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高三数学(理科)三诊答案　 第 1　　　　 页(共 4 页) 南充市高 2019 届第三次诊断性考试 数学试题(理科)参考答案及评分意见 一、选择题: 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B　 6. C　 7. D　 8. C　 9. A　 10. D　 11. A　 12. B 二、填空题: 13． -4　 　 　 14． 1 3 或 1　 　 　 　 15． n+1　 　 　 16． 107 4 三、解答题: 17． 解:(1)因为 cos∠ADB = - 2 10 ,所以 sin∠ADB = 1-(- 2 10 ) 2 =7 2 10 . 因为∠CAD= π 4 ,所以∠C =∠ADB- π 4 …………3 分 所以 sinC =sin(∠ADB- π 4 )= sin∠ADB·cos π 4 -cos∠ADB·sin π 4 =7 2 10 × 2 2 + 2 10 × 2 2 = 4 5 …………6 分 (2)在△ACD 中,由 AD sinC = AC sin∠ADC,得 AD= AC·sinC sin∠ADC = 7 2 × 4 5 7 2 10 =2 2 …………9 分 在△ABD 中,由余弦定理可得 AB2 =BD2 +AD2 -2BD·ADcos∠ADB = 5 2 +(2 2 ) 2 -2×5×2 2 ×(- 2 10 )= 37 所以 AB = 37 …………12 分 18． 解:(1) 优秀 合格 总计 男生 6 22 28 女生 14 18 32 合计 20 40 60 …………4 分 (2)由于 K2 =60(6×18-22×14) 2 40×20×32×28 =3． 348>2． 706 因此在犯错误的概率不超过 0． 10 的前提下认为“性别与测评结果有关系”. …………8 分 (3)由(2)可知性别有可能对是否优秀有影响,所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定高三数学(理科)三诊答案　 第 2　　　　 页(共 4 页) 的学生,这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况. …………12 分 19. (1)证明:因为 AC =BC,D 为 BC 中点, 所以 CD⊥AB,又 CD⊥DA 1 ,AB∩A 1 D=D, …………2 分 所以 CD⊥平面 AA 1 B 1 B,又 BB 1 ⊂平面 AA 1 B 1 B, 所以 CD⊥B 1 B,又 B 1 B⊥AB,AB∩CD=D, 所以 B 1 B⊥平面 ABC. …………5 分 (2)由已知及(1)可知 CB,CC 1 ,CA 两两垂直,所以以 C 为坐标原点,以 CB 为 x 轴,CC 1 为 y 轴,CA 为 z 建立空间直角坐标系,设 CC 1 =2,则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C 1(0,2,0),A 1(0,2,2),D(1,0,1). …………7 分 设平面 DCA 1 的法向量 n 1 → =(x 1 ,y 1 ,z 1 ),则 n 1 → ·CD→=0, n 1 → ·CA 1 →=0 { ,即 x 1 +z 1 =0, 2y 1 +2z 1 =0, { 令 z 1 = -1,则 n 1 → =(1,1,-1); …………9 分 设平面 DC 1 A 1 的法向量 n 2 → =(x 2 ,y 2 ,z 2 ),则 n 2 → ·C 1 D→=0, n 2 → ·C 1 A 1 →=0, { 即 x 2 -2y 2 +z 2 =0, 2z 2 =0, { ,令 y 2 =1,则 n 2 → =(2,1,0) …………11 分 所以 cos= n 1 → ·n 1 → | n 1 → | | n 2 → | = 3 3 × 5 = 15 5 . 故锐二面角 C-DA 1 -C 1 的余弦值为 15 5 . …………12 分 20. 解:(1)因为当 x≥0 时,f(x)= ex +ax>0 恒成立, 所以,若 x =0,a 为任意实数,f(x)= ex +ax>0 恒成立. …………2 分 若 x>0,f(x)= ex +ax>0 恒成立, 即当 x>0 时,a>- ex x , 设 H(x)= - ex x ,H′(x)= - ex x-ex x2 =(1-x)ex x2 , …………4 分 当 x∈(0,1)时,H′(x)>0,则 H(x)在(0,1)上单调递增, 当 x∈(1,+∞ )时,H′(x)0 恒成立,a 的取值范围为(-e,+∞ ). …………6 分 (2)由题意,曲线 C 为:y =ex lnx-ex +x. 令 M(x)= ex lnx-ex +x 所以 M′(x)= ex x +ex lnx-ex +1 =( 1x +lnx-1)ex +1 …………8 分高三数学(理科)三诊答案　 第 3　　　　 页(共 4 页) 设 h(x)= 1x +lnx-1,则 h′(x)= - 1x2 + 1x = x-1x2 当 x∈[1,e]时,h′(x)≥0 故 h(x)在[1,e]上为增函数,因此 h(x)在区间[1,e]上的最小值 h(1)= ln1 =0, 所以 h(x)= 1x +lnx-1≥0, 当 x 0 ∈[1,e]时,ex 0 >0, 1x 0 +lnx 0 -1≥0, 所以 M′(x 0 )= ( 1x 0 +lnx 0 -1)ex 0 +1>0, …………10 分 曲线 y =ex lnx-ex +x 在点 x =x 0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 M′(x 0 )= 0 在 x∈[1,e] 上有实数解. 而 M′(x 0 )>0,即方程 M′(x 0 )= 0 无实数解. 故不存在实数 x 0 ∈[1,e],使曲线 y =M(x)在点 x =x 0 处的切线与 y 轴垂直. …………12 分 21. 解:(1)由题意知直线 l 的斜率存在,设 l:y =kx+b,M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ), 由 l 与圆 O 相切,得 | b | k2 +1 =1, 所以 b2 =k2 +1, 由 y =kx+b, y =x2 -2, { 消去 y 得 x2 -kx-b-2 =0. 所以 x 1 +x 2 =k,x 1 x 2 = -b-2. …………2 分 由 OM⊥ON,得 OM→·ON→=0,即 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0,所以 x 1 x 2 +(kx 1 +b)(kx 2 +b)= 0, 所以(1+k2 )x 1 x 2 +kb(x 1 +x 2 )+b2 =0, 所以 b2 (-b-2)+(b2 -1)b+b2 =0,解得 b = -1 或 b =0(舍). 所以 k =0, 故直线 l 的方程为 y = -1. …………5 分 (2)设 Q(x 3 ,y 3 ),R(x 4 ,y 4 ),则 kRQ = y 3 -y 4 x 3 -x 4 =(x2 3 -2)-(x2 4 -2)x 3 -x 4 =x 3 +x 4 所以 x 3 +x 4 = - 3 . 设 PQ:y-y 0 =k 1(x-x 0 ),由直线与圆 O 相切,得|y 0 -k 1 x 0 | k2 1 +1 =1,即(x2 0 -1)k2 1 -2x 0 y 0 k 1 +y2 0 -1 =0, 设 PR:y-y 0 =k 2(x-x 0 ),同理可得(x2 0 -1)k2 2 -2x 0 y 0 k 2 +y2 0 -1 =0. 由题意可得 x2 0 ≠1,高三数学(理科)三诊答案　 第 4　　　　 页(共 4 页) 故 k 1 ,k 2 是方程(x2 0 -1)k2 -2x 0 y 0 k+y2 0 -1 =0 的两个根, 所以 k 1 +k 2 =2x 0 y 0 x2 0 -1 …………8 分 由 y =k 1 x+y 0 -k 1 x 0 , y =x2 -2 { 得 x2 -k 1 x+k 1 x 0 -y 0 -2 =0, 故 x 0 +x 3 =k 1 , 同理可得 x 0 +x 4 =k 2 , 则 2x 0 +x 3 +x 4 =k 1 +k 2 ,即 2x 0 - 3 =2x 0 y 0 x2 0 -1 所以 2x 0 - 3 =2x 0(x2 0 -2) x2 0 -1 ,解得 x 0 = - 3 3 或 x 0 = 3 …………11 分 当 x 0 = - 3 3 时,y 0 = - 5 3 ;当 x 0 = 3 时,y 0 =1 故 P(- 3 3 ,- 5 3 )或 P( 3 ,1). …………12 分 22. 解:(1)曲线 C 的方程为:(x-1) 2 +y2 =1,即 x2 +y2 =2x, 所以曲线 C 的极坐标方程为:ρ2 =2ρcosθ,即 　 　 　 　 ρ=2cosθ. …………2 分 直线 l 的参数方程为: 　 　 　 　 x =m+ 3 2 t, y = 1 2 t, ì î í (t 为参数) …………5 分 (2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t 1 ,t 2 ,将直线 l 的参数方程代入 x2 +y2 =2x 中,得 t2 +( 3 m- 3 )t+m2 -2m=0,所以 t 1 t 2 =m2 -2m …………8 分 由题意得| m2 -2m| =1,解得 m=1 或 m=1+ 2 或 m=1- 2 . …………10 分 23. 解:(1)当 m=3 时,f(x)≥5,即| x+6 | -|3-x | ≥5. ①当 x3 时,得 9≥5,所以 x>3 故不等式 f(x)≥5 的解集为{x | x≥1}. (2)因为| x+6 | -| m-x | ≤| x+6+m-x | = | m+6 | 由题意得| m+6 | ≤7,则-7≤m+6≤7 解得-13≤m≤1, 故 m 的取值范围是[-13,1]. …………10 分高三数学(文科)三诊答案　 第 1　　　　 页(共 4 页) 南充市高 2019 届第三次诊断性考试 数学试题(文科)参考答案及评分意见 一、选择题: 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B　 6. B　 7. D　 8. C　 9. D　 10. B　 11. A　 12. A 二、填空题: 13． -4　 　 　 14． 1 3 或 1　 　 　 　 15． 1 3 　 　 　 16． πa 2 三、解答题: 17． 解:(1)因为 cos∠ADB = - 2 10 ,所以 sin∠ADB = 1-(- 2 10 ) 2 =7 2 10 . 因为∠CAD= π 4 ,所以∠C =∠ADB- π 4 …………3 分 所以 sinC =sin(∠ADB- π 4 )= sin∠ADB·cos π 4 -cos∠ADB·sin π 4 =7 2 10 × 2 2 + 2 10 × 2 2 = 4 5 …………6 分 (2)在△ACD 中,由 AD sinC = AC sin∠ADC,得 AD= AC·sinC sin∠ADC = 7 2 × 4 5 7 2 10 =2 2 …………9 分 在△ABD 中,由余弦定理可得 AB2 =BD2 +AD2 -2BD·ADcos∠ADB = 5 2 +(2 2 ) 2 -2×5×2 2 ×(- 2 10 )= 37 所以 AB = 37 …………12 分 18． 解:(1) 优秀 合格 总计 男生 6 22 28 女生 14 18 32 合计 20 40 60 …………4 分高三数学(文科)三诊答案　 第 2　　　　 页(共 4 页) (2)由于 K2 =60(6×18-22×14) 2 40×20×32×28 =3． 348>2． 706 因此在犯错误的概率不超过 0． 10 的前提下认为“性别与测评结果有关系”. …………8 分 (3)由(2)可知性别有可能对是否优秀有影响,所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定 的学生,这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况. …………12 分 19. (1)证明:因为 AC =BC,D 为 BC 中点, 所以 CD⊥AB,又 CD⊥DA 1 ,AB∩A 1 D=D, …………2 分 所以 CD⊥平面 AA 1 B 1 B,又 BB 1 ⊂平面 AA 1 B 1 B, 所以 CD⊥B 1 B,又 B 1 B⊥AB,AB∩CD=D, 所以 B 1 B⊥平面 ABC. …………6 分 (2)解:V多面体DBC-A 1 B 1 C 1 =V三棱柱 -V三棱锥A 1-ADC =S △ABC ·| AA 1 | - 1 3 S △ACD ·| AA 1 | =S △ABC ·| AA 1 | - 1 3 × 1 2 S △ABC ·| AA 1 | = 5 6 S △ABC ·| AA 1 | = 5 6 × 1 2 ×2×2×2 =10 3 …………12 分 20. 解:(1)f′(x)= ex +a 所以曲线 y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 e+a, …………2 分 因为 x+(e-1)y-1 =0 的斜率为 1 1-e, 所以(e+a) 1 1-e= -1, …………4 分 所以 a = -1. …………5 分 (2)因为当 x≥0 时,f(x)= ex +ax>0 恒成立, 所以,若 x =0,a 为任意实数,f(x)= ex +ax>0 恒成立. …………7 分 若 x>0,f(x)= ex +ax>0 恒成立, 即当 x>0 时,a>- ex x ,高三数学(文科)三诊答案　 第 3　　　　 页(共 4 页) 设 H(x)= - ex x ,H′(x)= - ex x-ex x2 =(1-x)ex x2 , …………9 分 当 x∈(0,1)时,H′(x)>0,则 H(x)在(0,1)上单调递增, 当 x∈(1,+∞ )时,H′(x)0 恒成立,a 的取值范围为(-e,+∞ ). …………12 分 21. 解:(1)设线段 AB 的中点为 M(x 0 ,y 0 ),由题意,y 0 ≠0, 则 x 0 = x 1 +x 2 2 =2,y 0 = y 1 +y 2 2 , 因为 kAB = y 2 -y 1 x 2 -x 1 = y 2 -y 1 y2 2 6 - y2 1 6 = 6y 1 +y 2 = 3y 0 . …………2 分 所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-y 0 = - y 0 3 (x-2), 即 y = - y 0 3 (x-5). 所以线段 AB 的垂直平分线经过定点(5,0) …………4 分 (2)直线 AB 和抛物线方程联立得 y-y 0 = 3y 0 (x-2), y2 =6x. ì î í ⇒y2 -2y 0 y+2y2 0 -12 =0,△=4y2 0 -4(2y2 0 -12)= -4y2 0 +48>0, 解得 y2 0