2019年春八年级数学下册小专题（三）利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题课时作业（新版）新人教版.docx

1 小专题(三)　利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题 平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是 解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数 学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线. 如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然 后再通过平面图形来解决. 类型 1　平面上的最短路径问题 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,点 M 在 AC 边上,且 AM=1,MC=4,动点 P 在 AB 边上, 连接 PC,PM,则 PC+PM 的最小值是(C) A. 17 B.6 C. 26 D.7 2.如图,在△ACB 中,有一点 P 在 AC 上移动,若 AB=AC=5,BC=6,则 AP+BP+CP 的最小值为 (D) A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8 3.如图,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B,D 作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x. (1)直接写出 AC+CE 的值;(用含 x 的代数式表示) (2)求 AC+CE 的最小值. 解:(1)AC+CE= AB2 + BC2 + CD2 + DE2 = 25 + (8 - x)2 + 1 + x2. (2)如图,连接 AE 交 BD 于点 C1,此时 AC+CE 有最小值.平移 DE 至 BF. 则 BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6,2 AC+CE 的最小值 AE= AF2 + EF2 = 62 + 82=10. 4.如图,A,B 两个村子在河 CD 的同侧,A,B 两村到河的距离分别为 AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边 CD 上建一水厂向 A,B 两村输送自来水,铺设水管的费用为 20000 元/km. (1)请你在河 CD 边上作出水厂的位置 O,使铺设水管的费用最省; (2)求出铺设水管的总费用. 　　　　　　　　　　　　　答案图 解:(1)O 点如图所示. (2)由(1)可知 A1B= 32 + (3 + 1)2=5 km, ∴总费用为 20000×5=100000 元. 类型 2　曲面上的最短路径问题 5.如图,一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B,则它走过的路程最短为 (D) A. 3a B.(1+ 2)a C.3a D. 5a 6.如图,已知圆柱的底面直径 BC= 6 π,高 AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从 C 点爬到 A 点,然后再 沿另一面爬回 C 点,则小虫爬行的最短路程为 (D) A.3 2 B.3 5 C.6 5 D.6 2 7.图 1 为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图 2.已知展开图中每个正方形的 边长为 1.3 (1)求该展开图中可画出的最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条; (2)试比较立体图中∠ABC 与平面展开图中∠A'B'C'的大小关系. 解:(1)最长线段如图中的 A'C',在 Rt△A'C'D'中, ∵C'D'=1,A'D'=3,由勾股定理得 A'C'= 10. 这样的线段可画 4 条(另三条用虚线标出). (2)由题可知,∠ABC=90°. 在平面展开图中,连接线段 B'C'. 由勾股定理可得 A'B'= 5,B'C'= 5,A'C'= 10, ∴A'B'2+B'C'2=A'C'2, 由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形, ∴∠A'B'C'=90°,∴∠ABC 与∠A'B'C'相等.