南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（文史类）第 1 页（共 9 页）
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数 学 试 卷（文史类） 2019.03
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120
分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
参考公式：
·锥体的体积公式 V 圆柱=Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合 A={x|–2≤x≤2}，B={x|y= 1 x }，那么 A∩B=（ ）．
（A）{x|–2≤x≤1} （B）{x|–2≤x＜1} （C）{x|x＜–2} （D）{x|x≤2}
（2）设变量 x，y 满足约束条件
20
2 2 0
0
3
≥ ，
≥ ，
≤ ，
≤ ，
xy
xy
x
y
则目标函数 z=x–y
的最大值为（ ）．
（A）1 （B）–1 （C） 3
2 （D）–3
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的
i=（ ）．
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
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（4）设 a，b∈R，则“a＜b”是“(a–b)a2＜0”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）函数 y=2sin( π
3 –2x)（x∈[0，]）为增函数的区间是（ ）．
（A）[0， 5
12
] （B）[0，
2
] （C）[ ，11
12
] （D）[ ，]
（6）函数 f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f(–3)=0，则不等式 xf(x)＜0 的解
集为（ ）．
（A）(–3，0)∪(3，+∞) （B）(–∞，–3)∪(0，3)
（C）(–∞，–3)∪(3，+∞) （D）(–3，0)∪(0，3)
（7）过双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x （a＞0，b＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于
A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA（O 为坐标原点）， 则双曲线的离
心率为（ ）．
（A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5
（8）如图，在△ABC 中，∠BAC= π
3
，AD =2 DB ，
P 为 CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1
2 AB ，
若 AB=2，△ABC 的面积为 2 3 ，则| |为
（ ）．
（A） 2 （B） （C）3 （D） 4
3
A
C B
P D
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第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共 12 小题，共 110 分．
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请
将答案填在题中横线上。
（9）已知复数 z=1 3i
3i
，则 z 的实部为 ．
（10）已知函数 f(x)=(ax2+x–1)ex+f(0)，则 f(0)的值为 ．
（11）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别
为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积是
为 ．
（12）已知 P 为抛物线 C：y2=4 2 x 上一点，点 M( ，0)，若|PM|=4 ，则
△POM（O 为坐标原点）的面积为 ．
（13）已知 x，y 均为正实数，且 x+3y=2，则 2 xy
xy
的最小值为 ．
（14）设函数 f(x)=
2 5 6 0
4 4 0
， ≥ ，
， .
x x x
x x <
若函数 g(x)=x+a–f(x)有三个零点，则这三个
零点之和的取值范围是 ．
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三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分 评卷人
（15）（本小题满分 13 分）
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们
分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发
芽数，得到如下资料：
日 期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日
温差 x（°C） 10 11 13 12 8
发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16
（Ⅰ）求这 5 天的平均发芽率；
（Ⅱ）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，用(m，n)的
形式列出所有的基本事件，并求满足“m，n∈[25，30]”的事件 A 的概率．
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得 分 评卷人
（16）（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，B=2C，sinC= 7
4
．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）设 bc=24，求边 a 的长．
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得 分 评卷人
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在三棱锥 SABC 中，SA⊥底面 ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E 分别是
AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF=2FE．
（Ⅰ）求异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面 SBC；
（Ⅲ）设 G 为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值．
G E
F
C
D
B A
S
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得 分 评卷人
（18）（本小题满分 13 分）
已知数列{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a5=3a2，S7=14a2+7．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；an=2n–1
（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn(an+bn)}的前 n 项和
Tn．
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得 分 评卷人
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C： 12
2
2
2
b
y
a
x （a＞b＞0）的离心率为
3
6 ，两焦点与短轴的一个端点的连
线构成的三角形面积为 2 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设与圆 O：x2+y2= 3
4
相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点），
求△AOB 面积的最大值．
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得 分 评卷人
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)=1 ln x
x
．
（Ⅰ）（Ⅰ）求曲线 y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f(x)在区间(m，m+ 1
3
)（m＞0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；
（Ⅲ）设 g(x)=1 x
a
[xf(x)–1]，对任意 x∈(0，1)恒有 g(x)＜2x–2，求实数 a 的取值
范围．
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