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专题五 方案设计专题
【考纲与命题规律】
考纲要求
方案设计问题是运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析计算，证明等，确定出最佳方案的数学问题，一般涉及生产的方方面面，如：测量，购物，生产配料，汽车调配，图形拼接，所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形，概率和统计等知识.
命题规律
方案设计问题应用性比较强，解题时要注重综合应用转化思想，数形结合的思想，方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.
【课堂精讲】
例1.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注：不同的分法,面积可以相等)
[来源:Z*xx*k.Com]
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分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
解答：根据分析，可得
。
(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=1(cm2).
例2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折。
设x(单位：元)表示商品原价,y(单位：元)表示购物金额。
(Ⅰ)根据题意,填写下表：(单位：元)
商品价格
购物金额
120
180
200
260
甲商场
96
144
160
208
乙商场
120
180
200
242
(Ⅱ)分别就两家商场的让利方式，写出y关于x的函数解析式；
(Ⅲ)春节期间，当在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际花费少?
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分析：（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x>200两种情况分别列式即可；
（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后作出判断即可．
解答：
(Ⅰ)
120
180
200
260
甲商场
96
144
160
208
乙商场
120
180[来源:Z_xx_k.Com]
200
242
(Ⅱ)甲商场：y=0.8x(x＞0)；
乙商场：当0x200时，y=x；
当x>200时,y=200+0.7(x−200)=0.7x+60；
即y={x0.7x+60 x>200；
(Ⅲ)∵x>200，
∴由0.8x=0.7x+60，得：x=600，
∴当购物金额按原价大于200而小于600元时，在甲商场购物省钱；
当购物金额按原价大于600元时，在两商场花钱一样多；
当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱。
【课堂提升】
1.如图，A. B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A. B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A. B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥。
(1)天桥建在何处才能使由A到B的路线最短?
(2)天桥建在何处才能使A. B到天桥的距离相等?分别在图1、图2中作图说明(不必说明理由)并通过计算确定天桥的具体位置。
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2.为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
3.达州市凤凰小学位于北纬21∘,此地一年中冬至日正午时刻,太阳光与地面的夹角最小,约为35.5∘;夏至日正午时刻,太阳光的夹角最大,约为82.5∘.己知该校一教学楼窗户朝南,窗高207cm,如图(1).请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD,如图(2)，要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡。
(1)在图(3)中画出设计草图；
(2)求BC、CD的长度(结果精确到个位)(参考数据：sin35.5∘≈0.58,cos35.5∘≈0.81,tan35.5∘≈0.71,sin82.5∘≈0.99,cos82.5∘≈0.13,tan82.5∘≈7.60)
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4．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【高效作业本】
专题五 方案设计专题
1．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．
2.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
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3. 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网]
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
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4.在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
（2）设计的整个图案是某种对称图形．
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．
名 称
四等分圆的面积
方 案
方案一
方案二
方案三
选用的工具
带刻度的三角板
画出示意图
简述设计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份．
指出对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
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【答案】
专题五 方案设计专题答案
1.解答：
(1)如图1,平移B点至B′,使BB′=DE,连接AB′交CE于F，在此处建桥可使由A到B的路线最短；
此时易知AB′∥BG，
∴△ACF∽△BDG，
∴ACCF=BDDG，
设CF=x，则GD=96−x，
∴48x=2496−x，
解得x=64，
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即CF=64米，
∴将天桥建在距离C点64米处，可使由A到B的路线最短；
(2)如图2,平移B点至B’使BB′=DE,连接AB′交CE于F,作线段AB′的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A. B到天桥的距离相等；
此时易知AB′∥BQ,另OP为AB′中垂线，
∴△ACF∽△POF，
∴PFAF=OFCF，
设CP=x，则PF=CF−x，
由(1)得CF=64，
∴PF=64−x；
在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=80，
∵AC∥BE，
∴CFFE=AFFB′=6496−64=21，
∴FB′=40，
又O为AB′中点，
∴FO=20，
∴64−x80=2064，
解得x=39，即CP=39米，
∴将天桥建在距离C点39米处，可使由A到B的路线最短。
考点：
[一次函数的应用, 一元一次不等式组的应用]
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分析：
（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；
（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．
解答：
（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：
20k+b=160
40k+b=288
解得：
k=6.4
b=32
∴y=6.4x+32．
（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，
∴
x≤35
x≥45-x
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347，
∵k=-0.6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时，W总费用最低，W最低=-0.6×35+347=137（元）
3. 考点：
[解直角三角形的应用]
分析：
（1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可；
（2）首先设CD=x，则tan35.5°=
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BC
CD
，表示出BC的长，进而利用tan82.5°=
AC
CD
求出DC的长，进而得出答案．
解答：
(1)如图所示：
(2)由题意可得出：∠CDB=35.5∘,∠CDA=82.5∘，
设CD=x,则tan35.5∘=BCCD，
∴BC=0.71x，
∴在Rt△ACD中，
tan82.5∘=ACCD=207+0.71xx=7.6，
解得：x≈30，
∴BC=0.71×30≈21(cm)，
答：BC的长度是21cm，CD的长度是30cm.
4.
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设至少应安排甲队工作x
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天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
解答：
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：
﹣=4，
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
点评：
此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
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