课时训练(三十) 正方形
(限时:50分钟)
|考场过关|
1.不能判定四边形是正方形的是 ( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形 B.对角线互相垂直的矩形
C.对角线相等的菱形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形
2.如图K30-1,正方形ABCD的边长为6,以CD为一边作等边三角形DCE,点E在正方形内部,则点E到CD的距离是 ( )
图K30-1
A.6 B.33 C.2 D.23
3.如图K30-2,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交FG于点P,则DP等于 ( )
图K30-2
A.22 B.42 C.2 D.1
4.[2017·泰安] 如图K30-3,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为 ( )
图K30-3
A.18 B.1095
C.965 D.253
5.[2017·毕节] 如图K30-4,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,则下列判断不正确的是 ( )
图K30-4
A.△AEE'是等腰直角三角形 B.AF垂直平分EE'
C.△EE'C∽△FAD D.△AE'F是等腰三角形
6.[2017·黔东南州] 如图K30-5,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于O,则∠DOC的度数为 ( )
图K30-5
A.60° B.67.5° C.75° D.54°
7.如图K30-6,BD为正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF.若CE=1 cm,则BF= cm.
图K30-6
8.[2017·天津] 如图K30-7,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为 .
图K30-7
9.如图K30-8,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
图K30-8
|能力提升|
10.[2018·桂林] 如图K30-9,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为 ( )
图K30-9
A.3 B.23 C.13 D.15
11.[2018·青岛] 如图K30-10,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 .
图K30-10
|思维拓展|
12.[2017·贵港] 如图K30-11,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是12,其中正确结论的个数是 ( )
图K30-11
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图K30-12,正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点E在DC上,点F在DP上,且∠DFE=45°,若PF=56,则CE= .
图K30-12
参考答案
1.A 2.B 3.B
4.B [解析] 在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=AB2+BM2=122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以
∠B=90°,AD=AB=12.因为ME⊥MA,
所以∠AME=90°.所以∠AME=∠B.因为AD∥BC,所以∠EAM=∠AMB.
所以△ABM∽△EMA,所以BMAM=AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,
所以DE=AE-AD=1695-12=1095.
5.D [解析] ①由“四边形ABCD是正方形”,可得∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°,根据旋转的性质,可得∠BAE=∠DAE',AE=AE',∠EAE'=90°,所以△AEE'是等腰直角三角形,故A正确;②由∠EAF=45°,∠BAD=90°可知∠BAE+
∠DAF=45°,又因为∠BAE=∠DAE',所以∠FAE'=45°,根据等腰直角三角形的底角为45度可知∠AE'E=45°,因此AF⊥EE',依据“等腰三角形三线合一”的性质可知AF垂直平分EE',故B正确;③由∠AFE'+∠DAF=90°,∠AFE'+∠EE'F=90°,可得∠DAF=∠EE'F,又因为∠ADF=∠C=90°,所以△EE'C∽△FAD,故C正确.故选D.
6.A [解析] 连接BF,∵E为AB的中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,
∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,∴∠FBC=150°,又BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵正方形ABCD,∴∠DBC=45°,根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”,得∠DOC=15°+45°=60°.
7.2+2
8.5 [解析] 如图,延长GE交AB于点N,过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知:AN=AB-BN=AB-EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,所以ME=12NE=1,PM=12AN=1,因此MG=2.在Rt△PMG中,根据勾股定理可得:PG=PM2+MG2=5.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°,
∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,
∴BE=BF,
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF,
∴∠ABF=∠CBE.
∴△ABF≌△CBE.
(2)△CEF是直角三角形.理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形,
∴∠BFE=∠FEB=45°,
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°,
又∵△ABF≌△CBE,
∴∠CEB=∠AFB=135°,
∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°,
∴△CEF是直角三角形.
10.C [解析] 如图,连接BM,则由题意可得,△ADM≌△AEM≌△ABF,∴∠BAF=∠EAM,BA=AE,AF=AM,∴∠BAF+
∠BAE=∠EAM+∠BAE,即∠EAF=∠BAM,则在△EAF和△BAM中,
∵AE=BA,∠EAF=∠BAM,AF=AM,∴△EAF≌△BAM(SAS),∴FE=BM,又∵DM=1,在正方形ABCD中,AB=3,∴CM=3-1=2,CB=3,
∠C=90°,∴BM=BC2+CM2=32+22=13,∴FE=BM=13,故选C.
11.342 [解析] ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠BGF=∠BGA=90°.在Rt△BCF中,CF=3,∴BF=52+32=34.在Rt△BGF中,∵点H为BF的中点,∴GH=12BF=342.
12.D [解析] ∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,
∴∠BCN+∠DCN=90°,
又∵CN⊥DM,∴∠CDM+∠DCN=90°,
∴∠BCN=∠CDM,
又∵∠CBN=∠DCM=90°,
∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;
根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN,
又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,
∴△OCM≌△OBN(SAS),
∴OM=ON,∠COM=∠BON,
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON,
即∠DOM=∠CON,
又∵DO=CO,∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确;
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,
∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴△OMN∽△OAD,故③正确;
∵AB=BC,CM=BN,∴BM=AN,
又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,
∴AN2+CM2=MN2,故④正确;
∵△OCM≌△OBN,
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,
即四边形BMON的面积是定值1,
∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小,
设BN=x,则BM=2-x,
∴△MNB的面积=12x×(2-x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12,
∴当x=1时,△MNB的面积有最大值12,此时S△OMN的最小值是1-12=12,故⑤正确;
综上所述,正确结论的个数是5个,故选D.
13.76 [解析] 在Rt△ADM中,AD=2,AM=1,
由勾股定理,得DM=AD2+AM2=5,
由DC∥AM,得△DPC∽△MPA,
∴DPMP=DCAM=2,∴DP=23DM=235.
又∵PF=56,
∴DF=DP-PF=235-56=52.
∵∠DFE=∠DCP=45°,∠EDF=∠PDC,
∴△DFE∽△DCP,
∴DEDP=DFDC,即DE235=1252,解得DE=56.
∴CE=DC-DE=2-56=76.
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