第十四讲 全等三角形
(时间：45分钟)
一、选择题
1.(2018·安顺中考)如图,点D、E分别在线段AB、AC上,CD与BE相交于O点,已知AB＝AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )
A.∠B＝∠C B.AD＝AE
C.BD＝CE D.BE＝CD
,(第1题图) ,(第2题图)
2.如图,点A、E、F、D在同一直线上,若AB∥CD,AB＝CD,AE＝FD,则图中的全等三角形有( C )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.(2018·临沂中考)如图,∠ACB＝90°,AC＝BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD＝3,BE＝1,则DE的长是( B )
A. B.2 C.2 D.
,(第3题图) ,(第4题图)
4.如图,△ABC中,AB＝AC,BD＝CE,BE＝CF,若∠A＝50°,则∠DEF的度数是( C )
A.75° B.70° C.65° D.60°
5.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1、P2、P3、P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
,(第5题图) ,(第6题图)
6.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变,其中正确的个数为( B )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题
7.(2018·衢州中考)如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF＝CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是__AB＝DE__(只需写一个,不添加辅助线).
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,(第7题图) ,(第8题图)
8.如图,已知△ABC≌△BAD,若∠DAC＝20°,∠C＝88°,则∠DBA＝__36°__.
9.△ABC中,AB＝5,AC＝3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是__1＜m＜4__.
10.如图,Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,垂足分别为D、E,若BD＝3,CE＝2,则DE＝__5__.
,(第10题图) ,(第11题图)
11.如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,CB＝CD,对角线AC、BD相交于点O,下列结论：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC、BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝AC·BD.其中正确的是__①④__.(写出正确结论的序号)
12.如图,AC平分∠BAD,∠B＋∠D＝180°,CE⊥AD于点E,AD＝12 cm,AB＝7 cm,那么DE的长度为__2.5__cm.
三、解答题
13.(2018·恩施中考)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB＝CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分.
证明：连结BD、AE.
∵FB＝CE,∴BC＝EF.
∵AB∥ED,AC∥FD,
∴∠ABC＝∠DEF,
∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC＝∠BEF,
BC＝FE,
∠ACB＝∠DFE,
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.),∴AB＝DE.
又∵AB∥DE,∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AD与BE互相平分.
14.(2018·聊城中考)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连结AF.
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(1)求证：AE＝BF；
(2)若正方形边长是5,BE＝2,求AF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,
∠ABE＝∠BCF＝90°,
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵BH⊥AE,∴∠BHE＝90°,
∴∠AEB＋∠EBH＝90°,
∴∠BAE＝∠EBH.
在△ABE和△BCF中,
∵∠BAE＝∠CBF,
AB＝BC,
∠ABE＝∠BCF,
∴△ABE≌△BCF(A.S.A.),∴AE＝BF；
(2)解：∵AB＝BC＝5,△ABE≌△BCF,
∴CF＝BE＝2,∴DF＝5－2＝3.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB＝AD＝5,∠ADF＝90°,
∴由勾股定理得AF＝＝.
15.在等腰直角△ABC中,∠ACB＝90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连结AP,延长BC至点Q,使得CQ＝CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
解：(1)∠AMQ＝45°＋α.
理由：∵∠PAC＝α,△ACB是等腰直角三角形,
∴∠BAC＝∠B＝45°,∠PAB＝45°－α.
∵QH⊥AP,∴∠AHM＝90°,
∴∠AMQ＝90°－∠PAB＝45°＋α；
(2)PQ＝MB.理由：连结AQ,过点M作ME⊥QB于点E,则△MEB为等腰直角三角形,MB＝ME.
∵AC⊥QP,CQ＝CP,∴AQ＝AP,
∴∠QAC＝∠PAC＝α,
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∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ,∴AP＝AQ＝QM.
∵∠MQN＋∠APQ＝∠PAC＋∠APQ＝90°,
∴∠MQN＝∠PAC.
又∵∠ACP＝∠QEM＝90°,
∴△APC≌△QME(A.A.S.),∴PC＝ME,
∴PQ＝2PC＝2ME＝MB.
16.如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠BAC＝120°,点D、E都在边BC上,∠DAE＝60°.若BD＝2CE,求DE的长.
解：如图,将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,连结EF,过点E作EM⊥CF于点M,过点A作AN⊥BC于点N.
∵AB＝AC＝2,∠BAC＝120°,
∴BN＝CN,∠B＝∠ACB＝30°.
在Rt△BAN中,∠B＝30°,AB＝2,
∴AN＝AB＝,BN＝＝3,BC＝6.
∵∠BAC＝120°,∠DAE＝60°,
∴∠BAD＋∠CAE＝60°,
∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°.
在△ADE和△AFE中,
∵AD＝AF,
∠DAE＝∠FAE＝60°,
AE＝AE,
∴△ADE≌△AFE(S.A.S.),∴DE＝FE.
∵BD＝2CE,BD＝CF,∠ACF＝∠B＝30°,
∴设CE＝2x,则CM＝x,EM＝x,FM＝4x－x＝3x,EF＝ED＝6－6x.
在Rt△EFM中,EF2＝FM2＋EM2,
即(6－6x)2＝(3x)2＋(x)2,
解得x1＝,x2＝(不合题意,舍去),
∴DE＝6－6x＝3－3.
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