济钢高中高三下学期4月考（一）答案
1．解析：选B.∵集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}＝{－1,0}，∴A∪B＝{－1,0,1}．故选B.
2．解析：选D.由a－＝a－＝a－(3＋i)＝a－3－i为纯虚数得a－3＝0，即a＝3.
3．解析：选C.作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x并平移知，当直线经过点A时，z取得最大值，当直线经过点B时，z取得最小值，由，得，即A(2,3)，故zmax＝9.由，得，即B(0,2)，故zmin＝2，故z的最大值与最小值之差为7，选C.
4．解析： 解析：选D.①y＝xsin x是偶函数；②y＝xcos x是奇函数；③当x＝π时，y＝πcos π＝－π＜0，∴y＝x|cos x|是奇函数，且当x＞0时，y≥0；④y＝x·2x是非奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③.
5．解析：选C.通解：因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角为，选C.
优解：因为a⊥(a－b)，所以利用三角形法则不难得出，向量a，b，a－b构成直角三角形，且a，b的夹角必定为锐角，从而可知选C.
6．解析：选D.该几何体是由一个圆锥和一个球组成的，球的半径和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高为，所以该几何体的体积V＝π×12×＋π×13＝π，故选D.
7．解析：选C.
8．解析：
选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.
10.解析：选D.构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S＝2sin xdx＝－2cos x＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝，故选D.
11．解析：选D.∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1，选D.
12.
13．解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为Cr6(2x)r·Cm5ym，其中r＝0,1，…，6，m＝0,1，…，5.所以xy3项的系数为C16·2·C35＝120.
答案：120
14．解析：由正弦定理＝⇒sin B＝＝，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以S＝bc sin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
答案：＋1
15．解析：因为BC＝1，CD＝，BC⊥CD，所以BD＝2，又AB＝AD＝，所以AB⊥AD，所以三棱锥ABCD的外接球的球心为BD的中点，半径为1，所以三棱锥ABCD的外接球的体积为.
答案：
16．①，③ 解析：选C.如图，与点D的距离为的点P形成一个以D1
为圆心，半径为的圆弧MN，其长度为×2π×＝，所以①正确；因为平面A1DC1∥平面ACB1，所以点P必须在面对角线A1C1上运动，当点P在A1(或C1)时，DP与平面ACC1A1所成的角为∠DA1O(或∠DC1O)，tan∠DA1O＝，此时DP与平面ACC1A1所成的角最小，当点P在O1时，DP与平面ACC1A1所成的角为∠DO1O，tan∠DO1O＝，此时DP与平面ACC1A1所成的角最大，所以DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是，所以②错误；设P(x，y,1)，则x2＋y2＝2，所以DP在前后、左右、上下面上的投影长分别是、、，所以DP在6个面上的正投影长度之和为
.所以③正确．
17．解：(1)由2a2，a4,3a3成等差数列可得2a4＝2a2＋3a3，即2a1q3＝2a1q＋3a1q2….. (2分)
又q＞1，a1＝1，故2q2＝2＋3q，即2q2－3q－2＝0，得q＝2，
因此数列{an}的通项公式为an＝2n－1. …………………………………………… (6分)
(2)bn＝2n×2n－1＝n×2n，……………………………………………..(7分)
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ①，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1 ②…………………………………...(9分)
① －②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1，…………………………………(11分)
－Tn＝－n×2n＋1，Tn＝(n－1)×2n＋1＋2………………………………….(12分)
18．解：(1)设AC∩BD＝O，取EF中点N，连接NO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，……………………….(1分)
∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，ON⊂平面BDEF，
∴ON⊥平面ABCD，…………………………………………………………………..(2分)
以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，……………………………………(3分)
∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝，∵四边形BDEF是矩形，DE＝2，∴A(－，0,0)，
B(0,1,0)，C(，0,0)，E(0，－1,2)，D(0，－1,0)，设BM＝h，则M(0,1，h)，…..(4分)
∴＝(0,2，h)，＝(，－1,2)．
∵DM⊥平面ACE，∴⊥，………………………………………(5分)
∴－2＋2h＝0，解得h＝1，∴BM＝1………………………………………………..(6分)
(2)＝(，－1,0)，＝(0,2,1)，设平面ADM的法向量为m＝(x，y，z)，
则，………………………………………………………………………(7分)
∴，令x＝，得m＝(，3，－6)，………………………..(8分)
又AC⊥平面BDM，∴n＝(1,0,0)是平面BDM的一个法向量，…………(9分)
∴cos〈m，n〉＝＝＝，…………………………………(11分)
∴二面角ADMB的余弦值为…………………………………………..(12分)
20．解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为.
由，得x2－2x＋4－3c2＝0……………………………………(2分)
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
∴椭圆E的方程为…………………………………………………..(4分)
(2)由(1)得M，∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，……………... (6分)
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依题意得，
x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，………………………….(8分)
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝1＋＝λ，∴λ＝，……(10分)
∵k2＞，∴4k2＞1，∴3＋4k2＞4，∴0＜＜，∴1＜1＋＜，
∴＜＜1，即＜λ＜1.
综上所述，λ的取值范围是…………………………………………(12分)
21．解：(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x＞0时，函数f′(x)≥0恒成立，即
a≥ 恒成立，记g(x)＝
则g′(x)＝＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)＜g(0)＝，所以a≥…………………………………………..(6分)
(2)因为[f′(x)]′＝2xex＋2a＞0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函数，
又f′(0)＝4a－2＜0，f′(1)＝6a＞0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，………..(8分)
又当x∈(0，t)时，f′(x)＜0，当x∈(t，＋∞)时，f′(x)＞0，所以当x＝t时，
f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.且有f′(t)＝0⇒a＝，
则f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈
(0,1)．……………..(10分)
记h(t)＝et(－t2＋t－2)，则h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)＜0，
所以h(1)＜h(t)＜h(0)，即f(x)的最小值的取值范围是(－2e，－2)．……………(12分)
22．解：(1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝t，∴曲线C2的直角坐标方程为x＋y－t＝0………………………………………………..(4分)
(2)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，为半圆弧，….(5分)
如图所示，曲线C2为平行于直线x＋y＝0的直线，或为直线x＋y＝0，当直线C2与曲线C1相切时，由＝1，
解得t＝2－或t＝2＋(舍去)，………………….(7分)
当直线C2过A，B两点时，t＝1，…………………..(9分)
由图可知，当曲线C2与直线C1有两个公共点时，实数t的取值范围是(2－，1]．….(10分)
23．解：(1)由已知，得f(x)＝…………………………………(1分)
当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；
当x＞2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．
故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．…………………………….(5分)
(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，
于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－2＋……………(8分)
令g(x)＝－2＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.
故x[f(x)]2－x2f(x)≤0……………………………………………(10分)
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