2019年春八年级数学下册小专题（四）中点四边形问题课时作业（新版）新人教版.docx

1 小专题(四)　中点四边形问题 顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.根据三角形中位线定理可知, 中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四 边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质. 类型 1　判断中点四边形的形状 1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是 (C) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.如图,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)判断四边形 EFGH 的形状,并说明你的理由; (2)连接 BD 和 AC,当 BD,AC 满足何条件时,四边形 EFGH 是正方形. 解:(1)四边形 EFGH 是平行四边形. 理由:连接 AC.∵E,F 分别是 AB,BC 的中点, ∴EF∥AC,且 EF=1 2AC. 同理,HG∥AC,且 HG=1 2AC, ∴EF∥HG,且 EF=HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)当 BD=AC,且 BD⊥AC 时,四边形 EFGH 是正方形. 理由:连接 AC,BD. ∵E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点, ∴EF=GH=1 2AC,GH=FG=1 2BD,EH∥BD,GH∥AC. ∵BD=AC,BD⊥AC, ∴EH=EF=FG=GH,EH⊥GH, ∴四边形 EFGH 是菱形,且∠EHG=90°, ∴菱形 EFGH 是正方形.2 类型 2　探求中点四边形的性质 3.如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,对角线 AC=3,BD=2,则四 边形 EFGH 的周长为 (B) A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图,在四边形 ABCD 中,AC=BD=6,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则 EG2+FH2 的值为 (C) A.9 B.18 C.36 D.48 5.如图,O 是△ABC 内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC 的中点 D,E,F,G 依次连接,得到四 边形 DEFG. (1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形; (2)若 M 为 EF 的中点,OM=5,∠OBC 和∠OCB 互余,求 DG 的长度. 解:(1)∵边 AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G, ∴DG∥BC,EF∥BC,DG=1 2BC,EF=1 2BC, ∴DG∥EF,DG=EF, ∴四边形 DEFG 是平行四边形. (2)∵∠OBC 和∠OCB 互余, ∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°. ∵M 为 EF 的中点,∴OM=1 2EF, ∵OM=5,DG=EF, ∴DG=EF=2OM=10.3 类型 3　计算中点四边形的面积 6.两个直角三角板 ABD 和 BDC 按照如图的方式拼成一个四边形 ABCD,∠A=45°,∠ DBC=30°,AB=6,E,F,G,H 分别是各边中点,则四边形 EFGH 的面积等于　9+3 3　. 7.若菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm,则顺次连接这个菱形四条边的中点所得的 四边形的面积是　60　 cm2. 8.如图,四边形 ABCD 中,E,F,G,H 依次是各边的中点,O 是四边形 ABCD 内一点,若四边形 AEOH、四边形 BFOE、四边形 CGOF 的面积分别为 4,5,7,求四边形 DHOG 面积. 解:连接 OC,OB,OA,OD. ∵E,F,G,H 依次是各边中点, ∴△AOE 和△BOE 等底等高, ∴S△OAE=S△OBE, 同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH, ∴S 四边形 AEOH+S 四边形 CGOF=S 四边形 DHOG+S 四边形 BFOE, ∵S 四边形 AEOH=4,S 四边形 BFOE=5,S 四边形 CGOF=7, ∴4+7=5+S 四边形 DHOG, ∴S 四边形 DHOG=6.