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期末测试卷（2）
一．选择题
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣2）（x+1） B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2 D．y=1﹣x2
2．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3
3．已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．若抛物线y=x2﹣4x+2﹣t（t为实数）在0＜x＜的范围内与x轴有公共点，则t的取值范围为（ ）
A．﹣2＜t＜2 B．﹣2≤t＜2 C．﹣＜t＜2 D．t≥﹣2
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5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
6．若2a=3b，则a：b等于（ ）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；
②△BCD∽△ABC；
③AD2=ACDC；
④点D是AC的黄金分割点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，AE=6，则EC等于（ ）
A．10 B．4 C．15 D．9
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9．如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（ ）
A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D
10．如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．4或
11．如图，已知△OAB 与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（ ）
A． C．
12．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.
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由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表.如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
二．填空题
13．如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 .
14．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为 .
15．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB= .
16．用科学计算器计算：7﹣5sin37°= （结果精确到0.1）.
17．等腰△ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边BC与邻边（腰AB或AC）的比值确定，记为f（A），易得f（60°）=1．若α是等腰三角形的顶角，则f（α）的取值范围是 .
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18．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是 .
三．解答题
19．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）.
(1) 请直接写出k1、k2和b的值；
(2) 设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
(1) 若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值.
20．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
(1) 求抛物线的解析式（用一般式表示）；
(2) 点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
(3) 将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
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21．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为 ；
(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
22．已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1) 如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N.
①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
(2) 如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使==，请判断△EFC的形状，并说明理由；
(3) 如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当=时，请猜想的值（请直接写出结论.
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23．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高.（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
24．为响应习总书记足球进校园的号召，某学校积极开展与足球有关的宣传与实践活动．学生会体育部为了解本学校对足球运动的态度，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的统计图表（部分信息未给出）.
态度
频数（人数）
频率
非常喜欢
5
0.05
喜欢
0.35
一般
50
n
不喜欢
10
合计
m
l
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(1) 在上面的统计表中m= ，n= 。
(2) 请你将条形统计图补充完整；
(3) 该校共有学生1200人，根据统计信息，估计爱好足球运动（包括喜欢和非常喜欢）的学生有多少人？
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答案
一．选择题
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣2）（x+1） B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2 D．y=1﹣x2
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】将各函数关系式进行整理，然后再进行判断即可．
【解答】A、整理得：y=x2﹣x﹣2，是二次函数，与要求不符；
B、整理得：y=x2+x﹣，是二次函数，与要求不符；
C、整理得：y=12x+18，不是二次函数，与要求相符；
D、y=1﹣x2是二次函数，与要求不符．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】
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先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．
【解答】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，
∴矩形ABCD关于坐标原点对称，
∵A点C点是对角线上的两个点，
∴A点、C点关于坐标原点对称，
∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；
∴抛物线由A点平移至C点，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；
∵抛物线经过A点时，函数表达式为y=x2，
∴抛物线经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14，
故选A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．
3．已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．
【解答】解：根据题意（﹣2）2﹣4c=0，
解得c=1．
故选C．
【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
4．若抛物线y=x2﹣4x+2﹣t（t为实数）在0＜x＜的范围内与x轴有公共点，则t的取值范围为（ ）
A．﹣2＜t＜2 B．﹣2≤t＜2 C．﹣＜t＜2 D．t≥﹣2
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【专题】选择题
【难度】易
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点为（2，﹣t），再分类讨论：当抛物线与x轴的公共点为顶点时，﹣t=0，解得t=0；当抛物线在0＜x＜3的范围内与x轴有公共点，如图，顶点在x轴下方，所以t＞0，当抛物线在原点与对称轴之间与x轴有交点时，x=0，y＞0，所以4﹣t＞0，解得t＜4；当抛物线在（3，0）与对称轴之间与x轴有交点时x=3，y＞0，即1﹣t＞0，解得t＜1，所以此时t的范围为0＜t＜4，综上两种情况即可得到t的范围为0≤t＜4．
【解答】解：y=x2﹣4x+2﹣t=（x﹣2）2﹣2﹣t，
抛物线的顶点为（2，﹣2﹣t），
当抛物线与x轴的公共点为顶点时，﹣2﹣t=0，解得t=﹣2，
当抛物线在0＜x＜的范围内与x轴有公共点，
如图，﹣t﹣2＜0，解得t＞﹣2，则x=0时，y＞0，即2﹣t＞0，解得t＜2；
当x=时，y＞0，即﹣﹣t＞0，解得t＜﹣，此时t的范围为t＜﹣，
综上所述，t的范围为﹣2≤t＜2．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．运用数形结合的思想是解决本题的关键．
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5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．
6．若2a=3b，则a：b等于（ ）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计算，只有A选项符合题意．
【解答】解：∵2a=3b，
∴a：b=3：2．
故选A．
【点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质．
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7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；
②△BCD∽△ABC；
③AD2=ACDC；
④点D是AC的黄金分割点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】S3：黄金分割；KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由相似三角形的判定方法可得②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．
【解答】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵∠A=∠DBC，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴②正确；
③∵△BCD∽△ACB，
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∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CDAC，
∵AD=BD=BC，AD2=CDAC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CDAC，得x2=（1﹣x），
解得x=±﹣1（舍去负值），
∴AD=，
∴④正确．
正确的有4个．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，AE=6，则EC等于（ ）
A．10 B．4 C．15 D．9
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，即=，
解得，EC=4，
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故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（ ）
A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；
∵∠C=∠AED=90°，，
∴，即sin∠B=sin∠DAE，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；
∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，
∵∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；
∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；
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故选A．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
10．如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．4或
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决．
【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2，
∴∠A=∠DCE，
∴=或=，
即=或=
解得，CE=3或CE=
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．
11．如图，已知△OAB 与△OA′B′是相似比为 1：2
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的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（ ）
A． C．
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的﹣2倍，那么点P的坐标也应符合这个规律．
【解答】解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（﹣2x，﹣2y）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律．
12．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表.如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
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【解答】解：由题意得：CD∥AB，
∴=，
∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，
∴，
∴CD=2.1cm，
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
二．填空题
13．如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 .
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：
，
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tanB==．
故答案是：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
14．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为 .
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由△ABC的面积为6可得ab=12，再由勾股定理可得a2+b2=62=36，再由tanA+tanB=+=求解．
【解答】解：∵△ABC的面积为6，
∴ab=12．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，
∴a2+b2=62=36，
∴tanA+tanB====3，
故答案为：3．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键是掌握正切定义．
15．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB= .
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得∠
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B，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得
∠B=45°．
tanB=tan45°=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16．用科学计算器计算：7﹣5sin37°= （结果精确到0.1）.
【考点】T6：计算器—三角函数；1H：近似数和有效数字；25：计算器—数的开方．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：7﹣5sin37°≈7×6.557﹣5×0.6018≈42.9．
故答案为：42.9．
【点评】本题考查了计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记精确度的概念．
17．等腰△ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边BC与邻边（腰AB或AC）的比值确定，记为f（A），易得f（60°）=1．若α是等腰三角形的顶角，则f（α）的取值范围是 .
【考点】T7：解直角三角形；KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据三角形三边关系得到BC＞0，BC＜2AB，根据题意计算即可．
【解答】解：∵BC＞AB﹣AC，BC＜AC+AB，
∴BC＞0，BC＜2AB，
∴0＜＜2，
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∴0＜f（α）＜2，
故答案为：0＜f（α）＜2．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、f（A）的定义是解题的关键．
18．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是 .
【考点】X4：概率公式．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由一个不透明的箱子里共有1个白球，2个红球，共3个球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里有1个白球，2个红球，共有3个球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三．解答题
19．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）.
(1) 请直接写出k1、k2和b的值；
(2) 设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
(1) 若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2
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，请求出绿化总费用W的最小值.
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b．
(2) 分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；
(1) 根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．
【解答】解：(1) 将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，
解得：；
(2) 当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
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∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
(3) 由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
(1) 求抛物线的解析式（用一般式表示）；
(2) 点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
(3) 将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2) 由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
(3) 由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥
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x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
(1) ∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
(2) 由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
(3) ∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
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由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1) 中注意待定系数法的应用，在(2) 中求得D点的纵坐标是解题的关键，在(1) 中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
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21．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为 ；
(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
(2) 由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可；
(3) 分两种情况：①当==时，EF∥AB，由勾股定理求出AB==5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=（AC+BC﹣AB）=1，由几啊平分线定理得出=，求出CE=，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=；
②当==时，同理得：EF=即可．
【解答】(1) 解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
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(2) 证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”；
(3) 解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当==时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∵DN∥AC，
∴=，即，
∴CE=，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF=；
②当==时，同理得：EF=；
综上所述，EF的长为．
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【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度．
22．已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1) 如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N.
①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
(2) 如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使==，请判断△EFC的形状，并说明理由；
(3) 如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当=时，请猜想的值（请直接写出结论.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) ①由正方形的性质得出∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，由HL证明Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠
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ECN，再由角的互余关系即可得出结论；
②由三角形内角和定理得出∠EAF=∠EFA，证出AE=FE，由等腰三角形的性质得出AM=FM，AF=2AM，求出=，由平行线分线段成比例定理得出=，得出=，即可得出结论；
(2) 过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．同(1) 得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，∵=，O是DB的中点，证出=，得出AF=2AM，即M是AF的中点，由线段垂直平分线的性质得出AE=FE，证出∠AEM=∠FEM，FE=CE，由角的互余关系证出∠CEF=90°，即可得出结论；
(2) 同(1) 即可得出答案．
【解答】(1) 证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，
∵ME∥AD，
∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，
∴△BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，
∴BM=EM，BM=CN，
∴EM=CN，
在Rt△AME和Rt△ENC中，，
∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），
∴∠AEM=∠ECN，
∵∠CEF=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
∴∠FEM=∠ECN，
∴∠AEM=∠FEM；
②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，
∴∠EAF=∠EFA，
∴AE=FE，
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∵ME⊥AF，
∴AM=FM，
∴AF=2AM，
∵点E是OD的中点，O是BD的中点，
∴=，
∵ME∥AD，
∴=，
∴=，
∴点F是AB的中点；
(2) 解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：
过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．如图所示：
同(1) 得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，
∴∠AEM=∠ECN，
∵=，O是DB的中点，
∴=，
∵ME∥AD，
∴=，
∵=，
∴AF=2AM，即M是AF的中点，
∵ME⊥AB，
∴AE=FE，
∴∠AEM=∠FEM，FE=CE，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∴∠CEF=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形；
(3) 解：当=时， =；理由同(1) ．
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【点评】本题是综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
23．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高.（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°x知CE=CH﹣EH=tan55°x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，
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则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°x，
∴CE=CH﹣EH=tan55°x﹣10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°x﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55°x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
24．为响应习总书记足球进校园的号召，某学校积极开展与足球有关的宣传与实践活动．学生会体育部为了解本学校对足球运动的态度，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的统计图表（部分信息未给出）.
态度
频数（人数）
频率
非常喜欢
5
0.05
喜欢
0.35
一般
50
n
不喜欢
10
合计
m
l
(1) 在上面的统计表中m= ，n= 。
(2) 请你将条形统计图补充完整；
(3)
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该校共有学生1200人，根据统计信息，估计爱好足球运动（包括喜欢和非常喜欢）的学生有多少人？
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 根据频数的定义，即可判断；
(2) 条形图如图所示；
(3) 用样本估计总体的思想，即可解决问题．
【解答】解：(1) 由题意抽取的总人数为m人．
由题意=0.05，解得m=100，
n==0.5，
故答案为100，0.5
(2) 喜欢的人数为100×0.35=35，条形图如图所示，
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