限时检测提速练(四) 小题考法——三角恒等变换与解三角形
1．(2018·湖南联考)已知θ的始边与x轴非负半轴重合，终边上存在点P(－1，a)且sin θ＝，则a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选B sin θ＝＝，解得a＝1．
2．(2018·攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，则sin 2α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A 由题意，根据诱导公式得cos＝－sin α＝⇒sin α＝－，又因为sin α＜0，所以－＜α＜0，所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选A．
3．(2018·邯郸一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知absin C＝20sin B，a2＋c2＝41，且8cos B＝1，则b＝( )
A．6 B．4
C．3 D．7
解析：选A 因为absin C＝20sin B，所以abc＝20b，ac＝20，
∴b＝＝＝6.选A．
4．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为( )
A． B．
C．或 D．
解析：选B ∵A∈，∴A＋∈，
所以cos＜0，且cos＝－＝－，
6
所以sin A＝sin＝sincos －cossin ＝，选B．
5. (2018·湖北统考)已知α∈，cos＝， 则sin α的值等于( )
A． B．
C． D．－
解析：选C 因为α∈，所以＋α∈，
由cos＝，得sin＝＝，则sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝，故选C．
6．(2018·潍坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B ∵α∈，tan(α－π)＝－，
∴tan α＝－，即＝－，
∵sin2 α＋cos2 α＝1，∴sin α＝，cos α＝－，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝×＝－，故选B．
7．(2018·河南联考)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b2＝a(a＋c)，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C ∵b2＝a2＋c2－2accos B，b2＝a(a＋c)
∴ac＝c2－2accos B，
∴a＝c－2acos B，
6
∴sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A＝B－A，∴B＝2A．
∵0＜A＜，0＜B＝2A＜，
0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜．
∴＝sin A∈．
8．(2018·茂名联考)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin＝( )
A．1 B．－
C． D．
解析：选C ∵S＝absin C，cos C＝，
∴2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C，
代入已知等式得
4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
即2absin C＝2abcos C＋2ab，
∵ab≠0，∴sin C＝cos C＋1，
∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cos C＋1)2＋cos2C＝1．
解得：cos C＝－1(不合题意，舍去)，cos C＝0，∴sin C＝1，
则sin＝(sin C＋cos C)＝.故选C．
9．(2018·豫南联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A． B．
C． D．2
解析：选B sin＝，－＝，A＝，由于a＝2为定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ，即4＝b2＋c2＋bc.根据基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤
6
，当且仅当b＝c时，等号成立．
S△ABC＝bcsin A≤××＝，故选B．
10．(2018·湖北统考)锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论：
①sin A＝2sin B·sin C；
②tan B＋tan C＝2tan B·tan C；
③tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C；
④tan A·tan B·tan C有最小值8．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由S＝＝absin C，得a＝2bsin C，
又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正确；
由sin A＝2sin Bsin C，得
sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同时除以cos Bcos C，
可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正确；
由tan(A＋B)＝
且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
所以＝－tan C，整理移项得tan A＋tan B＋tan C＝2tan Atan Btan C，故③正确；
由tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan A＝－tan(B＋C)＝－，
且tan A，tan B，tan C都是正数，得
tan Atan Btan C＝·tan Btan C
＝·tan Btan C＝，
设m＝tan Btan C－1，则m＞0，
6
tan Atan Btan C＝＝2＋4≥4＋2× 2＝8，当且仅当m＝tan Btan C－1＝1，
即tan Btan C＝2时取“＝”，此时tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正确，故选D．
11．(2018·六安模拟)若tan α＝3，α∈，则cos＝____．
解析：由tan α＝3，可得＝3. 又sin2α＋cos2α＝1，
结合α∈，可得sin α＝，cos α＝，
∴cos＝(cos α＋sin α)＝．
答案：
12．(2018·K12联盟联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝2sin C，则∠C的大小为____．
解析：∵＝2sin C，
∴根据正弦定理可得＝2sin C，
∵cos C＝，∴cos C＝sin C，
即tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．
答案：
13．(2018·广东联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，当ab取得最大值时，S△ABC＝____．
解析：因为(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝－，所以sin C＝，
由余弦定理得()2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．所以S△ABC＝．
答案：
14．(2018·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Ccos
6
B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，则ab的最小值为____．
解析：在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
则sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，
化简得－2sin Bcos C＝sin B，
∵sin B＞0，∴cos C＝－，
∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时成立．
∴ab≥.则ab的最小值为．
答案：
6
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