2019中考数学一轮复习单元检测试卷
第十七单元 勾股定理
考试时间：120分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
得 分
评卷人
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．3、4、5 C．12、15、18 D．1、、3
2．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或34
3．如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
6．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.2 B． C． D．
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：1： B．a：b：c＝1：1：
C．a：b：c＝2：2：3 D．a：b：c＝：2：
9．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A．3 B．5 C．4.2 D．4
10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（ ）
A．12.5尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
得 分
评卷人
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上），则点C到AB的距离为 ．
12．若CD是△ABC的高，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则CD的长为 ．
13．有两根木棒，分别长6cm、5cm，要再在7cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 ．
14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
得 分
评卷人
三、解答题（本大题共9小题，满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
16．某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．
17．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，
（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
19．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
20．如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数 ；
（3）如果m表示大于1的整数，且a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．
21．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
22．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离 ；
（2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、N两点的距离为 ；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度．
23．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故正确；
C、122+152≠192，不能构成直角三角形，故错误；
D、不是整数，此选项错误；
故选：B．
2．解：∵3，a，5是勾股数，
∴a＝4，
故选：A．
3．解：由题意：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，
∵，2，3都是无理数，
故选：D．
4．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB＝＝＝4，
故选：C．
5．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
6．解：∵AB＝1，BC＝2，BC⊥AB，
∴AC＝AD＝＝，
∴点D表示的数为：．
故选：D．
7．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
8．解：A、设a＝x，则b＝x，c＝x，
∵（x）2+（x）2≠（x）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、设a＝x，则b＝x，c＝x，
∵（x）2+（x）2＝（x）2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C、设a＝2x，则b＝2x，c＝3x，
∵（2x）2+（2x）2≠（3x）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设a＝x，则b＝2x，c＝x，
∵（x）2+（2x）2≠（x）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选：C．
10．解：设绳索长为x尺，则
102+（x﹣5+1）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．解：设点C到AB的距离为h，
∵AB＝＝5，
∴S△ABC＝×2×3＝×5×h，
∴h＝1.2，
故答案为：1.2．
12．解：∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴•AB•CD＝•AC•BC，
∴CD＝＝4.8，
故答案为4.8．
13．解：①6cm是直角边，
第三根木棒要取的长度是＝cm（舍去）；
②6cm是斜边，
第三根木棒要取的长度是＝cm．
故答案为： cm．
14．解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
三．解答题（共9小题）
15．解：连接AC，
∵∠B＝90°
∴AC2＝AB2+BC2．
∵AB＝BC＝2
∴AC2＝8．
∵∠D＝90°
∴AD2＝AC2﹣CD2．
∵CD＝1，
∴AD2＝7．
∴．
16．解：连接AC，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝62+82＝102，
∴AC＝10．
在△DAC中，CD2＝262，AD2＝242，
而242+102＝262，
即AC2+AD2＝CD2，
∴∠DCA＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+DC•AC，
＝×8×6+×24×10＝144（m）2，
答：四边形ABCD空地的面积是144m2．
17．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
18．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝1，
由勾股定理得，AD＝＝2，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC＝＝3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2，
解得，BC＝4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
19．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
20．解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42＝52，
∴3、4、5是一组勾股数；
（2）∵122+162＝202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
故答案为12，16，20
（3）∵m表示大于1的整数，
∴由a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2＝（4m）2+（4m2﹣1）2＝16m2+16m4﹣8m2+1＝16m4+8m2+1，而c2＝（4m2+1）2＝16m4+8m2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴a、b、c为勾股数．
21．定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，
＝×2+，
又∵S四边形ABCD＝＝，
∴＝×2+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
22．解：（1）AB＝＝13，
故答案为：13；
（2）MN＝4﹣（﹣1）＝5；
故答案为：5；
（3）△ABC为等腰三角形．理由如下：
∵DE＝5，EF＝4﹣（﹣2）＝6，DF＝＝5，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形；
（4）如图，作F关于x轴的对称点F′，连接FF′交x轴于P，
则此时，PD+PF的长度最短，
∵F（4，2），
∴F′（4，﹣2），
设直线PF′的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线PF′的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，
∴P（，0），
∴PD+PF的最短长度＝＝．
23．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，
方案2：AM+BM＝A′B＝＝，
∵6＜，
∴方案1更合适；
（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，
CQ1＝CQ4＝＝2，
∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；
②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，
DQ＝＝3，
∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），
③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，
（GQ3+2）2+11＝（2﹣GQ3）2+42，
解得：GQ3＝，
故当GQ＝5或时，△ABQ为等腰三角形．
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