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小专题(三) “坐标规律型”问题赏析
“坐标规律型”问题考查的是点在平面直角坐标系内按照一定规律运动时其坐标的变
化规律.这类问题把点的坐标与数字规律有机地联系在一起,加大了找规律的难度,因为这类
问题设置的情境是在平面直角坐标系内,我们探究点的坐标不仅要考虑数值的大小,还要考
虑不同象限内点的坐标的正负性.
解决“坐标规律型”问题首先要从点的运动起点入手,观察随着“编号”或“序号”增
加时,点的坐标会发生怎样的变化,从特殊到一般,找出点的坐标变化规律,从而推出一般性
的结论.
类型 1 点的平移运动坐标变化规律型问题
1.
如图,一个点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动,在第一秒钟,它从原点(0,0)运动到(0,1),然
后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0),…,且每秒移动一个单位,
那么第 64 秒时这个点所在位置的坐标是 (C)
A.(0,9) B.(9,0) C.(8,0) D.(0,8)
2.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点 O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断
移动,每次移动 1 个单位,其行走路线如图所示.
(1)填写下列各点的坐标:A4 (2,0) ,A8 (4,0) ;
(2)写出点 A4n 的坐标(n 为正整数) (2n,0) ;
(3)蚂蚁从点 A2014 到点 A2017 的移动方向为 向下,向右,再向上 .
类型 2 点的循环运动坐标变化规律型问题
3.2
如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),按 A→B→C→D→A…排
列,则第 2019 个点所在的坐标是 (C)
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-2) D.(1,-2)
4.
如图,长方形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴,物体甲和物体乙分别由点 A(2,0)同时出
发,沿长方形 BCDE 的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动,物体乙按
顺时针方向以 2 个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第 2018 次相遇地点的坐标是 (-
1,-1) .
5.
如图,已知正方形 ABCD 的边长为 10,E(0,5),C(7,-5),一根细绳长 155,从点 E 出发,顺时针
绕在正方形上,将绳子的另一端到达的位置点 F 用坐标表示出来.
解:∵正方形 ABCD 的边长为 10,E(0,5),C(7,-5),
∴AB 上的点横坐标为-3,
∵155÷40=3……35,
∴绳子的另一端到达的位置点 F 在 AB 上,并且在第二象限,到 x 轴的距离为 3,
∴点 F 的坐标为(-3,3).
类型 3 点的新定义变换坐标变化规律型问题3
6.点 P(x,y)经过某种变换后得到点 P'(-y+1,x+2),我们把点 P'(-y+1,x+2)叫做点 P(x,y)的
终结点.已知点 P1 的终结点为 P2,点 P2 的终结点为 P3,点 P3 的终结点为 P4,这样依次得到
P1,P2,P3,P4,…,Pn.若点 P1 的坐标为(2,0),则点 P2020 的坐标为 (-2,-1) .
7.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把点 P'(-y+1,x+1)叫做点 P 的伴随点,已
知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3 的伴随点为 A4,…,这样依次得到点
A1,A2,A3,…,An,….若点 A1 的坐标为(3,1),求点 A2018 的坐标.
解:由题可得 A1(3,1),A2(0,4),A3(-3,1),A4(0,-2),A5(3,1),A6(0,4),…,依此类推,每 4 个
点为一个循环组依次循环,
∵2018÷4=504……2,
∴点 A2018 的坐标与点 A2 的坐标相同,它的坐标为(0,4).
8.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把 P'(y-1,-x-1)叫做点 P 的友好点,已知
点 A1 的友好点为 A2,点 A2 的友好点为 A3,点 A3 的友好点为 A4,…,这样依次得到点.
(1)当点 A1 的坐标为(2,1),则点 A3 的坐标为 (-4,-1) ,点 A2016 的坐标为 (-2,3) ;
(2)若点 A2016 的坐标为(-3,2),设 A1(x,y),求 x+y 的值.
解:(2)∵A2016 的坐标为(-3,2),
∴A2017(1,2),即 A1(1,2),
∴x+y=3.
类型 4 图形的变换运动坐标变化规律型问题4
9.如图,矩形 ABCD 的两边 BC,CD 分别在 x 轴、y 轴上,点 C 与原点重合,点 A(-1,2),将矩形
ABCD 沿 x 轴向右翻滚,经过第一次翻滚点 A 的对应点记为 A1,经过第二次翻滚点 A 的对应点
记为 A2,…,依此类推,经过 5 次翻滚后点 A 的对应点 A5 的坐标为 (D)
A.(5,2) B.(6,0) C.(8,0) D.(8,1)
10.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变成△OA1B1,第二次将△OA1B1 变换成△OA2B2,
第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3.已知
A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形,找出规律,按此变化规律再将△OA3B3 变换成△OA4B4,则点
A4 的坐标是 (16,3) ,点 B4 的坐标是 (32,0) ;
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行 n 次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶
点坐标有何变化,找出规律,推测点 An 的坐标是 (2n,3) ,点 Bn 的坐标是 (2n+1,0) .
11. 如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1 变换成△OA2B2,
第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3.已知 A(1,3),A1(-2,-3),A2(4,3),A3(-8,-3),B(2,0),B1(-
4,0),B2(8,0),B3(-16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出其中的规律,按此变化规律再将△OA3B3 变换
成△OA4B4,分别求出点 A4 和点 B4 的坐标.
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了 n 次变换,得到△OAnBn,推测点 An 的坐标为
((-1)n·2n,(-1)n·3) ,Bn 的坐标为 ((-1)n·2n+1,0) .
解:(1)∵A(1,3),A1(-2,-3),A2(4,3),A3(-8,-3),
∴点 A4 的坐标为(16,3).
∵B(2,0),B1(-4,0),B2(8,0),B3(-16,0),
∴点 B4 的坐标为(32,0).5
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