2019年3月文科数学参考答案.pdf

1 高三模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A C A C B C D B A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．4 14． 8 15．1 16． 51 2  三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．【解析】 （1）当 1n  时， 1 1 122S a a   ，解得 1 2a  ， 当 2n 时， 1112 2 (2 2) 2 2n n n n n n na S S a a a a        ， 所以 12nnaa ， 所以 {}na 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 所以 2n na  ； （2） 222log 11 2log 2 11 2 11n nnb a n      ， 所以 {}nb 为等差数列， 所以 21()( 9 2 11) 1022 n n n b b nnT n n       ， 所以 当 5n  时， nT 有最小值： 5 25T  ． 18．【解析】 （1）在图 1 中， 因为 1 2BE AB CD且 BE CD ， 所以 四边形 EBCD 是平行四边形； 图1 E BA D C 2 在图 2 中， 连接 BD ，交 CE 于点 O ，连接 OM ， 所以 点 O 是 的中点， 又因为 点 M 为棱 PB 的中点， 所以 OM PD ， 因为 PD  平面 MCE ， OM  平面 ， 所以 PD 平面 ； （2）在图 1 中， 因为 EBCD 是平行四边形，所以 DE BC ， 因为 四边形 ABCD 是等腰梯形， 所以 AD BC ，所以 AD DE ， 因为 45BAD， 所以 AD DE ； 在图 2 中， PD DE ， 又 平面 PDE  平面 EBCD ，且平面 PDE 平面 EBCD DE ， 所以 PD  平面 ， 由（1）知 ， 所以 OM  平面 ， 在等腰直角三角形 ADE 中，因为 2AE  ，所以 2AD DE， 所以 1 1 2 2 2 2OM PD AD   ，又 1BCE ADESS△ △ ， 所以 12 36M BCE BCEV S OM    △ . 19.【解析】 （1）由题意可知 抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为 (1 0)， ， 所以 2p  ， 所以 抛物线的方程为 2 4yx ； （2）【解法一】 因为 点 P 与点 M 关于 x 轴对称 所以 设 11()P x y， ， 22()Q x y， ， 11()M x y， ， 设直线 PQ 的方程为 ( 2)y k x， 图2 O M P D C E B 3 代入 2 4yx 得： 2 2 2 24( 1) 4 0k x k x k    ，所以 12 4xx  ， 设直线 MQ 的方程为 y mx n， 代入 得：  2 2 22 4 0m x mn x n    ，所以 2 12 2 4nxx m， 因为 1200xx， ，所以 2n m  ，即 2nm ， 所以 直线 的方程为  2y m x，必过定点 ( 2 0) ， . 【解法二】 设 11()P x y， ， 22()Q x y， ， 33()M x y， ， 因为 点 P 与点 M 关于 x 轴对称，所以 31yy ， 设直线 PQ 的方程为 2x t y， 代入 得： 2 4 8 0y t y   ，所以 12 8yy  ， 设直线 的方程为 x m y n， 代入 得： 2 4 4 0y m y n   ，所以 23 4y y n ， 因为 ，所以 2 1 1 2( ) 4 8y y y y n      ，即 2n  ， 所以 直线 的方程为 2x my，必过定点 . 20．【解析】 （1）由题意可知 当一级滤芯更换 9、10、11 个时，二级滤芯需要更换 3 个， 当一级滤芯更换 12 个时，二级滤芯需要更换 4 个， 所以 { 3 4}M  ， ； （2）由题意可知 二级滤芯更换 3 个，需 1200 元，二级滤芯更换 4 个，需 1600 元， 在 100 台净水器中，二级滤芯需要更换 3 个的净水器共 70 台， 二级滤芯需要更换 4 个的净水器共 30 台， 设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元”为事件 A ， 所以 30( ) 0.3100PA； （3）因为 14ab ， bM ， （i）若 10 4ab， ， 4 则这 100 台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为 100 10 30 (100 10 200) 40 (100 10 400) 30 200 4 100 2000100               ， （ii）若 11 3ab， ， 则这 100 台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为 100 11 70 (100 11 200) 30 200 3 70 (200 3 400) 30 1880100               ， 所以 如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为 14 个， 客户应该购买一级滤芯 11 个，二级滤芯 3 个． 21．【解析】 （1）函数 ()fx的定义域为 (0 )， ， 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) 1 x axf x a x xx       ， 令 ( ) 0fx  ，则 1 1x  ， 2 1x a ， （i）若 1a ，则 ( ) 0fx 恒成立，所以 ()fx在 (0 )， 上是增函数， （ii）若 01a，则 1 1a  ， 当 (0 1)x ， 时， ( ) 0fx  ， ()fx是增函数， 当 1(1 )x a ， 时， ( ) 0fx  ， ()fx是减函数， 当 1()x a  ， 时， ( ) 0fx  ， ()fx是增函数， （iii）若 1a  ，则 101a， 当 1(0 )x a ， 时， ， 是增函数， 当 1( 1)x a ， 时， ， 是减函数， 当 (1 )x  ， 时， ， 是增函数， 综上所述：当 时， 在 上是增函数， 当 ， 在 (0 1)， 上是增函数， 在 1(1 )a ， 上是减函数， 在 1()a ， 上是增函数， 当 时， 在 1(0 )a ， 上是增函数， 5 在 1( 1 )a ， 上是减函数， 在 (1 )， 上是增函数； （2）当1ea时， ()fx在 1(0 )a ， 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数， 所以 的极小值为 (1) 1 0f    ， 的极大值为 21 1 1 1 1( ) ( 1) ln ln 12 2 2 aafaa a a a a        ， 设 1( ) ln 122 ag a aa    ，其中 (1 e)a ， ， 22 2 2 2 1 1 1 2 1 ( 1)( ) 02 2 2 2 a a aga a a a a          ， 所以 ()ga在 (1 e)， 上是增函数， 所以 e1( ) (e) 2 02 2eg a g     ， 因为 2 11(4) (4 1) 4 ln 4 9 4 ln 4 ln 4 02 2 2 af            ， 所以 0 (1 4)x， ，使 0( ) 0fx  ， 所以 当 时， ()fx有且仅有一个零点. 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 【解析】 （1）由 3 cos 1 3sin . x y      ， 可得： 3 cos 1 3sin . x y      ， 所以 2 2 2 2( 1) 3cos 3sin 3xy      ， 所以 曲线 C 的普通方程为 22( 1) 3xy   . 由 sin( ) 2 36 ，可得 31( sin cos ) 2 322  ， 所以 31sin cos 2 3 022      ， 所以 直线 l 的直角坐标方程为 3 4 3 0xy   . （2）【解法一】 6 曲线 C 的方程可化为 222 2 0x y y    ， 所以 曲线 的极坐标方程为 2 2 sin 2 0     . 由题意设 1()6A  ， ， 2()6B  ， ， 将 6  代入 ，可得： 2 1120   ， 所以 1 2  或 1 1  （舍去）， 将 代入 sin( ) 2 36 ，可得： 2 4  ， 所以 12| | | | 2AB    . 【解法二】 因为射线 OP 的极坐标方程为 ， 所以射线 的直角坐标方程为 3 ( 0)3y x x ， 由 22( 1) 3 3 ( 0) .3 xy y x x       ， 解得 ( 3 1)A ， ， 由 3 4 3 0 3 ( 0) .3 xy y x x      ， 解得 (2 3 2)B ， ， 所以 22| | (2 3 3 ) (2 1) 2AB      . 23. 【选修 4-5：不等式选讲】 （1）【解法一】 由题意 133 2 1( ) 1 22 3 3 2 . xx f x x x xx         ， ， ， ， ， 当 1 2x 时， ( ) 3 3 3f x x   ，解得 0x ，即 10 2x ， 当 1 22 x时， ( ) 1 3f x x ，解得 2x ，即 1 22 x， 当 2x 时， ( ) 3 3 3f x x ，解得 ，即 2x  . 综上所述，原不等式的解集为[0 2]， . 7 x y y=axy=ax A(2,3) O 【解法二】 由题意 133 2 1( ) 1 22 3 3 2 . xx f x x x xx         ， ， ， ， ， 作出 ()fx的图象 注意到 当 0x  或 2x  时， ( ) 3fx ， 结合图象，不等式的解集为[0 2]， ； （2）【解法一】 由（1）可知， ()fx的图象为 不等式 ()f x ax 的解集为空集可转化为 ()f x ax 对任意 xR 恒成立， 即函数 y ax 的图象始终在函数 ()y f x 的图象的下方， 如图 当直线 过点 (2 3)A ， 以及与直线 33yx   平行时为临界点，所以 33 2a. 【解法二】 不等式 的解集为空集可转化为 对任意 恒成立， （i）当 1 2x 时， ( ) 3 3f x x ax    ，即 ( 3) 3 0ax   恒成立， 若 30a ，显然不合题意， x y O A(2,3) B(0,3) A(2,3) B(0,3) 8 若 30a ，即 3a  ，则 30 恒成立，符合题意， 若 30a ，即 3a  ，只需 1( 3) 3 02a     即可，解得 3a  ，故 33a   ， 所以 33a； （ii）当 1 22 x时， ( ) 1f x x ax   ，即 ( 1) 1 0ax   恒成立， 若 10a  ，即 1a  ， 恒成立，符合题意， 若 10a ，即 1a  ，则 10 恒成立，符合题意， 若 10a ，即 1a  ，只需 ( 1) 2 1 0a    即可，解得 3 2a ，故 31 2a ， 所以 ； （iii）当 2x 时， ( ) 3 3f x x ax   ，即 ( 3) 3 0ax   恒成立， 若 30a ，即 3a  ，只需 ( 3) 2 3 0a     即可，解得 3 2a ，故 ， 若 30a ，即 3a  ，则 30 ，不合题意， 若 30a ，即 3a  ，则 ( 3) 3 0ax   恒成立，不合题意， 所以 ； 综上所述， 33 2a.