第三章 圆
1.解决与弦有关的问题
垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法——构造直角三角形;在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——圆心到弦的距离.
【例】如图,平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2.
(1)求☉P的半径.
(2)将☉P向下平移,求☉P与x轴相切时平移的距离.
【标准解答】(1)作PC⊥AB于C,连接PA.∴AC=CB=AB.
∵AB=2,∴AC=.
∵点P的坐标为(3,-1),∴PC=1.
在Rt△PAC中,∠PCA=90°,
∴PA===2.
∴☉P的半径为2.
(2)将☉P向下平移,☉P与x轴相切时平移的距离为2-1=1.
1.如图,☉O的直径CD=5cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OD=3∶5.则AB的长是 ( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.2cm
1题图
25
2题图
2.如图☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,则CD的长为
( )
A.2 B.4 C.4 D.8
3.☉O过点B,C,圆心O在等腰直角△ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则☉O的半径为 ( )
A. B.2
C. D.3
2.与圆心角、圆周角有关的问题
(1)利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化.
(2)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化.
(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件.
(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角.
【例1】如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于
( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
【标准解答】选C.∵∠APD是△APC的外角,∴∠APD=∠C+∠A;
∵∠A=30°,∠APD=70°,
∴∠C=∠APD-∠A=40°.
25
∴∠B=∠C=40°.
【例2】如图,将三角板的直角顶点放在☉O的圆心上,两条直角边分别交☉O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB,则∠APB的大小为 度.
【标准解答】∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角,
∴∠APB=∠AOB=×90°=45°.
答案:45
【例3】如图,☉O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,则∠ACD的度数是 .
【标准解答】连接AD,
∵CD是直径,
∴∠CAD=90°,
∵∠B=40°,
∴∠D=40°,
∴∠ACD=50°.
答案:50°
【例4】如图,四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,∠DAB=49°,则∠AOC的度数为 .
25
【标准解答】如图,在上取点M,连接AM,CM,
∵AD∥BC,∠DAB=49°,
∴∠ABC=131°,
∴∠M=49°,
∠AOC=98°.
答案:98°
1.如图,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为 ( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
1题图
25
2题图
3题图
2.如图,AB是☉O的直径,C,D,E都是☉O上的点,则∠ACE+∠BDE= ( )
A.60° B.75° C.90° D.120°
3.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E= °.
4.如图,AB是☉O的直径,C是弧AE的中点,CD⊥AB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF.
3.切线的判定与性质
(1)切线的三种判定方法
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①从公共点的个数来判断:直线与圆有且只有一个公共点;
②从圆心到直线的距离来判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;
③应用判定定理:经过半径外端且与半径垂直.
(2)利用切线的判定定理的两个思路
①连半径,证垂直:
若已知直线与圆有公共点,则连接圆心和公共点,证明垂直.
②作垂线,证等径:
若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.
(3)切线性质应用的两个思路
①有切点:连接切点和半径,必垂直,建直角三角形;
②无切点:过圆心作半径,必垂直,得切点,建直角三角形.
【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°①,∠ABC的平分线交AC于点E②,过点E作BE的垂线于点F③,☉O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是☉O的切线④.
(2)过点E作EH⊥AB于点H⑤,
求证:CD=HF.
【信息解读·破译解题秘钥】
条件②直译为:∠CBE=∠FBE⑥.
条件③翻译为:BF为圆O的直径.
破译:连接OE,则可得∠OBE=∠OEB,整合条件②③,可得OE∥BC⑦.
破译:整合条件①⑥⑦得到OE⊥AC,进而得到AC是☉O的切线.
条件②翻译为:=,进而得到DE=EF⑧.
破译:整合条件①②⑤,得到CE=EH⑨.
破译:整合条件①⑤⑧⑨,得到△ECD≌△EHF,进而得到CD=HF.
【标准解答】(1)连接OE.
∵BE⊥EF,
∴∠BEF=90°,
∴BF为☉O的直径.
∵BE平分∠ABC,
25
∴∠OBE=∠CBE.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.
∴∠CBE=∠OEB.∴OE∥BC.
∴∠OEA=∠C=90°.∴OE⊥AC.
∴AC是☉O的切线.
(2)连接DE.
∵∠OBE=∠CBE,∴=.
∴DE=EF.
∵BE平分∠ABC,EC⊥BC,EH⊥AB,
∴EC=EH.
又∵∠C=∠EHF=90°,DE=EF,
∴Rt△DCE≌Rt△FHE.∴CD=HF.
【例2】如图,在☉O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度数.
【标准解答】(1)∵AB,CD是直径,
∴∠ADB=∠CBD=90°,
在△ABD和△CDB中,
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).
(2)∵BE是切线,∴AB⊥BE,
∴∠ABE=90°,
∵∠DBE=37°,∴∠ABD=53°,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA=90°-53°=37°,
25
∴∠ADC的度数为37°.
1.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:AC是☉O的切线.
(2)若BF=8,DF=,求☉O的半径r.
2.如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D=2∠CAD.
(1)求∠D的度数.
(2)若CD=2,求BD的长.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是☉O的切线.
(2)若AC=3AE,求tanC.
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4.三角形的外接圆与内切圆
(1)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离都相等.直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半.
(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等.直角三角形内切圆的半径r=(其中a,b为直角边,c为斜边).
【例1】如图,△ABC的外心坐标是 .
【标准解答】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,∴作图如图,
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,
∴△ABC的外心坐标是(-2,-1).
答案:(-2,-1)
【例2】△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.
【标准解答】根据切线长定理,设AE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zcm.根据题意,得
解得
即AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.
1.如图所示,△ABC内接于☉O,若∠OAB=28°,则∠C的大小是 ( )
A.56° B.62° C.28° D.32°
25
1题图
2题图
2.如图,已知☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则☉O的面积为 .
5.正多边形的有关计算
正多边形的半径、边心距、边长的一半构成一个直角三角形.正多边形的有关计算问题都可归结到这个直角三角形中.
【例】一个正三角形和一个正六边形的面积相等,求它们边长的比.
【标准解答】如图,设O,O′分别是正三角形ABC、正六边形EFGHIJ的中心,分别作OD⊥BC于D,作O′K⊥GH于K,连接OB,O′G,则在Rt△ODB中,∠BOD==
60°,BD=a3,
∴∠OBD=30°.
∴OB=2OD=2r3,由勾股定理得
OB2=OD2+BD2,即(2r3)2=+(a3)2
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解得r3=a3,
∴S3=6S△BOD=6××BD×OD=6××a3×a3=.
同理可得S6=12S△O′GK=12××GK×O′K=12××a6×a6=,
∵S3=S6,∴=,
∴=.∴=,即a3∶a6=∶1.
1.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则
∠PAB=( )
A.30° B.35° C.45° D.60°
1题图
2题图
2.如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是 ( )
A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin 36°
C.a=2rtan 36° D.r=Rcos 36°
3.图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.
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(1)如图②,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD
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