（文科数学解答题）2019年泉州市普通高中毕业班质量检查（3月）试题及答案解析.pdf

市质检数学（文科）试题 第 1 页（共 13 页） 保密★启用前 泉州市 2019 届普通高中毕业班第一次质量检查 文 科 数 学 2019.2 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） ABC△ 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc.已知 5b  ，   sin 2 sina b A b A C   . （1）证明： 为等腰三角形； （2）点 D 在边 AB 上， 2AD BD ， 17CD  ，求 AB . 【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等解三角形的基础知识，考查推理论证能力与运算求解 能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与 应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注． 【试题简析】 解法一：（1） 中，   sin 2 sin 2 sina b A b A C b B    ， ··········································· 1 分 由正弦定理 sin sin ab AB ，················································································ 4 分 得：   22a a b b ， 整理得：  20a b a b   ， ··········································································· 5 分 因为 20ab，所以 ab ， 所以 为等腰三角形. ··············································································· 6 分 （2）设 BD x ，则 2AD x ， 由余弦定理，得： 24 17 25cos 2 2 17 xCDA x   ， 2 17 25cos 2 17 xCDB x   ， ······································ 9 分 因为 πCDA CDB   ，所以 224 17 25 17 25 2 2 17 2 17 xx xx         ， ···························· 10 分 解得： 2x  ，所以 6AB  . ·············································································· 12 分 市质检数学（文科）试题 第 2 页（共 13 页） C BDA 解法二：（1） ABC△ 中，   sin 2 sin 2 sina b A b A C b B    ， ··········································· 1 分 由正弦定理，得： 2(sin sin )sin 2sinA B A B， ··············································· 4 分 化简得：  (sin 2sin ) sin sin 0A B A B   ， 又因为  , 0,πAB ，所以sin 2sin 0AB， 所以sin sinAB ， ·························································································· 5 分 所以 AB ，或 πAB（舍去）， 所以 为等腰三角形. ················································································ 6 分 （2）取 AB 中点 E ，连接CE ，由（1）得， 为等腰三角形，所以CE AB ， ·········· 8 分 设 BD x ， 则 2AD x， 3 2BE x ， 1 2DE x ， ································································· 9 分 由勾股定理得: 221317 2522xx            ， ························································ 11 分 解得： 2x  ，所以 6AB  . ·············································································· 12 分 E C BDA 解法三：（1）同解法一； （2）因为 2AD BD ，所以 12 33CD CA CB， ························································· 7 分 所以 2 2 21 4 4 9 9 9CD CA CA CB CB   ，所以 25 4 45 5 cos 25 179 9 9BCA        ， 8 分 所以 7cos 25BCA， ····················································································· 9 分 由余弦定理，得： 2 725 25 2 5 5 3625AB        ， ·········································· 11 分 市质检数学（文科）试题 第 3 页（共 13 页） 所以 6AB  . ·································································································· 12 分 解法四：（1）同解法一； （2）作 //DF AC 交 BC 于 F ， 2AD BD ， 则 15 33DF AC， 2 10 33CF AB ， ······························································ 7 分 由余弦定理，得： 2 2 2 cos 2 CD CF DFDCF CD CF   ， ············································· 9 分 所以 100 2517 19 1799cos 10 852 17 3 DCF      . ························································· 10 分 由余弦定理，得： 2 19 1725 17 2 17 5 485BD        ， ·································· 11 分 所以 2BD  ，所以 . ·············································································· 12 分 F C BDA 18．（12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形， 2 PDPA ， 6PB PC. （1）证明：平面 PAD 平面 ABCD； （2）若点 E 为线段 PA 的中点，求 到平面 PBC 的距离. E P CD A B 【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，体积的求解，点到面的距 离等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想 等，体现基础性、综合性与应用性，导向对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核 心素养的关注． 【试题简析】 市质检数学（文科）试题 第 4 页（共 13 页） 解法一：（1）正方形 ABCD边长为 2，所以 AB AD ， 2AB  ， ··········································· 1 分 因为 2PA  ， 6PB  ，所以 2 2 2PA AB PB，所以 AB PA ，··················· 2 分 ,PA AD  平面 PAD ， PA AD A ， ···························································· 3 分 所以 AB 平面 ， ·················································································· 4 分 因为 AB  平面 ABCD， ················································································ 5 分 所以平面 PAD 平面 ABCD. ········································································· 6 分 （2）取 AD 中点 F ，连接 PF ，CF ， 因为 2 PDPA ， 2AD  ，所以 PF AD ， 1PF  ， ································ 7 分 平面 平面 ，平面 PAD 平面 ABCD AD ， PF 平面 PAD ， （写两个即给分） ·························································································· 8 分 所以 PF  平面 ABCD， ················································································ 9 分 又因为 2ABCS  ，所以 1 1 2213 3 3P ABC ABCV S PF      △ ， ··········· （体积公式）10 分 在 PBC△ 中， 2BC  ， 6PB PC，所以 5PBCS △ ， 记点 A 到平面 PBC 的距离为 d ， 2 3 3 1 P ABC PBCV S d   △ ， 所以 25 5d  ， ··············································································· （计算）11 分 又因为点 E 为线段 PA 的中点，点 到平面 的距离为 5 5 . ···························· 12 分 E P F CD A B 解法二：（1）取 中点 ，连接 ，CF ， 正方形 边长为 2，所以 1DF  ， 5CF  ， 又因为 6PC  ，所以 2 2 2PF CF PC，所以 PF CF ， ···························· 1 分 又因为 ，所以 ， ························································· 2 分 ,CF AD  平面 ， AD CF F ， ························································ 3 分 所以 平面 ， ················································································ 4 分 平面 ， ························································································ 5 分 市质检数学（文科）试题 第 5 页（共 13 页） 所以平面 PAD 平面 ABCD. ········································································· 6 分 （2）同解法一. 19．（ 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，圆 22:4O x y与 y 轴正、负半轴分别交于点 ,AB．椭圆 以 AB 为短轴， 且离心率为 3 2 ． （1）求 的方程； （2）过点 A 的直线l 分别与圆O ，曲线  交于点 M ， N （异于点 A ）．直线 ,BM BN 分别与 x 轴 交于点 ,CD．若| | | |NC ND ，求l 的方程． 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程、直线斜率、直线与圆锥曲线的交点等基础知识；考查运算求解、 逻辑推理能力；考查数形结合思想、转化化归思想；导向对数学运算、直观想象、逻辑推理 素养的关注． 【试题简析】 解法一：（1）依题意，椭圆的焦点在 x 轴．设  的方程为 22 221xy ab． ····································· 1 分 依题意， 2b  ， 3 2 c a  ．············································································· 3 分 又 2 2 2a b c， ··························································································· 4 分 求得 2 16a  ，故 的方程为 22 116 4 xy． ························································ 5 分 （2）依题意， (0,2)A ， (0, 2)B  ， 设直线 :2l y kx（ 0k  ）． ······································································ 6 分 市质检数学（文科）试题 第 6 页（共 13 页） 联立 :2l y kx与 22 :116 4 xy   ，得 22(1 4 ) 16 0k x kx   ， ···························· 7 分 设 11( , )N x y ，依题意， 1 2 16 14 kx k   ， 2 1 2 28 14 ky k   ． ·········································· 8 分 依题意， BMAM  ， kkkk lAM BM 111  ， ··········································· 9 分 故 1:2BM y xk   ，点 ( 2 ,0)Ck ． ····························································· 10 分 若| | | |NC ND ，则 NC BNkk ． ····································································· 11 分 即 22 22 22 2 8 2 8 21 4 1 4 16 1621 4 1 4 kk kk kkkkk  （ 0k  ），解得 11 20k  ． 即存在 11:220l y x   ，使得 ． ··················································· 12 分 解法二：（1）同解法一； （2）依题意， (0,2)A ， (0, 2)B  ，设直线 （ ）． ······························ 6 分 联立 与 ，得 ， ···························· 7 分 设 11( , )N x y ，依题意， 1 2 16 14 kx k   ， 2 1 2 28 14 ky k   ． ·········································· 8 分 依题意， ， ， ··········································· 9 分 故 ，点 ． ····························································· 10 分 同理可得， 1:24BN y xk   ，点 ( 8 ,0)Dk ， 若 ，则 ,CD中点的横坐标等于点 N 的横坐标， 即 2 16 2 8 1 4 2 k k k k    （ ）， ·································································· 11 分 解得 ． 即存在 ，使得 ． ··················································· 12 分 市质检数学（文科）试题 第 7 页（共 13 页） 解法三：（1）同解法一； （2）依题意， (0,2)A ， (0, 2)B  ，设直线 :2l y kx（ 0k  ）． ······························ 6 分 联立 与 22 :116 4 xy   ，得 22(1 4 ) 16 0k x kx   ， ···························· 7 分 设 11( , )N x y ，依题意， 1 2 16 14 kx k   ， 2 1 2 28 14 ky k   ． ·········································· 8 分 依题意， BMAM  ， kkkk lAM BM 111  ， ··········································· 9 分 故 1:2BM y xk   ，点 ( 2 ,0)Ck ． ····························································· 10 分 同理可得， 1:24BN y xk   ，点 ( 8 ,0)Dk ， 若| | | |NC ND ，得 22 2 2 2 2 2 2 2 2 16 2 8 16 2 8( 2 ) ( ) ( 8 ) ( )1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kkkk k k k            （ ）， ············ 11 分 解得 11 20k  ． 即存在 11:220l y x   ，使得 ． ··················································· 12 分 20．（12 分） 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多 年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都 会在农历十二月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量 x（单位：箱）在[100,200) 的客户称 为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表： 采购数 （单位：箱） [100,120) [120,140) [140,160) [160,180) [180,200) 客户数 10 10 5 20 5 （1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在 168 箱以 上（含 168 箱）的“熟客”人数； 市质检数学（文科）试题 第 8 页（共 13 页） 采购量 频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 200180160140120100 （2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 5 8 ，估算小张去年年底总 的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若 没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为 20 元，预计销售量与去年持平；若计划在网上 出售鱼卷，则需把每箱售价下调 2 至5 元，且每下调 m 元 (2 5)m，销售量可增加1000m箱，求小张 在今年年底收入Y （单位：元）的最大值． 【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图，二次函数的最值；考查了学生利用统计知识解决实际问题 的能力；考查学生的阅读理解能力，信息提取能力，抽象概括能力；考查统计思想、数形结 合思想，体现基础性与应用性，导向对数据分析素养、直观想象素养的关注． 【试题简析】解：（1）由表一数据，补出直方图如下： ·······················（补对一个矩形给 1 分） 2 分 采购量 频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 200180160140120100 根据上图，可知，采购数量在 168 以上的客户数量为： 180 16850 20 (0.005 0.020 ) 1720      （人） ················ （列式与计算各 1 分）4 分 （或由表一可得： 180 1685 20 1720    （人））． ............................................................ 4 分 （2）由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为： 110 10 130 10 150 5 170 20 190 5 7500          （箱），（列式与计算各 1 分）6 分 所以小张去年年底总的销售量为 57500 120008 （箱）． ............................................. 7 分 （3）若没有在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为12000 20 240000 （元）； ....... 8 分 若小张在网上出售鱼卷，则今年年底的总销售量为12000 1000m （箱）， 市质检数学（文科）试题 第 9 页（共 13 页） 每箱的利润为 20 m （元）， ................................................................................................ 9 分 则小张在今年年底收入 (20 )(12000 1000 )Y m m   .................................................... 10 分 1000(20 )(12 )mm   21000( 8 240)mm    21000[ ( 4) 256] 256000m     （元）． ......................... 11 分 又因为 256000 240000 ，所以小张在今年年底收入的最大值可达到 256000 （元）． ................................................................................................................................................. 12 分 21．（12 分） 已知函数 xaxxaxf ln)( 22  ． （1）讨论 ()fx的单调性； （2）若 )(xf 有两个大于1的零点，求 a 的取值范围． 【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值、零点等问题，考查抽象概括能力、 推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、 数形结合思想、有限与无限思想，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻 辑推理、直观想象、数学运算以及数学建模等核心素养的关注． 【试题简析】 解：（1）  fx的定义域为 0, ， 2 1'( ) 2f x a x a x   ·················································································· 1 分 222 1 (2 1)( 1)a x ax ax ax xx     ， (i)当 0a 时， 0)(' xf ，所以 )(xf 在 ,0 单调递减； ·································· 2 分 (ii)当 0a 时，令 ，得 ax 10  ，令 0)(' xf ，得 ax 1 ； ···················································································· （未写暂不扣分）3 分 所以 在      a 1,0 单调递减，在      ,1 a 单调递增； ···································· 4 分 (iii)当 0a 时，令 ，得 ax 2 10  ， 令 ，得 ax 2 1 ； 所以 在       a2 1,0 单调递减，在       ,2 1 a 单调递增． ···························· 5 分 （2）由（1）可得若函数 )(xf 有两个大于1的零点，则 0a ； ····································· 6 分 市质检数学（文科）试题 第 10 页（共 13 页） (i)当 0a 时，需 2(1) 0, 11( ) ln 0, 1 1, f a a f aa a             无解； ······················································ 7 分 (ii)当 0a 时，需   2(1) 0, 13( ) ln 2 0,24 1 1,2 f a a faa a              得 0 2 1 4 3  a e ； ······················· 8 分 且当 时， )(xf 在       a2 1,1 递减， 0)2 1()1(  aff ，所以 在 有一个零点； ································································································ 9 分 因为 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) ln lnf a a a a a a     ，下证 ln 0xx： 令   lng x x x ，   111 xgx xx     ，当01x时，   0gx  ， 函数递减；当 1x  时，   0gx  ，函数递增；所以    1 1 ln1 0g x g    ， 即 ， ··························································································· 10 分 所以 2 2 2 1 1 1( ) ln 0f a a a   ， 2 11( ) ( ) 02ffaa   ， 又 在       ,2 1 a 递增， 所以 在 有一个零点； ····························································· 11 分 综上， a 的取值范围为 3 4 1 ,0 2e   ． ································································ 12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 44 ：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 :l y kx 的倾斜角为 ，曲线 22:( 1) ( 1) 8C x y    ．以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程； （2）若 与C 交于 ,AB两点，求 AO BO 的取值范围． 市质检数学（文科）试题 第 11 页（共 13 页） 【命题意图】本小题主要考查直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标极角的几何意义，直 线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、 数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素 养的关注． 【试题简析】 解法一：（1）直线l 的极坐标方程为 ()  R ，（ 未注明   R ，扣 1 分） ····························· 2 分 将 cos , sinxy   代入 222 2 6 0x y x y     中，（两公式各 1 分） ············ 4 分 得到曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 6 0        ．（直写答案不扣中间分） 5 分 （2）设 1( , )A ， 2( , )B ，则 122cos 2sin      ， 12 6  ， ···················· 6 分 所以 1 2 1 2|| |-| ||=|| | | ||=| |OA OB    ，····························································· 7 分 =|2cos 2sin | 2 2 | sin( ) |4      , ········································ 8 分 因为0 ，则 5 4 4 4      ， 2 sin( ) 124     ， ···························· 9 分 所以0 || |-| || 2 2OA OB． ·········································································· 10 分 解法二：（1）同解法一； （2）直线 的参数方程为 cos sin xt yt      （t 为参数， ）， ···································· 6 分 代入 中，得到 2 2 cos -2 sin 6 0t t t   ， 所以 1 2 1 2|| |-| ||=||t | | t ||= | t +t |OA OB  ， ······························································· 7 分 | 2cos +2sin | 2 2 | sin( ) |4      , ········································ 8 分 因为 ，则 ， ， ···························· 9 分 所以0 || | | || 2 2OA OB   ． ·········································································· 10 分 解法三：（1）同解法一； （2）设曲线C 的圆心 ，半径为 r . 考察图形易知，当直线 过 时，|| |-| ||OA OB 取到最大值， ···································· 6 分 max|| |-| ||) =(r+|OC|)-(r-|OC|)=2|OC|=2 2|OA OB（ . ················································ 7 分 当直线l OC 时， 取到最小值， ······················································· 8 分 min|| |-| ||) =0OA OB（ . ························································································· 9 分 市质检数学（文科）试题 第 12 页（共 13 页） 所以0 || | | || 2 2OA OB   ． ········································································· 10 分 23．[选修 45 ：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 1| | 3|f x x x    ． （1）求 ( ) 3fx 的解集； （2）若关于 x 的不等式 2 36() mmfx m  的解集非空，求 m 的取值范围． 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查 抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与 综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注． 【试题简析】 解法一：（1） 4 2 , 1, ( ) 2, 1 3, 2 4, 3, xx f x x xx       ·············································································· 2 分 其图象如下图所示： 当 1x  时，由 4 2 3x，得 1 2x  ， ······························································· 3 分 当 3x  时，由 2 4 3x ，得 7 2x  ， ······························································ 4 分 所以不等式的解集为 17+22（-,）（ , ）．·························································· 5 分 注：不作图象，不扣分数. （2）关于 的不等式 的解集非空，等价于 2 min 36() mmfx m  ， ······ 6 分 由（ 1）得 min ( ) 2fx ，(或由| 1| | 3| | ( 1) ( 3) | 2x x x x        )（当13x时取等号） 所以原命题成立的等价条件为 2 362mm m  . ················································ 7 分 当 0m  时， 22 3 6m m m   ，解得 16mm  或 ，得 6m  ， ························ 8 分 当 0m  时， 22 3 6m m m   ，解得 16m   ，得 10m   ， ······················· 9 分 市质检数学（文科）试题 第 13 页（共 13 页） 所以 m 的取值范围为   1,0 6,  ．···························································· 10 分 解法二：（2）考察 4 2 , 1, ( ) 2, 1 3, 2 4, 3, xx f x x xx       的图象，可知“关于 x 的不等式 2 36() mmfx m  的解集 非空”等价于“ 2 362mm m  ”. ··································································· 7 分 下同解法一.