九年级数学下册第28章 锐角三角函数单元检测卷
时间120分钟 分数120分
一、 选择题（每小题3分计30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D )
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的10倍 D．不变
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( A )
A. B. C. D.
3.计算2cos60°的结果为( A )
A．1 B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于(B )
A. B. C. D.
5．如图K－17－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为( A )
图K－17－3
A．4 B．2 C. D.
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )
A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )
图K－22－4
A．20(＋1)米/秒 B．20(－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒
9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )
A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米
10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA
的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )
图K－20－3
A.米 B.米
C.米 D.米
二、填空题（每小题3分计18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．
[答案]
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．
[答案] 3
13.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．
[答案] 30°
14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
图K－21－5
[答案] 15.3
15.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．
[答案]4－4
16.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).
图K－22－7
[答案] (8 －5.5)
三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）
17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝＝(cm)，
∴sinA＝＝＝，
sinB＝＝＝.
即sinA＝，sinB＝.
18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
(3)求tan∠ADC的值.
图K－17－12
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB＝5，BC＝3，
∴sin∠BAC＝＝.
(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，
∴E是AC的中点，
∴OE＝BC＝.
(3)∵AC＝＝4，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝.
19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)
图K－18－4
解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，
∴cos30°＝＝，
解得CD＝40 (cm)．
即支架CD的长为40 cm.
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，
∴tan30°＝＝，
解得OC＝55 (cm)，
∴OA＝2OC＝110 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 －40 ＝15 (cm)，AB＝OA－OB＝110 －15 ＝95 (cm)．
即真空热水管AB的长为95 cm.
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠A＝60°；
(2)a＝2，b＝2
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵cosA＝，∴c＝＝＝＝20，
∴a＝＝＝10 .
(2)c＝＝＝4 .
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
21. 甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？
解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．
22.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．
(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；
(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
图K－20－12
解：(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格，则旋转角的度数为2×30°＝60°.
(2)如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设半圆圆心为O，连接OD.
∵点D在11点的刻度上，∴∠COD＝60°，
∴DE＝OD·sin60°＝2×＝(米)，
OE＝OD·cos60°＝2×＝1(米)，
∴CE＝2－1＝1(米)，
∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)．
∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米，
∴＝，
∴BF＝＝(米)，
∴AB＝BF＋DE＝＋≈5.5(米)．
答：旗杆AB的高度约为5.5米．
23. 如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．
(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据： ≈1.7)?
(1) 解：连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；
(2) 解：由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78，在Rt△ADH中，DH＝AH·cot30°＝15.∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)。答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长．
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