北京市海淀区2019届高三下学期期中练习（一模）数学（文）试题答案.pdf

1 / 8 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数 学 （文科） 2019.04 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. A 2. C 3. D 4. D 5.B 6. B 7. C 8. B 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 1 10. 1 5 76, 4 11. 48 12. ( 1,2 ) （答案不唯一） 13. 3 ,22 14. 2 , [0 , )  三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（共 13 分） 解：（I）因为 522aa， 2d  所以 112 5 2 10 2a d a    ， 所以 1 4a  所以 26nan (II) 21() 52 m m aamSmm  又 9 12a  ， 15 24a  因为 915,,mSaa 是等比数列， 所以 2 915() maSa  所以 2 5 6 0mm   6, 1mm   因为 *mN ，所以 6m  2 / 8 16.（共 13 分） 解：（Ⅰ） π(0)22 sin()cos014fa 22 2 1 2 a   所以 1a  （Ⅱ） ()22 cos()cos14fxxx  (2sin2cos)cos1xxx 22sincos2cos1xxx sin 2 cos2xx π2 s in (2 ) 4x 由图象得 0 π π2 42x  所以 0 π 8x  函数 ()fx的单调增区间为 31( π π, π π)88kk， k  Z 3 / 8 17.（共 14 分） 解：（I）证明：因为三棱柱 111A B C A B C 中， 11AB AB 又因为 ,DE分别为 1 1 1 1,AC B C 的中点，所以 DE 11AB 于是 DE AB AB  平面 D E F ， DE  平面 D E F 所以 AB 平面 (II) 在三棱柱 111A B C A B C 中， 1CC  平面 ABC ， AC  平面 ， BC  平面 所以 1C C A C ， 1C C B C 又 A C B C 1B C C C C  ， 1,BC CC  平面 11CB C B 所以 AC  平面 EF  平面 所以 ACEF 又因为 1 2BCCC， 1CCBC ， 所以侧面 11CBC B 为正方形，故 11BC CB 而 ,EF分别为 111 ,BCBB 的中点，连结 1BC ，所以 EF ‖ 1BC 所以 1EFCB ，又 1ACCBC  ， 1,ACCB  平面 1A CB 所以 EF  平面 又 EF  平面 DEF 所以平面 1ACB  平面 DEF （Ⅲ） 1 1 1 12 33E ACB A ECB ECBV V S AC      4 / 8 18.（共 13 分） 解：(Ⅰ) 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省， 人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省 (Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足 50% 为 事件 A 在十个地区中，有 3 个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足 ， 则 3() 10PA  （Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件 B 新封山育林面积超过十万公顷有 4 个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为 1234, , ,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有 2 个地区：内蒙、河北即 12,aa 从 4 个地区中任取 2 个地区共有 6 种情况，            121314232434,,,,,,,,,,,aaaaaaaaaaaa 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有 7 种情况，          1 2 1 3 1 4 2 3 2 4, , , , , , , , ,a a a a a a a a a a 则 5() 6PB  5 / 8 19．（共 13 分） 解：（Ⅰ）当 6 , 0ax时， 3215()61 32fxxxx 所以 2'()56(2)(3)fxxxxx ， 令 '( ) 0,fx 得 2x  ，或 3x  . 当 x 变化时， ' ( ) , ( )f x f x 的变化情况如下表： x ( 0,2 ) 2 (2,3) 3 ( 3, ) '( )fx  0  0  ()fx 极大值 极小值 所以 ()fx在 ( 0 ,+ ) 上的单调递增区间是 (0,2) ， ( 3, ) ，单调递减区间是 (2,3) (Ⅱ)当 0a  时， 若 0x  ，则 3215()1 32fxxxax ， 所以 2'()5(5)fxxxax xa 因为 0,0xa，所以 '()0fx 若 0x  ，则 3215()1 32fxxxax ， 所以 2'()5fxxxa 令 '()0,fx 2540 a  ， 所以有两个不相等的实根 12,xx，且 12 0xx  不妨设 2 0x  ，所以当 x 变化时， '(),()fxfx 的变化情况如下表： x (,0) 0 2(0, )x 2x 2(,)x  '()fx  无定义  ()fx 极大值 极小值 因为函数 ()fx图象是连续不断的， 所以当 0a  时， ()fx即存在极大值又有极小值 6 / 8 20.（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 ( 2 ,0 )A  ，所以 2a  因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形， 所以 bc 又 222b c a 所以 2bc ， 所以椭圆方程为 22 142 xy （Ⅱ）方法一： 设 ( , )mmM x y 1 m MP m yk x  ， = 2 m AM m yk x  1AMMPkk   22 112 142 mm mm mm yy xx xy       0 2 m m x y   ， 2 0 m m x y    （舍） 所以 =6AM 方法二： 设 ， 因为 AM 与 MN 垂直， 所以点 M 在以 AP 为直径的圆上， 又以 为直径的圆的圆心为 1( ,0)2 ，半径为 3 2 ，方程为 2219()24xy   7 / 8 22 22 19()24 142 mm mm xy xy       ， 0 2 m m x y   ， 2 0 m m x y    （舍） 所以 =6AM 方法三： 设直线 AM 的斜率为 k ， : ( 2 )AMl y k x  ，其中 0k  22 ( 2) 142 y k x xy   化简得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k     当 0 时， 2 2 84 12AM kxx k  得 2 2 24 12M kx k   ， 2 4 21M ky k  显然直线 ,AM MN 存在斜率且斜率不为 0. 因为 AM 与 MN 垂直， 所以 2 2 2 4 21=24 112 MP k kk k k    1 k 得 2 1 2k  ， 2 2k  ， 0Mx  所以 2= 1 2 6MAM k x   （Ⅲ）直线 NQ 恒过定点 (2,0) 设 11(,)Mxy ， 22( , )N x y ， 由题意，设直线 MN 的方程为 1xmy， 由 22 1, 2 4 0 x my xy      得 22(2)230mymy ， 显然， 0 ，则 12 2 2 2 myym   ， 12 2 3 2yy m   ， 8 / 8 因为直线 PQ 与 AM 平行，所以 1 1 2PQ AM ykk x ， 则 PQ 的直线方程为 1 1 ( 1 )2 yyxx ， 令 5 2x  ，则 1 1 11 3 32 22(3) y yy xmy ，即 1 1 35( , )2 2 ( 3 ) yQ my  1 2 1 1 2 2 1 12 2 3 2( 3) 2 6 3 5 ( 3)(2 3) 2 NQ yy my my y y yk my myx     ， 直线 NQ 的方程为 1221 222 1221 263 ()2639 myyyyyyxx myymymy   122112212 222 12211221 263(263)(1) 26392639 my yyymy yyymyyxy m y ymymym y ymymy   1 2211 221 22 1 2211 221 2632153 26392639 my yyymy yyy xm y ymymym y ymymy  令 0y  ，得 1221 1221 2153 263 my yyyx my yyy   因为 121223()myyyy，故 2 2 18 29 yx y， 所以直线 NQ 恒过定点 (2 ,0 ) .