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深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题 第 1 页 共 7页
绝密★启用前 试卷类型： A
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试
数 学（理科） 2019．4
本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考
生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂
改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 { | 0}M x x=， 2{ | 4 0}N x x= − ，则 MN=
（A）( , 2] (0, )− − + （B）( , 2] [2, )− − + （C）[2,+ ) （D）(0, )+
2．在复平面内，复数 i(1 i)
1 2iz += −
所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．2019 年是新中国成立 70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为喜迎祖国 70 周
年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活
动．下面的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是
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（第 3 题图）
甲 乙
7
8
9
5
23
3
3 4 5
1
（A）甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数
（B）甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数
（C）甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数
（D）甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差
4．已知等比数列{}na 满足 1
1
2a = ，且 2 4 34( 1)a a a = − ，则 5a =
（A）8 （B）16 （C）32 （D） 64
5．已知函数 2 2( ) (1 )f x ax a x x= + − + 是奇函数，则曲线 ()y f x= 在 1x = 处的切线的倾
斜角为
（A） π
4
（B） 3π
4
（C） π
3
（D） 2π
3
6．在平行四边形 ABCD中，E 为CD 的中点，F 为 AE 的中点．设 AB = a ， AD = b ，
则 FB =
（A） 31
42−+ab （B） 13
24+ab （C） 13
24−ab （D） 31
42−ab
7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚
线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）(8 4 2)π+
（B）(9 4 2)π+
（C）(8 8 2)π+
（D）(9 8 2)π+
8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了 “贝特朗悖论”，即“在一
个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多
少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三种方法求解，所得结
果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格
化．已知“随机端点”的方法如下：设 A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点
B ，连结 AB ，求所得弦长 AB 大于圆 的内接等边三角形边长的概率．记该概率为
p ，则 p =
（第 7 题图） 深圳市教育科学研究院
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（A） 1
5
（B） 1
4
（C） 1
3
（D） 1
2
9．已知函数 ( ) ln 1af x xx= + − 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围为
（A） ( ,0] {1}− （B）[0,1] （C） ( ,0] {2}− （D）[0,2]
10．设点 1F 、 2F 分别为椭圆
22
22:1xyC ab+=的左、右焦点，点 A、B 分别为椭圆C 的右顶
点和下顶点，且点 1F 关于直线 AB 的对称点为 M ．若 2 1 2MF F F⊥ ，则椭圆C 的离心
率为
（A） 31
2
− （B） 31
3
−
（C） 51
2
− （D） 2
2
11．已知函数 ( ) 3sin cos ( 0)f x x x = + 在区间 π π[ , ]43− 上恰有一个最大值点和
一个最小值点，则实数 的取值范围为
（A） 8[ ,7)3
（B） 8[ ,4)3
（C） 20[4, )3
（D） 20( ,7)3
12. 如图，在四面体 ABCD中， 2AB CD==， 3AC BD==，
5AD BC==， E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点.若用一个与
直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为
（A） 6 （B） 6
2
（C） 5
2
（D） 5
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生
都必须做答. 第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
A
（第 12 题图）
B
C
D
F
E深圳市教育科学研究院
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13．设实数 x ， y 满足
23
12
4
x
y
xy
+
，
，
，
则
1
y
x −
的最大值为___________．
14．已知双曲线C ：
22
221xy
ab−=，且圆 E ： 22( 2) 1xy− + = 的圆心是双曲线 的右焦点，
若圆 与双曲线 的渐近线相切，则双曲线 的方程为___________．
15．精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟
组成 4 男 3 女共 7 人的扶贫工作队，派驻到 3 个贫困地区 A、B 、C 进行精准扶贫工
作．若每个地区至少派驻 1 男 1 女两位工作人员，且男性甲必须派驻到 A地区，则不
同的派驻方式有_______种．
16．设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 3a = ，当 2n 时，有 1122n n n n nS S S S na−−+ − = .
则使得 12 2019mS S S 成立的正整数 m 的最小值为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知△ ABC 中， 2AB BC= ， 25AC = ，点 D 在边 AC 上，且 2=AD CD ，
2 = ABD CBD ．
（1）求 ABC 的大小；
（2）求△ 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
在边长为 4 的正方形 ABCD中，点 E 、F 分别为边 AB 、 AD 的中点，以CE ，CF
为折痕将△ DFC 和△ BCE 折起，使点 B 、D 重合于点 P ，连结 PA ，得到如图所示的四
棱锥 P AECF− ．
（1）求证： EF PC⊥ ；
（2）求直线 PA 与平面 PEC 所成角的正弦值．
（第 18 题图）
A B
CD
E
F
P深圳市教育科学研究院
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19．（本小题满分 12 分）
某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量 y （单位：千件）与月售价 x （单位：
元/件）之间的关系，对近几年的月销售量 iy 和月销售价 ix ( 1,2,3, ,10)i = 数据进行了统
计分析，得到了下面的散点图：
（1）根据散点图判断， lny c d x=+ 与 y bx a=+哪一个更适宜作为月销量 y 关于
月销售价 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中
数据，建立 关于 的回归方程；
（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为 z （单位：千元），当
月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？(月销售额=月销售量当月售价)
参考公式、参考数据及说明：
①对一组数据 1 1 2 2( , ),( , ) ( , )nnv w v w v w， ， ，其回归直线 wv=+ 的斜率和截距的
最小二乘法估计分别为 1
2
1
( )( )
ˆ
()
n
ii
i
n
i
i
w w v v
vv
=
=
−−
=
−
， ˆˆ wv=−．
②参考数据：
月销售量/千件
月售价/元
10
8
16
20
18
0
4
12
2
14
6
2 4 6 8 1210
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表中 ln=iiux，
10
1
1
10 i
i
uu
=
= ．
③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40 .
20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 2:4C x y= ，过点 (2,3) 的直线l 交C 于 A、B 两点，抛物线C 在点 、
处的切线交于点 P ．
（1）当点 A的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标；
（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点 的坐标及直线l 的方程．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) e e ( 1)−= − − +xxf x a a x ( aR).（其中常数e=2.718 28，是自然对数的
底数）.
（1）求函数 ()fx的极值点；
（2）若对于任意01a ，关于 x 的不等式 21[ ( )] (e ) −−af x a 在区间( 1, )− +a
上存在实数解，求实数 的取值范围.
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos ,
sin ,
=
=
x
y
（ 为参数），圆 2C
的方程为 22( 2) 4xy− + = ，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的
极坐标方程为 0= ( 0) ．
（1）求曲线 和圆 的极坐标方程；
（2）当 0
π0 2时，射线 与曲线 和圆 分别交于异于点O的 M 、N 两点，若
| | 2 | |ON OM= ，求△ 2MC N 的面积．
x y u
10
2
1
()i
i
xx
=
−
10
2
1
()i
i
uu
=
−
10
1
( )( )ii
i
x x y y
=
−−
10
1
( )( )ii
i
u u y y
=
−−
6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 143.25− 27.54− 深圳市教育科学研究院
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23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 1( ) | | | | ( 1)f x x m x mm= − + + ．
（1）当 2m = 时，求不等式 ( ) 3fx 的解集；
（2）证明： 1( ) 3( 1)fx mm+−
．
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