专题15 计算题解题方法与技巧
1．如图所示，C1、C2是两个平行板电容器，内部存在匀强电场，电容器C1的右侧存在匀强磁场，磁场区域和C2的电场区域有着理想的边界．初速度为零、带电荷量为＋q、质量为m的粒子在电容器C1中加速之后，从小孔P进入匀强磁场区域，经磁场偏转后垂直于电场线方向进入电容器C2内部，最后击中极板上的Q点，已知电容器C1两极板间电压为U，OP＝OQ＝d，粒子的重力不计．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)电容器C2内部的电场强度大小．
【答案】(1) (2)
(2)带电粒子在电容器C2中偏转，做类平抛运动，设经时间t到达Q点．由平抛运动规律有
d＝vt(1分)
d＝at2(1分)
又qE＝ma(2分)
联立解得E＝(2分)
2．“弹射车”因为其安装简单，可玩性高，广受孩子们的欢迎，其装置如图甲所示，按下按钮后玩具车被弹簧弹出，可以在固定的赛道上飞驰．某赛道可以简化为图乙所示的模型，玩具车从A
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点被弹出后，恰好到达竖直方向圆形轨道最高点C，驶过圆形轨道后经过长为x的粗糙水平轨道BD后，进入斜面DE，DE与水平方向夹角θ＝53°，最终停在E点(未画出)．已知A、C、E三个点高度相同，玩具车在粗糙轨道BD和DE上受到的阻力为其正压力的0.1，即阻力系数μ＝0.1，其他阻力不计，已知玩具车质量为0.1 kg，圆形轨道半径r＝0.4 m，斜面与水平轨道间用长度不计的光滑圆弧连接，玩具车可视为质点，sin 53°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求弹簧的弹性势能Ep；
(2)求BD长度x；
(3)若斜面DE与水平面夹角θ可以调节，要使玩具车返回圆形轨道时不脱离轨道，求θ需满足的条件．(可使用三角函数的值表示)
【答案】(1)0.2 J (2)1.4 m (3)tanθ＝
【解析】(1)玩具车恰好通过最高点C，即在C点只受到重力，重力提供向心力有mg＝m(2分)
玩具车由A点运动到C点只有重力做功，由机械能守恒定律有Ep＋mghA＝mv＋mghC(3分)
hA＝hC
联立解得Ep＝0.2 J(2分)
(3)设改变夹角θ后玩具车能到达斜面的最高点F，D点与F点间的长度为l′，从C点到最高点F由动能定理有
0－mv＝mg(2r－l′sinθ)－μmgx－μmgl′cosθ(3分)
当玩具车返回B 点恰好不脱离轨道时，小车到达B点左侧与半径等高处G点时速度为0，F点到G点由动能定理有
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mg(l′sinθ－r)－μmgx－μmgl′cosθ＝0－0(3分)
联立解得tanθ＝(2分)
3．如图甲所示，有一质量为M＝1.0 kg的薄板AB置于水平地面上，薄板AB的上表面由两种不同材料拼接而成，左侧部分光滑，右侧部分粗糙，下表面与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1.现让一质量m＝1.0 kg、初速度v0＝3 m/s的小物块(可视为质点)，从薄板AB的上表面左端水平滑上薄板，刚好没有从右端滑出，小物块在薄板AB上滑动的速度—时间图象如图乙所示，小物块与薄板AB粗糙部分间的动摩擦因数μ2＝0.25，g取10 m/s2.求：
(1)薄板AB上表面光滑部分的长度和粗糙部分的长度；
(2)要使小物块在最短时间滑过薄板AB，薄板AB下表面与水平地面间的动摩擦因数最小是多大？(其他条件不变，认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等)
【答案】(1)0.6 m 1.5 m (2)0.125
(2)要使小物块在最短时间滑过薄板AB，即要求薄板AB不动，则
μ2mg≤μ′1(M＋m)g(2分)
解得μ′1≥0.125(2分)
4．在竖直的xOy平面内，第Ⅰ、Ⅲ象限均存在相互正交的匀强电场和匀强磁场，第Ⅰ象限内电场沿＋y方向，磁场垂直xOy平面向外，第Ⅲ象限内电场沿－x方向，磁场垂直xOy平面向里，电场强度大小均为E，磁感应强度大小均为B，A、B两小球带等量异种电荷，带电荷量大小均为q
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，两球中间夹一被压缩的长度不计的绝缘轻弹簧(不粘连)，某时刻在原点O处同时释放AB，AB瞬间被弹开之后，A沿圆弧OM运动，B沿直线OP运动，OP与－x轴夹角θ＝37°，如图中虚线所示，不计两球间库仑力的影响，已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.试求：
(1)A、B两球的质量比；
(2)A球出射点M离O点的距离．
【答案】(1)＝ (2) (3)
(2)对B球受力分析，知：Bqv2sinθ＝Eq(1分)
得B球速度v2＝(1分)
AB弹开瞬间，动量守恒mAv1＝mBv2(2分)
解以上各式得，A球速度v1＝(1分)
A做圆周运动，Bqv1＝(2分)
轨道半径R＝＝(2分)
所以OM＝2Rsinθ＝.(2分)
(3)弹开瞬间，由能量守恒可知E弹＝mAv＋mBv(2分)
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代入得：E弹＝.(1分)
5．中国第一列从义乌开往英国伦敦的列车顺利抵达终点站。途径著名的英吉利海峡隧道。英吉利海峡隧道近似直线隧道，全长约50 km。如图1所示，其中海底隧道BC长40 km，前后各有5 km的连接隧道AB、CD。已知进入隧道前，列车时速144 km/h，在连接隧道上做匀变速直线运动，进入海底隧道时速度减为108 km/h，并在海底隧道中做匀速直线运动，最终离开英吉利海峡隧道时速度恢复为144 km/h。
图1
(1)求列车在连接隧道AB上运动的加速度大小？
(2)若列车总质量9×105 kg，所受阻力恒为车重的0.1倍，求在连接隧道CD上列车牵引力的大小？
(3)求列车通过英吉利海峡隧道AD的时间？
【答案】(1)0.07 m/s2 (2)9.63×105 N (3)0.450 h
(3)全程可分为三段，根据速度时间关系可得
t1＝t3＝＝ s＝142.86 s
t2＝＝1 333.33 s
总时间为t＝t1＋t2＋t3＝1 619.05 s≈0.450 h。
6．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中不仅能够体验到冒险的快感，还有助于理解物理原理，如图2所示，是某大型游乐场中过山车的部分轨道示意图，这部分轨道由直线轨道AB、半径R1＝50 m圆心角θ1＝120°的圆弧轨道BCD、半径R2＝10 m圆心角θ2＝240°的圆弧轨道DEF、半径为
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R1＝50 m圆心角θ3＝120°的圆弧轨道FGP、半径为R3圆心角为θ4＝120°的圆弧轨道PQM组成，这些轨道均平滑相切连接，相切点B、F、D、P、M均位于同一水平面上，假设这些轨道均位于同一竖直平面内，车厢在运动过程中受到的摩擦阻力与空气阻力之和恒为车重的0.1倍，车厢可视为质点，重力加速度g＝10 m/s2, π≈3, ＝1.732。现有一节质量m＝500 kg的车厢从A点静止下滑，经过最低点C时测得车厢对轨道的压力为16 000 N。(由于安全设计的需要，过山车在运动过程中是不会脱离轨道的)
图2
(1)求车厢经过轨道最低点C时的速度为多大；
(2)求直线轨道AB的长度l为多长；
(3)若要保证车厢通过圆弧轨道PQM的最高点Q时对轨道有向下的压力，求R3的取值范围。
【答案】(1)10 m/s (2)45.7 m
(3)10 m
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