第19章 四边形
章末小结与提升
四边形多边形内角和:n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3且n为整数)外角和:n边形的外角和等于360°(n≥3且n为整数)平行四边形性质平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形性质矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等判定有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形菱形性质菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质正方形的四条边相等,四个角都是直角正方形的对角线相等,且互相垂直平分判定:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
类型1 与多边形内角和、外角和有关的计算
1.正八边形的每一个外角都是(B)
A.30° B.45°
C.60° D.135°
2.若从十二边形的一个顶点出发,引多边形的对角线,最多可以引出对角线(C)
A.11条 B.10条
C.9条 D.8条
3.一个六边形ABCDEF纸片上剪去一个角∠BGD后,得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°,则∠BGD=(B)
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A.60° B.70° C.80° D.90°
类型2 与特殊四边形有关的计算
典例1 如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,求阴影部分的面积.
【解析】由PE∥BC,PF∥CD,可得PE∥AF,PF∥AE,
所以四边形AEPF为平行四边形,
所以S△POF=S△AOE,
所以S阴影=S△ABC=12S菱形ABCD=12×12×AC·BD=52.
【针对训练】
1.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是BC的中点,Q为对角线BD上的动点,则△CEQ周长的最小值为(D)
A.5 B.2+2
C.3+1 D.5+1
2.如图1的矩形ABCD中,E点在AD上,且∠ABE=30°.现分别以BE,CE为折线,将点A,D向BC的方向折过去,图2为对折后A,B,C,D,E五点均在同一平面上的位置图.若图2中∠AED=15°,则∠BCE的度数为 37.5° .
3.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是 5 .
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类型3 与特殊四边形有关的证明
典例2 如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过点M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.求证:AM=DF+ME.
【解析】如图,延长DF,AB交于点G.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠BCA=∠DCA.
∵BC=2CF,CD=2CE,∴CE=CF.
又∵CM=CM,∴△CEM≌△CFM,∴ME=MF.
∵AB∥CD,∴∠2=∠G,∠GBF=∠BCD.
又∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF.
∵∠1=∠2,∠G=∠2,∴∠1=∠G,
∴AM=GM=GF+MF=DF+ME.
【针对训练】
1.如图,菱形ABCD中,O为AC的中点,E为OC上一点,且DE⊥BE,求证:
(1)△ADE≌△ABE;
(2)DE=2OE.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAE=∠BAE,AB=AD,AE=AE,
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∴△ADE≌△ABE.
(2)连接BD.
∵O为AC的中点,四边形ABCD是菱形,
∴B,O,D三点共线.
∵△ADE≌△ABE,∴∠DEO=∠BEO.
∵DE⊥BE,∴∠DEB=90°,∴∠DEO=45°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,∴∠DOE=90°,
∴△DOE是等腰直角三角形,
∴DE2=2OE2,即DE=2OE.
2.如图,在正方形ABCD中,G是边BC上任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG,连接BH.
求证:∠ABH=∠CDE.
证明:由题意知AB=AD,∠ABG=∠DAF=90°.
∵DE⊥AG,∴∠ADE+∠EAD=90°.
又∵∠BAG+∠EAD=90°,∴∠BAG=∠ADE.
在△ABG和△DAF中,∠BAG=∠ADE,AB=AD,∠ABG=∠DAF=90°,
∴△ABG≌△DAF(ASA),
∴AF=BG,AG=DF,∠AFD=∠BGA.
∵AG=DE+HG,DF=AG=DE+EF,∴EF=HG.
在△AEF和△BHG中,AF=BG,∠AFD=∠BGA,EF=HG,
∴△AEF≌△BHG(SAS),
∴∠BAG=∠HBG,∴∠ADE=∠HBG.
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,∠HBG+∠ABH=∠ABC=90°,
∴∠ABH=∠CDE.
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类型4 与特殊四边形有关的创新题
典例3 如图,以△ABC的两条边AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,E是AB的中点,F是CD的中点.
(1)求证:四边形CEBF是平行四边形.
(2)①请在△ABC中添加一个条件 ,使四边形CEBF是矩形,并简要说明理由;
②请在△ABC中添加一个条件 ,使四边形CEBF是菱形,并简要说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABDC是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB.
∵E是AB的中点,F是CD的中点,
∴CF=12CD,BE=12AB,∴CF=BE,
∴四边形CEBF是平行四边形.
(2)①AC=BC.
理由:∵AC=BC,E是AB的中点,∴CE⊥AB,
由(1)得四边形CEBF是平行四边形,
∴平行四边形CEBF是矩形.
②AC⊥BC.
理由:∵AC⊥BC,E是AB的中点,
∴CE=12AB=BE,
由(1)得四边形CEBF是平行四边形,
∴平行四边形CEBF是菱形.
【针对训练】
1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2,…,第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移5个单位,得到矩形AnBnCnDn(n>2).
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(1)求AB1和AB2的长;
(2)若ABn的长为56,求n的值.
解:(1)∵AB=6,每次向右平移5个单位,
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1,
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11,
AB2=5+5+6=16.
(2)由AB1=2×5+1=11,AB2=3×5+1=16,
可知ABn=(n+1)×5+1=56,解得n=10.
2.我们经常通过认识一个事物的局部或特殊类型来逐步认识这个事物,通过对一些特殊结论的归纳、猜想、验证,逐步得出一般结论.
我们给出定义:至少有一组对角相等的四边形叫等对角四边形.
(1)特例认知:
请你从学过的特殊四边形中找出等对角四边形,写出名称 平行四边形(或菱形、矩形、正方形) .(一个即可)
(2)性质探究:
①小强在研究等对角四边形性质时,画了一个等对角四边形ABCD,如图,其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时他发现AC平分一组对角,请你证明此结论.
②由此小强猜想:对于任意等对角四边形,当一组邻边相等时,经过这组邻边公共端点的对角线必平分这组对角.你认为他的猜想是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请画图举出反例.
(3)解决问题:
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如图,四边形ABCD是等对角四边形,且∠B=∠D=90°,AB=AD=4,AC是对角线,点E,F分别在边BC和AD上,将这个四边形沿EF折叠,使AB的中点与点C重合,点B落在点M处,点A落在点N处,且BE∶EC=3∶5.请你通过计算判断,等对角四边形ABCD是哪一种特殊四边形?
解:(2)①连接BD.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,即AC平分一组对角.
②他的猜想不正确.
如图,∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC,CD≠AD,BD不平分这组对角.(答案不唯一)
(3)等对角四边形ABCD是正方形.
设BE=3x,则EC=5x.由对折可知,MN=AB=4,∠M=∠B=90°.
∵C是MN的中点,∴CM=2.
在Rt△EMC中,由勾股定理得(5x)2=(3x)2+22,解得x=0.5,∴BC=8x=4,
由(2)①可知,CD=BC,∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵∠B=90°,∴四边形ABCD是正方形.
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