数学三调理科参考答案.pdf

1 吉林市普通中学 2018—2019 学年度高中毕业班第三次调研测试 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B A A D D C B B B C 二、填空题 13．40 ; 14．-1 ; 15. 4 号 5 号; 16.    3, 1 3,   三、解答题 17. 解： （1）依题意，得 21 3 tansin2 6sin aCab C A ,即3 sin cos 3b A C a ----------------------------------------------------------2 分 由正弦定理得:3sin sin cos 3sinB A C A ---------------------------------------------------------------------------------------4 分 (0, ), sin 0AA   3sin cos 3BC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （2） sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C    , 3 3 3sin 3 6 2A    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------7 分 A 为锐角  1cos 2A , ------------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分 由余弦定理得: 22 1922b c bc    ，即 29 3 ( )bc b c   ， ------------------------------------------------------------10 分 22( ) 9 3 ( )2 bcbc      ,整理得： 21 ( ) 94 bc，即 6bc，当且仅当 3bc时取等号 故bc 的最大值为 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 （注：由正弦定理，回避均值不等式求解，酌情给分） 18.解： （1）依题意，青少年人，中老年人的频率分别为 2 5 ， 3 5 ， 由 210 10 0.030 5a    310 10 0.015 20 0.005 5b      得 0.010a  ， 0.035b  -----------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分 2 20 0.1 30 0.3 40 0.35 50 0.15 60 0.05 70 0.05x             =39 --------------------------------------------6 分 （2）由题意可知，“青少年人”共有 2100 405 人，“中老年人”共有100 40 60人 ---------------------------8 分 完成 22 列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年人 15 25 40 中老年人 35 25 60 合计 50 50 100 ---------------------------------------------------------------------------------10 分 结合列联表 2 2 100(35 25 15 25) 4.1750 50 60 40K      6.635 故没有 99％把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动。------------------------------------------------ 12 分 19.解： （1）证明：取 PC 中点 F ，连 EF ，则 1 ,2EF CD EF ∥CD 1 ,2AB CD AB ∥ ,EF AB EF ∥ AB ----------------------------------------------- 2 分 四边形 ABFE 为平行四边形 AE ∥ BF AE 平面 ,PBC ， BF 平面 PBC AE ∥平面 PBC . --------------------------------------------------4 分 （2）以 A 为原点， ,,AD AB AP分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 设 ,AB m ，则 2CD m ， (0,0,0)A , ( 3,0,0)D , (0,0,1)P , ( 3,2 ,0)Cm, 31( ,0, )22E , -----------------6 分 ,AB PA AB AD AB    平面 PAD ，故平面 DAE 的一个法向量为 1 (0,1,0)n  ------------------------7 分 31( ,0, )22AE  ， ( 3,2 ,0)AC m ，设平面 AEC 的法向量 2 2 2 2( , , )n x y z ， 由 2 2 0 0 AE n AC n    得 22 22 31022 3 2 0 xz x my     。令 2 23x  得 22 36,zym    即 2 3(2 3, , 6)n m   ------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 A B CD P E F x y z3 依题意 12 1cos , 2nn  ， 12 12 2 3 912 36 nn m nn m    1 2 , 解得 3 4m  ------------------------------------------11 分 1 3P ABCD ABCDV AP S = 1 1 3 31 ( ) 33 2 4 2     33 8 ----------------------------------------------------------------12 分 20 解： （1）依题意 2 2,AB b，则 1b  -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分 又由 22 3 2 1 ce a ac     ，解得 2a  ，故椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y --------------------------------------------------------4 分 （2）设 11( , )C x y , 22( , )D x y , ( ,2)Pt (不妨设 0)t  ，则直线 PA 的方程为 1 1yxt， 代入椭圆方程化简得 2 2 2 480t xxtt  ，解得 0Ax  ， 1 2 8 4 tx t   ，同理 0Bx  ， 2 2 24 36 tx t  ---------6 分  ACB ADBS S S四边形ACBD 21 1 2 AB x x= 3 42 32( 12 ) 40 144 tt tt  = 2 2 1232( ) 144 40 t t t t   2 1232( ) 12( ) 16 t t t t    -----------8 分 令 12 43ut t   ，则四边形 ACBD面积= 232 16 u u 32 u16 g u u   （ ） ---------------------------------------10 分 又 ()gu 在 4 3,  上单调递减， max( ) (4 3)ABCDSg23 ------------------------------------------------12 分 21.解： （1） ( ) (1) 1 1,mf x x f mx       即 2m  -------------------------------------------------------------------------2 分 11(1) 1 .22f     1 122 n ，解得 1n  -------------------------------------------------------------------------4 分 （2）依题意 1m x  ( ) 0fx，故 ()fx在 0,1 上单调递增，不妨设 1210xx   ， 则 12( ) ( )f x f x 且 12 11 xx ，原不等式即为 12 12 ( ) ( )ttf x f xxx   。 ----------------------------------------6 分 令 ( ) ( ) tg x f x x，依题意，应满足 ()gx在 0,1 上单调递减， 即 2( ) 0mtg x xxx      在 0,1 上恒成立。 -------------------------------------------------------------------------8 分 4 即 3t mx x在 0,1 上恒成立，令 3()h x mx x，则 2( ) 3h x m x  -------------------------------------9 分 （i）若 3m  ， ( ) 0hx  此时 ()hx 在 0,1 上单调递增，故此时 ( ) = (1) 1h x h m最大值 ------------------10 分 （ii）若13m， (0, )3 mx 时， ( ) 0hx  ， ()hx 单调递增； ( ,1)3 mx 时， ( ) 0hx  ()hx 单调递减； 故此时 max 2( ) ( )3 3 3 m m mh x h 2 ,1 3( ) = ,33 1,3 4 mm mhx mm        最大值 故对于任意  1,4 ,m 满足题设条件的t 最小值为 3. ---------------------------------------------------------------------12 分 22.解： （1）曲线 1C 的参数方程为 21 2 21 2 xt yt     （t 为参数）转化为普通方程为 20xy   ----------------------2 分 曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos   转化为直角坐标方程为 2 4yx ----------------------------------4 分 （2）把曲线 的参数方程为 （ 为参数），代入 得 2 6 2 6 0tt   ， ---------------6 分 设 12,tt是 ,AB对应的参数，则 12 62tt   ， 12 6tt ----------------------------------------------------8 分 所以 11 PA PB = PA PB PA PB  12 12 tt tt  2 1 2 1 2 12 ( ) 4t t t t tt  96 6 = 26 3 ------------------------------10 分 23.解： （1） ()fx 3 , 1 12 , 1 2 13, 2 xx xx xx              -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分 所以 ( ) 3fx 等价于 1 33 x x   或 11 2 23 x x      或 1 2 33 x x     ，解得 1x  或 1x  ， 5 所以不等式的解集为 1xx 或 1x  ---------------------------------------------------------------------------4 分 （2）由（1）可知，当 1 2x  时， ()fx取得最小值 3 2 ，所以 3 ,2m  即 1 3 3 2 2 2a b c   故 2 3 3a b c   ----------------------------------------------------------------------------------------------6 分 由柯西不等式 2 2 2 2 2 2( )(1 2 3 )abc    2( 2 3 ) 9a b c    ，整理得 2 2 2 9 14abc   ， ------------------8 分 当且仅当 1 2 3 abc时，即 3 6 9,,14 14 14abc   时等号成立 所以 2 2 2abc的最小值为 9 14 。 ----------------------------------------------------------------------------------------------10 分