝2 …………………………………………………4分
∴S菱形OCED＝OE·CD=×2×
＝…………………………………………………5分
平谷区
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．
（1）求a，k的值；
（2）连结OA，点P是函数上一点，且满足OP=OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
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21．解：（1）∵直线y=x+1经过点A（1，a），
∴a=2． 1
∴A（1,2）．
∵函数的图象经过点A（1，2），
∴k=2． 2
（2）点P的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． 5
怀柔区
21.直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，且AB=AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F.
(1)求证：∠ACB=∠DCE；
(2)若∠BAD=45°，，过点B作BG⊥FC于点G，连接DG．依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积．
21.
(1)∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分
∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE.
∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°.
∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°.
∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分
（2）补全图形,如图所示: …………………………3分
∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,
∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°,
∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.
∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE,
∴AB=BG.
∵AB=AD，∴BG=AD.
∴四边形ABGD是平行四边形.
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∵AB=AD
∴平行四边形ABGD是菱形.………………4分
设AB=BG=GD=AD=x，∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+.
∴x=， 过点B作BH⊥AD于H.
∴BH=AB=1.
∴S四边形ABDG=AD×BH=. ……………………………………………………………………5分
延庆区
21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD=3， DF=1，求四边形DBEC面积.
21．（1）在Rt△ABC中，∵CE//DC，BE//DC
∴四边形DBEC是平行四边形
∵D是AC的中点，∠ABC=90°
∴BD=DC ……1分
∴四边形DBEC是菱形 ……2分
（2）∵F是AB的中点
∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°
在Rt△AFD中, ……3分 ∴ ……4分
……5分
顺义区
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．
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21．
（1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点，
∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．…………………………… 2分
∴BD=DF．
∵BD=BC，
∴DF=BC．
又∵DF∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形．
∵BD=BC，
∴□BCFD是菱形． …………………………………………………… 3分
（2）解：∵∠A =，AD=1，BD=BC=2，
∴．
∵四边形BCFD是菱形，
∴DF=BC=2． ………………………………………………………… 4分
∴AF=AD+DF=3．
∴．……………………………… 5分
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