北师大版九年级数学下册单元试卷全套（含答案）

北师大版九年级数学下册单元测试题全套（含答案） （含期中期末试题） 第一章 单元检测卷 考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 1.已知훼为锐角，且cos(90∘ - 훼) = 1 2，则cos훼等于（ ） A.30∘ B.60∘ C.1 2 D. 3 2 2.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆퐴퐵．已知观测点퐶到旗杆的距离퐶퐸 = 8푚，测得旗杆的顶部퐴 的仰角∠퐸퐶퐴 = 30∘，旗杆底部퐵的俯角∠퐸퐶퐵 = 45∘，那么，旗杆퐴퐵的高度是（ ） （第 2 题图） A.( 2 +8 3)푀 B.(8 + 8 3)푀 C.(8 2 + 8 3 3 )푀 D.(8 + 8 3 3 )푀 3.下列说法，正确的是（ ） A.在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，锐角퐴的两边都扩大5倍，则cos퐴也扩大5倍 B.若45∘ < 훼 < 90∘，则sin훼 > 1 C.cos30∘ + cos45∘ = cos(30∘ + 45∘) D.若훼为锐角，tan훼 = 5 12，则sin훼 = 5 13 4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80푚的푃和푄两点分别测定对岸一棵树푅的位置，푅在 푄的正南方向，在푃东偏南36∘的方向，则河宽（ ）（第 4 题图） A.80tan36∘ B.80tan54∘ C. 80 tan36∘ D.80tan54∘ 5.如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若퐴퐵 = 12푐푚，则阴影部分的面积是（ ） （第 5 题图） A.12 B.18 C.24 D.36 6.如图在梯形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷 // 퐵퐶，퐴퐷 ⊥ 퐶퐷，퐵퐶 = 퐶퐷 = 2퐴퐷，퐸是퐶퐷上一点，∠퐴퐵퐸 = 45∘，则tan∠ 퐴퐸퐵的值等于（ ） （第 6 题图） A.3 B.2 C.5 2 D.3 2 7.修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为훼，那么∠훼的正切值是（ ） A.3 5 B.4 5 C.3 4 D.4 3 8.如图，某航天飞船在地球表面푃点的正上方퐴处，从퐴处观测到地球上的最远点푄，若∠푄퐴푃 = 훼，地球半 径为푅，则航天飞船距离地球表面的最近距离퐴푃是（ ）（第 8 题图） A. 푅 sin훼 B. 푅 sin훼 - 푅 C. 푅 sin훼 + 푅 D. 푅 cos훼 - 푅 9.tan30∘的值等于（ ） A.1 B. 3 C. 3 2 D. 3 3 10.某人沿坡度为푖 = 1: 3 3 的山路行了40푚，则该人升高了（ ） A.20 3푚 B.20 3 3 푚 C.10 3푚 D.40 3 3푚 二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 11.如图，从点퐶测得树的仰角为33∘，퐵퐶 = 20푚，则树高퐴퐵 = ________푚．（用计算器计算，结果精确到0.1 푚） （第 11 题图） 12.在 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐴퐶 = 5， △ 퐴퐵퐶的面积为10，则tan∠퐴퐶퐵的值为________． 13.如图，为了测量小河的宽度，小明先在河岸边任意取一点퐴，再在河岸这边取两点퐵、퐶，测得∠퐴퐵퐶 = 45∘，∠퐴퐶퐵 = 30∘，量得퐵퐶为20米，根据以上数据，请帮小明算出河的宽度푑 = ________米（结果保留根 号）．（第 12 题图） 14.如图，河岸퐴퐷、퐵퐶互相平行，桥퐴퐵垂直于两岸，从퐶处看桥的两端퐴、퐵，夹角∠퐵퐶퐴 = 60∘，测得퐵퐶 = 7 푚，则桥长퐴퐵 = ________푚（结果精确到1푚）． （第 14 题图） 15.如图，某地下停车场的人口水平长度퐴퐶 = 10米，并且tan∠퐵퐴퐶 = 2 5，则该停车场人口的铅直高度퐵퐶 = ________米． （第 15 题图） 16.如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵 = 90∘，퐶퐷是高，如果∠퐵 = 훼，퐵퐶 = 3，那么퐴퐷 = ________．（用锐 角훼的三角比表示） （第 16 题图） 17.如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4푚．如果在坡度为0.5的山坡上种植 树，也要求株距为4푚，那么相邻两树间的坡面距离约为________푚． （第 17 题图）18.身高1.6푚的小丽用一个两锐角分别为30∘和60∘的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 푚，那么这棵树高大约为________푚．（结果精确到0.1푚，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高） （第 18 题图） 19.如图，在热气球퐶上测得两建筑物퐴、퐵底部的俯角分别为30∘和60∘．如果这时气球的垂直高度퐶퐷为90 米．且点퐴、퐷、퐵在同一直线上，则建筑物퐴、퐵间的距离为________．米． （第 19 题图） 20.如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部퐴看地面上的一点퐵，俯角为30∘，已知地面上的这点与楼的水平 距离퐵퐶为30푚，那么楼的高度퐴퐶为________푚（结果保留根号）． （第 20 题图） 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ） 21.为维护南海主权，我海军舰艇加强对南海海域的巡航，2015年4月10日上午9时，我海巡001号舰艇在观 察点퐴处观测到其正东方向80 2海里处有一灯塔푆，该舰艇沿南偏东45∘的方向航行，11时到达观察点퐵， 测得灯塔푆位于其北偏西15∘方向，求该舰艇的巡航速度？（结果保留整数） （参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73） （第 21 题图） 22.如图，一条输电线路从퐴地到퐵地需要经过퐶地，图中퐴퐶 = 20千米，∠퐶퐴퐵 = 30∘，∠퐶퐵퐴 = 45∘，因线 路整改需要，将从퐴地到퐵地之间铺设一条笔直的输电线路． (1)求新铺设的输电线路퐴퐵的长度；（结果保留根号） (2)问整改后从퐴地到퐵地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号） （第 22 题图） 23.如图所示，小岛푃的周围20 2海里内有暗礁，某渔船沿北偏东61∘的퐴푀方向航行，在퐴处测得小岛푃的方 向为北偏东30∘，且距퐴处40海里，该渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有可能触礁，则该渔船在퐴 处应再向北偏东至少偏离多大角度才能脱险？ （第 23 题图） 24.金陵中学的同学们到灵谷寺开展社会实践活动，他们通过测量计算出灵谷塔的高度．他们在퐶点测得塔 顶퐴的仰角是点的仰角是45∘，向着塔的方向走了28푚到达퐷点后，测得퐴点的仰角是60∘．请你帮他们求出 灵谷塔的高度．（ 3 ≈ 1.7，结果保留整数） （第 24 题图） 25.如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图，已知퐵퐶 = 6米，퐴퐵 = 9米，中间平台퐷퐸与地面퐴퐵平行，且퐷퐸 的长度为2米，퐷푀、퐸푁为平台的两根支柱，퐷푀、퐸푁垂直于퐴퐵，垂足分别为푀、푁，∠퐸퐴퐵 = 30∘，∠ 퐶퐷퐹 = 45∘，楼梯宽度为3米． (1)若要在楼梯上（包括平台퐷퐸）铺满地毯，求地毯的面积； (2)沿楼梯从퐴点到퐸点铺设价格为每平方米100元的地毯，从퐸点到퐶点铺设价格为 每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？（结果精确到1元） （第 25 题图）26.在某星期天中，小星发现其爸爸为自家窗户设计了一个直角遮阳蓬，他爸爸绘制的设计图如图所示，其 中，퐴퐵表示窗户，且퐴퐵 = 2米， △ 퐵퐶퐷表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线퐶퐷 的最小夹角훼为18.6∘，最大夹角훽为64.5∘．请你根据以上数据，帮助小星同学计算出遮阳蓬中퐶퐷的长是多 少米？（结果保留两个有效数字） （ 参考数据：sin18.6∘ = 0.32，tan18.6∘ = 0.34，푆푖푛64.5∘ = 0.90，tan64.5∘ = 2.1 ） （第 26 题图） 参考答案 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A 11.13.0 12.2或1 2 13.10(  3 - 1) 14.12 15.4 16.3sin훼tan훼 17.2 5 18.5.1 19.120 3 20.10 3 21.该舰艇的巡航速度约为109海里/时． 22.解：(1)过퐶作퐶퐷 ⊥ 퐴퐵，交퐴퐵于点퐷， 在푅푡 △ 퐴퐶퐷中，퐶퐷 = 퐴퐶 ⋅ sin∠퐶퐴퐷 = 20 × 1 2 = 10（千米），퐴퐷 = 퐴퐶 ⋅ cos∠퐶퐴퐷 = 20 × 3 2 = 10 3（千米）， 在푅푡 △ 퐵퐶퐷中，퐵퐷 = 퐶퐷 tan∠퐶퐵퐷 = 10 1 = 10（千米）， ∴퐴퐵 = 퐴퐷 + 퐷퐵 = 10 3 +10 = 10( 3 +1)（千米）， 则新铺设的输电线路퐴퐵的长度10( 3 +1)（千米）；（第 22 题答图） (2)在푅푡 △ 퐵퐶퐷中，根据勾股定理得：퐵퐶 = 퐶퐷2 + 퐵퐷2 = 10 2（千米）， ∴퐴퐶 + 퐶퐵 - 퐴퐵 = 20 + 10 2 - (10 3 +10) = 10(1 + 2 - 3)（千米）， 则整改后从퐴地到퐵地的输电线路比原来缩短了10(1 + 2 - 3)千米． 23.有可能触礁，该渔船在퐴处应再向北偏东至少偏离45∘才能脱离危险． 24.灵谷塔的高度约是66푚． 25.(1)面积为45푚2；(2)共需要约5177元． 26.퐶퐷长约为1.1米． 第二章 单元检测卷 一．选择题（共 10 小题） 1．抛物线 y=2x2﹣1 与直线 y=﹣x+3 的交点的个数是（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．对于抛物线 y=﹣2（x+1）2+3，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线 x=1： ③顶点坐标为（﹣1，3）； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数 y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，则下列结论正确的是（　　） A．x 取 m﹣1 时的函数值小于 0 B．x 取 m﹣1 时的函数值大于 0 C．x 取 m﹣1 时的函数值等于 0 D．x 取 m﹣1 时函数值与 0 的大小关系不确定 4．若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对 称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点（　　） A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3 ，﹣5） D．（﹣3，﹣1） 5．如图，抛物线 y=﹣ x2+ x+2 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，P 为此抛物 线对称轴 l 上任意一点，则△APC 的周长的最小值是（　　） A．2 B．3 C．5 D． + 6．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m 为任意实数，则 a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若 ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1≠x2，则 x1+x2=2．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 7．下列各点中，抛物线 y=x2﹣4x﹣4 经过的点是（　　）A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8） 8．将函数 y=kx2 与 y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下 列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 10．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当 x＜0 时，y＜ 0；④方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1 的实数根．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 二．填空题（共 6 小题） 11．已知二次函数 y=3 （x﹣1）2+k 的图象上三点 A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是　 　． 12．若 A（﹣ ，y1）、B（﹣ ，y2）、C（3，y3）为二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的图象上的三点，则 y1、y2、y3 的大小关系是　 　（用“＜”连接）． 13．函数 y=﹣3（x+2）2 的开口　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　． 14．已知抛物线 y=﹣x2+ bx+2﹣b，在自变量 x 的值满足﹣1≤x≤2 的情况下，函数有最大值 m，则 m 的最 小值是　 　 15．如图，已知抛物线和 x 轴交于两点 A、B，和 y 轴交于点 C，已知 A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4， △ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为　 　． 16．对于二次函数 y=5x2+bx+c，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是 x=1；乙：函 数最小值为 3；丙：当 x=﹣1 时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误 的，则哪位同学的说法是错误的　 　． 　 三．解答题（共 9 小题） 17．一个二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣ 0 2 0 m ﹣6 ﹣ … （1）求这个二次函数 的表达式； （2）求 m 的值； （3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （4）根据图象，写出当 y＜0 时，x 的取值范围．18．某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于 60 元，经调查发 现，每天的销售量 y（个）与每个商品的售价 x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售 价 x（元） … 30 40 50 … 每天的销售量 y（个） 100 80 60 … （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）设商场每天获得的总利润为 w（元），求 w 与 x 之间的函数表达式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？19．如图，在直角坐标系中，0 是坐标原点，直线 AB 交 x 轴于点 A（﹣4，0），交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+2ax+3（a≠0）经过 A，B 两点．P 是线段 AO 上的一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 D． （1）求 a 及 AB 的长． （2）连结 PB，若 tan∠ABP= ，求点 P 的坐标． （3）连结 BD，以 BD 为边作正方形 BDEF，是否存在点 P 使点 E 恰好落在抛物线的对称轴上？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）连结 OC，若 S△BDC：S△OBC=1：2，将线段 BD 绕点 D 按顺时针方向旋转，得到 DB′．则在旋转的过 程中，当点 A，B 到直线 DB′的距离和最大时，请直接写出点 B′的坐标． 20．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0，﹣1）， 抛物线 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n）．（1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且 四边形 DFEG 为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； （3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△A1O1B1，点 A、O、B 的对应 点分别是点 A1、O1、B1．若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1 的横坐标． 21．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣3，0），B（1，0），与 y 轴相交于（0，﹣ ），顶点 为 P． （1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点 E，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条 件的点 F 的坐标，并求出平行四边形的面积． 22．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在直线 x=3 上，直 线 x=3 与 x 轴交于点 C．（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随 之停止运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）．以 PQ 为边作矩形 PQNM，使点 N 在直线 x=3 上． ①当 t 为何值时，矩形 PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当 t 为何值时，恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上． 23．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题： 如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点 E 到桥下水面的距离 EF 为 3 米时，水面宽 AB 为 6 米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为 CD，且 CD=2 米，此时水位上升了多少米？24．如图，点 P 为抛物线 y= x2 上一动点． （1）若抛物线 y= x2 是由抛物线 y= （x+2）2﹣1 通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0，﹣1），过点 P 作 PM⊥l 于 M． ①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立？若存在，求出点 F 的坐标： 若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为（1，5），求 QP+PF 的最小值．　参考答案与试题解析 　 一． 1．【解析】由 ，消去y 得到 2x2+x﹣4=0.∵△=1﹣（﹣32）=33＞0，∴抛物线 y=2x2﹣1 与直线 y=﹣x+3 有两个交点.[故选 C． 2．【解析】①∵a=﹣2 ＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线 x=﹣1，故本小题错误；③顶点 坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，∴x＞1 时，y 随 x 的增大而减小一定 正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共 3 个．故选 C． 3．【解析】由题意，函数的图象为： ∵抛物线的对称轴 x= ，设抛物线与 x 轴交于点 A、B．∴AB＜1，∵x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，∴ 观察图象可知，x=m﹣1 在点 A 的左侧，x=m﹣1 时，y＞0.故选 B． 4．【解析】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析 式为 y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到 新抛物线的解析式为 y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当 x=﹣3 时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的 新抛物线过点（﹣3，0）．故选 B． 5．【解析】作点C 关于直线 l 的对称点 C′，连接 AC′交直线 l 于 P，连接 PC，则△APC 的周长的最小.由 抛物线的对称性可知，点 C′在抛物线上， 当 x=0 时，y=2，∴点 C 的坐标为（0，2），∴点 C′的纵坐标为 2，2=﹣ x2+ x+2，解得，x1=0，x2=3， 则点 C′的横坐标为 3，﹣ x2+ x+2=0，x1=﹣1，x2=4，则点 A 的坐标为（﹣1，0），∴AC′= =2 ，AC= = ，∴△APC 的周 长的最小值是 3 .故选 B． 6．【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线对称轴为直线 x=﹣ =1，∴b=﹣2a＞0，即 2a+b=0，所 以②正确；∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直 线 x=1，∴函数的最大值为 a+b+c，∴当 m≠1 时，a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm，所以③错误；∵ 抛物线与 x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点在 （ ﹣1 ， 0 ） 的 右 侧 ∴ 当 x=﹣1 时 ， y ＜ 0 ， ∴a﹣b+c ＜ 0 ， 所 以 ④ 错 误 ； ∵ax12+bx1=ax22+bx2 ， ∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而 x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即 x1+x2=﹣ .∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．综上所述，正确的有 ②⑤．故选 C． 7．【解析】当x=0 时，y=x2﹣4x﹣4=﹣4；当 x=1 时，y=x2﹣4x﹣4=﹣7；当 x=﹣1 时，y=x2﹣4x﹣4=1； 当 x=2 时，y=x2﹣4x﹣4=﹣8， 所以点（1，﹣7）在抛物线 y=x2﹣4x﹣4 上．故选 B． 8．【解析】当k＞0 时，函数 y=kx2 的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、 二、三象限，是一条直线，故选项 A、B 均错误；当 k＜0 时，函数 y=kx2 的图象是开口向下，顶点在 原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项 C 正确，选项 D 错误.故选 C． 9．【解析】A．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以 a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得 8a+4b=0，故 2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的 a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣ =1＞ 0，则 b＜0，知 abc＞0，故②错误；③函数图象与 x 轴两个交点，可知 b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图 象可知 ，则 b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故 9a+3b+c=0，将 b=﹣2a 代入得 3a+c=0，由 函数图象知 a＞0，故 3a+c+5a＞0，即 8a+c＞0．故④正确．故选项 A 正确；B．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以 a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得 8a+4b=0，故 2a+b=0，则①正确；② 由图形可知，该二次函数的 a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣ =1＞0，则 b＜0，知 abc＞0，故②错误；③ 函数图象与 x 轴两个交点，可知 b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知 ，则 b=﹣2a，因（3， 0）在函数图象上，故 9a+3b+c=0，将 b=﹣2a 代入得 3a+c=0，由函数图象知 a＞0，故 3a+c+5a＞0，即 8a+c＞0．故④正确．故选项 B 错误；C．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以 a﹣b+c=0， 9a+3b+c=0，两式作差可得 8a+4b=0，故 2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次 函数的 a＞0，c＜ 0，顶点的横坐标﹣ =1＞0，则 b＜0，知 abc＞0，故②错误；③函数图象与 x 轴两个交点，可知 b2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知 ，则 b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故 9a+3b+c=0，将 b=﹣2a 代入得 3a+c=0，由函数图象知 a＞0，故 3a+c+5a＞0，即 8a+c＞0．故④正确．故选项 C 错误；D．① 因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以 a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得 8a+4b=0，故 2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的 a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣ =1＞0，则 b＜0， 知 abc＞0，故②错误；③函数图象与 x 轴两个交点，可知 b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知 ，则 b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故 9a+3b+c=0，将 b=﹣2a 代入得 3a+c=0，由函数图 象知 a＞0，故 3a+c+5a＞0，即 8a+c＞0．故④正确．故选项 D 错误．故选 A． 10．【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错 误；∵x=﹣1 时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；当 x＜0 时，y 有时大于 0，有时等于 0，有时小于 0，∴③错误；∵抛物线与 x 轴的两个交点都在点（﹣1，0）的右边，∴方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两 个大于﹣1 的实数根，所以④正确．故选 D． 二．11．【解析】∵y= 3（x﹣1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线 x=1，A（﹣4，y3）关于直线 x=﹣2 的对称点是（6，y3）， ∵2＜3＜6，∴y1＜y2＜y3. 12．【解析】抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣2，抛物线开口向下，当 B（﹣ ，y2）到直线 x=﹣2 的距离最小，点 C（3，y3）到直线 x=﹣2 的距离最大，所以 y3＜y1＜y2． 13．【解析】函数y=﹣3（x+2）2 的开口向下，对称轴是直线 x=﹣2，顶点坐标是（﹣2，0）. 14．【解析】∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b，∴开口向下，对称轴为 x= [来源:学&科&网]当﹣1≤ ≤2，则﹣2≤b≤4，函数最大值 m 为 ≥1 当 ≤﹣1，则 b≤﹣2， 当 x=﹣1 时，函数最大值 m 为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5 当 ≥2，则 b≥4 当 x=2 时，函数最大值 m 为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2 ∴m 的最小值为 1 故答案为 1 15．【解析】∵A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，∴OA=1，OB=4. ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， ∵CO⊥AB， ∴∠ABC+∠BCO=90°， ∴∠CAB=∠BCO， 又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB， ∴ = ， 即 = ， 解得 OC=2， ∴点 C 的坐标为（0，2）， ∵A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4， ∴设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣4），把点 C 的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2， 解得 a=﹣ ， ∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x2﹣3x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴此抛物线顶点的坐标为（ ， ）． 16．【解析】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x﹣1）2+3， 当 x=﹣1 时，y=23，此时丙错误； 当 x=2 时，y=8，此时丁正确． 而其中有且仅有一个说法是错误的， 所以只有丙错误． 故答案为丙． 三． 17．解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）， 所以，设这个二次函数的表达式为 y=a（x+1）2+2. ∵图象过点（1，0）， ∴a（1+1）2+2=0， ∴a=﹣ ， ∴这个二次函数的表达式为 y=﹣ （x+1）2+2；（2）x=2 时，m=﹣ （2+1）2+2=﹣ ； （3）函数图象如图所示； （4）y＜0 时，x＜﹣3 或 x＞1． 18．解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b， 则 ， 解得 ， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y=﹣2x+160； （2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣2x+160）=﹣2x2+200x﹣3200， 即 w 与 x 之间的函数表达式是 w=﹣2x2+200x﹣3200； （3）∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60， ∴当 20≤x≤50 时，w 随 x 的增大而增大； 当 50≤x≤60 时，w 随 x 的增大而减小； 当 x=50 时，w 取得最大值，此时 w=1800 元 即当商品的售价为 50 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 1800． 19．解：（1）把点 A（﹣4，0 代入抛物线 y=ax2+2ax+3 方程解得：a=﹣ ，二次函数的表达式为：y=﹣ x2﹣ x+3，则 B 坐标为（0，3）， ∵OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5， 则二次函数表达式为：y=﹣ x2﹣ x+3，对称轴为 x=﹣1， 答：a=﹣ ，AB 的长为 5； （2）如上图，连接 BP，作 AH⊥PH 于 H， 在 Rt△ABH 中，AB=5，tan∠ABP= ，可得：AH= ，BH=2 ， 设：点 P 的坐标为（x，0）， 在 Rt△APH 中，AP=﹣x，AH= ，PH=BH﹣BP=2 ﹣ ， 由勾股定理得：（﹣x）2=5+[2 ﹣ ]2， 解得 x=10 ﹣14， 答：点 P 的坐标（10 ﹣14，0）； （3）如上图所示，正方形 DBFE 的 E 点在抛物线的对称轴上， 从 E 点作 EN⊥PD，作 DH⊥y 轴，则 Rt△BHD≌Rt△END（AAS），∴NH=BH， 设 P 点坐标为（a，0），则 D、E 点的坐标分别为（a，﹣ a2﹣ a+3）、（﹣1，y）， BH=3﹣（﹣ a2﹣ a+3）=HN=﹣1﹣a， 解得 x=﹣ （舍去），x=﹣4， 答：E 恰好落在抛物线的对称轴上情况存在，点 P 的坐标为（﹣4，0）； （4）当 BD 旋转到如图 DB′的位置时，点 A，B 到直线 DB′的距离和最大，此时 AB⊥B′D， 过点 B′向 PD 和 x 轴作垂线，即 BN⊥DP，BM⊥x 轴， 由 A、B 两点坐标可得 AB 的直线方程为：y= x+3，则 tan∠BAO= ， 设 P 点坐标为（m，0），则 C（m， m +3）， ∵△BDC 和△OBC 是等高不等底的两个三角形，而 1：2 若 S△BDC：S△OBC=1：2， ∴CD= OB= ，则 D 点 y 坐标=C 点 y 坐标+ = m+ ，即：D（m， m+ ）， 把点 D 的坐标（m， m+ ）代入二次函数方程 y=﹣ x2﹣ x+3，解得：m=﹣2， 把 m 值代入，即 D 点坐标为：D（﹣2，3），P（﹣2，0）， ∵B（0，3）则 BD∥x 轴，∴BD⊥DC， ∵BD⊥DC，AB⊥B′D， ∴∠BDP=∠BAO=∠BAO，∴tan∠B′DP=tan∠BAO= ，在 Rt△B′MD 中，B′D=BD=2，tan∠B′DP= ，则：B′M= ，DM= ， 则：B′的横坐标为=xP﹣B′M=﹣2+ =﹣ ，B′的纵坐标为=yD﹣DM=3﹣ = ； 答：当点 A，B 到直线 DB′的距离和最大时点 B′的坐标为（﹣ ， ）． 20．解：（1）∵直线 l：y= x+m 经过点 B（0，﹣1）， ∴m=﹣1， ∴直线 l 的解析式为 y= x﹣1， ∵直线 l：y= x﹣1 经过点 C（4，n）， ∴n= ×4﹣1=2， ∵抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C（4，2）和点 B（0，﹣1），[来源:学§科§网] ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y= x2﹣ x﹣1； （2）令 y=0，则 x﹣1=0， 解得 x= ， ∴点 A 的坐标为（ ，0）， ∴OA= ， 在 Rt△OAB 中，OB=1， ∴AB= = = ，∵DE∥y 轴， ∴∠ABO=∠DEF， 在矩形 DFEG 中，EF=DE•cos∠DEF=DE• = DE， DF=DE•sin∠DEF=DE• = DE， ∴p=2（DF+EF）=2（ + ）DE= DE， ∵点 D 的横坐标为 t（0＜t＜4）， ∴D（t， t2﹣ t﹣1），E（t， t﹣1）， ∴DE=（ t﹣1）﹣（ t2﹣ t﹣1）=﹣ t2+2t， ∴p= ×（﹣ t2+2t）=﹣ t2+ t， ∵p=﹣ （t﹣2）2+ ，且﹣ ＜0， ∴当 t=2 时，p 有最大值 ； （3）∵△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°， ∴A1O1∥y 轴时，B1O1∥x 轴，设点 A1 的横坐标为 x， ①如图 1，点 O1、B1 在抛物线上时，点 O1 的横坐标为 x，点 B1 的横坐标为 x+1， ∴ x2﹣ x﹣1= （x+1）2﹣ （x+1）﹣1，解得 x= ， ②如图 2，点 A1、B1 在抛物线上时，点 B1 的横坐标为 x+1，点 A1 的纵坐标比点 B1 的纵坐标大 ， ∴ x2﹣ x﹣1= （x+1）2﹣ （x+1）﹣1+ ， 解得 x=﹣ ， 综上所述，点 A1 的横坐标为 或﹣ ． 21．解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣ ）代入抛物线解析式得 ∴ 解得：a= ，b=1，c=﹣ ∴抛物线解析式：y= x2+x﹣ （2）存在． ∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2 ∴P 点坐标为（﹣1，﹣2） ∵△ABP 的面积等于△ABE 的面积， ∴点 E 到 AB 的距离等于 2， 设 E（a，2）， ∴ a2+a﹣ =2 解得 a1=﹣1﹣2 ，a2=﹣1+2 ∴符合条件的点 E 的坐标为（﹣1﹣2 ，2）或（﹣1+2 ，2） （3）∵点 A（﹣3，0），点 B（1，0），∴AB=4 若 AB 为边，且以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB∥PF，AB=PF=4 ∵点 P 坐标（﹣1，﹣2） ∴点 F 坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2） ∴平行四边形的面积=4×2=8 若 AB 为对角线，以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB 与 PF 互相平分 设点 F（x，y）且点 A（﹣3，0），点 B（1，0），点 P（﹣1，﹣2） ∴ ∴x=﹣1，y=2 ∴点 F（﹣1，2） ∴平行四边形的面积= ×4×4=8 综上所述：点 F 的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8． 22．解：（1）由已知，B 点横坐标为 3 ∵A、B 在 y=x+1 上 ∴A（﹣1，0），B（3，4） 把 A（﹣1，0），B（3，4）代入 y=﹣x2+bx+c 得 解得∴抛物线解析式为 y=﹣x2+3x+4； （2）①过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E ∵直线 y=x+1 与 x 轴夹角为 45°，P 点速度为每秒 个单位长度 ∴t 秒时点 E 坐标为（﹣1+t，0），Q 点坐 标为（3﹣2t，0） ∴EQ=4﹣3t，PE=t ∵∠PQE+∠NQC=90° ∠PQE+∠EPQ=90° ∴∠EPQ=∠NQC ∴△PQE∽△QNC ∴ ∴矩形 PQNM 的面积 S=PQ•NQ=2PQ2 ∵PQ2=PE2+EQ2 ∴S=2（ ）2=20t2﹣48t+32 当 t= 时， S 最小=20×（ ）2﹣48× +32= ②由①点 Q 坐标为（3﹣2t，0），P 坐标为（﹣1+t，t） ∴△PQE∽△QNC，可得 NC=2QO=8﹣6t∴N 点坐标为（3，8﹣6t） 由矩形对角线互相平分 ∴点 M 坐标为（3t﹣1，8﹣5t） 当 M 在抛物线上时 8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4 解得 t= 当点 Q 到 A 时，Q 在抛物线上，此时 t=2 当 N 在抛物线上时，8﹣6t=4 ∴t= 综上所述当 t= 、 或 2 时，矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上． 23．解：以点 E 为原点、EF 所在直线为 y 轴，垂直 EF 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 根据题意知 E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）， 设 y=kx2（k＜0）， 将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣ ， ∴y=﹣ x2， 将 x= 代入，得：y=﹣2， ∴上升了 1 米．24．解：（1）∵抛物线 y= （x+2）2﹣1 的顶点为（﹣2，﹣1） ∴抛物线 y= （x+2）2﹣1 的图象向上平移 1 个单位，再向右 2 个单位得到抛物线 y= x2 的图象． （2）①存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立． 如图一，过点 P 作 PB⊥y 轴于点 B 设点 P 坐标为（a， a2） ∴PM=PF= a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF 中 BF= ∴OF=1 ∴点 F 坐标为（0，1） ②由①，PM=PF QP+PF 的最小值为 QP+PM 的最小值 当 Q、P、M 三点共线时，QP+PM 有最小值，最小值为点 Q 纵坐标加 M 纵坐标的绝对值． ∴QP+PF 的最小值为 6． 　第 三 章 单元检测卷一．选择题（共 11 小题） 1．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧 2．如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于 B、C 点，则 BC=（　　） （第 2 题图） A． B． C． D． 3．如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于 F，若 BD=8cm， AE=2cm，则 OF 的长度是（　　） （第 3 题图） A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm 4．如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是（　　）（第 4 题图） A．50° B．60° C．80° D．100° 5．如图，已知⊙O 的半径为 5，AB 是⊙O 的弦，AB=8 ，Q 为 AB 中点，P 是圆上的一点（不与 A、B 重 合），连接 PQ，则 PQ 的最小值为（　　） （第 5 题图） A．1 B．2 C．3 D．8 6．如图，⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若∠A=30°，∠APD= 70°，则∠B 等于（　　） （第 6 题图） A．30° B．35° C．40° D．50° 7．如图，直线 l1∥ l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B．点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移．⊙O 的半径为 1，∠1=60°．有下列结论：①MN= ；②若 MN 与⊙O 相切，则 AM= ；③若∠MON=90°，则 MN 与⊙O 相切；④l1 和 l2 的距离为 2，其中正确的有（　　）（第 7 题图） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 8．如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA=140°，则∠ACB 的度数为（　　） （第 8 题图） A．40° B．50° C．60° D．70° 9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=3，∠BAC=30°，则劣弧 的长等于（　　） （第 9 题图） A． B．π C． D． π 10．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点 O 是 小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段 OA 绕三角形顶点顺时针转过的角度是（　　）[来源:Z*xx*k.Com]（第 10 题图） A．240° B．360° C．480° D．540° 11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分图形的面积为（　　） （第 11 题图） A．4π B．2π C．π D． 　 二．填空题（共 6 小题） 12．若一个扇形的面积为 6π 平方米，弧长为 2π 米，则这个扇形的圆心角度数为　 　°． 13．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BD、BE、CE，若∠BEC= 127°，则∠CBD 的度数为　 　度． （第 13 题图） 14．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点 A、B，并使 AB 与车轮内圆 相切于点 D，半径为 OC⊥AB 交外圆于点 C．测得 CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径 是　 　．（第 14 题图） 15．如图，⊙O 的内接五边形 ABCDE 的对角线 AC 与 BD 相交于点 G，若∠E=92°，∠BAC=41°，则 ∠DGC=　 　°． （第 15 题图） 16．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，AD 与 BC 相交于点 F， 连结 BE，DC，已知 EF=2，CD=5，则 AD=　 　． （第 16 题图） 17．如图所示，四边形 AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q，则 AC=　 　（用 p、q 表示）． 　（第 17 题图） 三．解答题（共 8 小题） 18．如图，A B 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）． （第 18 题图） 19．如图 ，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，E 是 的中点，AE 与 BC 交于点 F，∠C=2∠EAB． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知 CD=4，CA=6， ①求 CB 的长； ②求 DF 的长． （第 19 题图）20．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 AC=2，∠ABC=30°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求： （1）BC、AD 的长； （2）图中两阴影部分面积的和． （第 20 题图） 21．如图，AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB 于 E，弦 AD 交 CE 延长线于点 F，CF﹦AF． （1）求证： = ； （2）若 BC=8，tan∠DAC= ，求⊙O 的半径． （第 21 题图）22．如图直角坐标系中，已知 A（﹣8，0），B（0，6），点 M 在线段 AB 上． （1）如图 1，如果点 M 是线段 AB 的中点，且⊙M 的半径为 4，试判断直线 OB 与⊙M 的位置关系，并 说明理由； （2）如图 2，⊙M 与 x 轴、y 轴都相切，切点分别是点 E、F，试求出点 M 的坐标． （第 22 题图） 23．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，直线 OP 交⊙O 于点 D、E，交 AB 于点 C． （1）写出图中所有的全等三角形； （2）已知 PA=4，PD=2，求⊙O 的半径．（第 23 题图） 24．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连结 AC，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为 5，∠BAC=60°，求 DE 的长．（第 24 题图） 25．如图，D 是△ABC 外接圆上的点，且 B，D 位于 AC 的两侧，DE⊥AB，垂足为 E，DE 的延长线交此 圆于点 F．BG⊥AD，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，且 PC=PB． （1）求证：∠BAD=∠PCB； （2）求证：BG∥CD； （3）设△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB= DH，∠COD=23°，求∠P 的度数． 　（第 25 题图）[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 参考答案 　 一． 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．B 10. C 11．D　 二．12．【解答】设扇形圆心角的度数为n，半径为 r， ∵扇形的弧长为 2π，面积为 6π， ∴6π= ×2πr，解得 r=6． ∵ =2π， ∴n=60°． 故答案为：60． 13．【解答】∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BEC=90°+ ∠BAC， ∴∠BAC=74°， ∴∠DAC= ∠BAC=37°， ∴∠CBD=∠DAC=37°． 故答案为 37． 14．【解答】如图，连接OA， ∵CD=10cm，AB=60cm， ∵CD⊥AB， ∴OC⊥AB， ∴AD= AB=30cm， ∴设半径为 r，则 OD=r﹣10，根据题意，得 r2=（r﹣10）2+302， 解得 r=50． ∴这个车轮的外圆半径长为 50cm． 故答案为：50cm． 15．【解答】∵∠E+∠ABD=180°，∠E=92°， ∴∠ABD=88°， ∵∠BAC=41°， ∴∠AGB=180°﹣∠ABG﹣∠BAC=180°﹣88°﹣41°=51°， ∵∠DGC=∠AGB， ∴∠DGC=51°． 故答案为 51°． 16．【解答】∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE， ∴ = ， ∴BD=CD=5， 由圆周角定理，得∠CAD=∠CBD， ∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠CAD， ∴∠DBE=∠DEB． ∴DE=DB=5， ∴DF=DE﹣EF=3， ∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，∴△BDF∽△ADB， ∴ = ， ∴AD= = ， 故答案为： ． 17．【解答】延长CD 交半径为 p 的⊙D 于 E 点，连接 AE．显然 A、B、C 在⊙D 上． ∵AB∥CD ∴ = ， ∴BC=AE=q． 在△ACE 中，∠CAE=90°，CE=2p，AE=q， 故 AC= = ． 　 三． 18．解：连接 OD， ∵OA=OD，∠A=45°， ∴∠A=∠ADO=45°， ∴∠DOB=90°，即 OD⊥AB， ∵BC∥AD，CD∥AB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=2 ∴S 梯形 OBCD= = = ， ∴图中阴影部分的面积 S=S 梯形 OBCD﹣S 扇形 OBD= ﹣ = ﹣ ． 19．（1）证明：连结 AD，如图， ∵E 是 的中点， ∴ = =， ∴∠EAB=∠EAD， ∵∠ACB=2∠EAB， ∴∠ACB=∠DAB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAC+∠ACB=90°， ∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°， ∴AC⊥AB， ∴AC 是⊙O 的切线； （2）①在 Rt△ACB 中， ∵cosC= = = ，AC=6， ∴BC=9． ②作 FH⊥AB 于 H， ∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD=FH，设 FB=x，则 DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC， ∴∠HFB=∠C， 在 Rt△BFH 中， ∵cos ∠BFH=cos∠C= = ， ∴ = ， 解得 x=3，即 BF 的长为 3， ∴DF=2 20．解：（1）∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， 在 Rt△A BC 中，∠ABC=30°，AC=2， ∴AB=4， ∴BC= =2 ， ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠DCA=∠BCD ∴ = ， ∴AD=BD， ∴在 Rt△ABD 中，AD=BD= AB=2 ； （2）连接 OC，OD， ∵∠ABC=30°，∴∠AOC=∠2∠ABC=60°， ∵OA=OB， ∴S△AOC= S△ABC= × ×AC×BC= × ×2×2 = ， 由（1）得∠AOD=90°， ∴∠COD=150°， S△AOD= ×AO×OD= ×22=2， ∴S 阴影=S 扇形 COD﹣S△AOC﹣S△AOD= ﹣ ﹣2= π﹣ ﹣2． 21．（1）证明 ：延长 CF 交⊙O 于 H，连接 AH， ∵CE⊥AB， ∴ = ， ∵ CF﹦AF， ∴∠FAC=∠FCA， ∴ = ， ∴ = ； （2）解：∵ = ， ∴∠B=∠DAC， ∴tanB= ，即 = ， 解得 AC=8 ，∴AB= =16， ∴⊙O 的半径为 8． 22．解：（1）直线 OB 与⊙M 相切， 理由：设线段 OB 的中点为 D，连结 MD，如图 1， ∵点 M 是线段 AB 的中点，所以 MD∥AO，MD=4． ∴∠AOB=∠MDB=90°， ∴MD⊥OB，点 D 在⊙M 上， 又∵点 D 在直线 OB 上， ∴直线 OB 与⊙M 相切； [来源:学。科。网] （2）解：连接 ME，MF，如图 2， ∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， ∴ ， 解得 k= ，b=6， 即直线 AB 的函数关系式是 y= x+6， ∵⊙M 与 x 轴、y 轴都相切， ∴点 M 到 x 轴、y 轴的距离都相等，即 ME=MF， 设 M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0）， 把 x=a，y=﹣a 代入 y= x+6， 得﹣a= a+6，得 a=﹣ ， ∴点 M 的坐标为（﹣ ， ）． 23．解：（1）△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP； （2）设⊙O 的半径为 r，则 OA=OD=r， ∵PA 是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP=90°， 在 Rt△OAP 中，∵OA2 +PA2=OP2， ∴r2+42=（r+2）2， 解得 r=3， 即⊙O 的半径为 3． 24．（1）证明：如图 1，连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC，又 DC=BD，∴AB=AC； （2）证明：如图 2，连接 OD， ∵AO=BO，CD=DB， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD∥AC，又 DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE 为⊙O 的切线； （3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC=10， ∴CD=5， ∵△ABC 是等边三角形，[来源:学。科。网] ∴∠C=60°， 在 Rt△DEC 中，DE=CD×sinC= ． 25．（1）证明：如图 1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠BAD+ ∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB； （2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC 是⊙O 的直径， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD； （3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形 BCDH 是平行四边形， ∴BC=DH，在 Rt△ABC 中， ∵AB= DH， ∴tan∠ACB= = ， ∴∠ACB=60°， 连接 OD， ∵∠COD=23°，OD=OC， ∴∠OCD= （180°﹣23°）=（ ）°， ∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（ ）°， ∵PC=PB， ∴∠P=180°﹣2×（ ）°=97°． 　 期中检测卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．化简 （tan 30°－1）2等于(　　) A．1－ 3 3 B. 3－1 C. 3 3 －1 D. 3＋1 2．如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测 出 AC＝a m，∠A＝90°，∠C＝40°，则 AB 等于(　　)A．asin 40° m B．acos 40° m C．atan 40° m D. a tan 40° m (第 2 题图) (第 5 题图) 　 (第 6 题图) (第 7 题图)　　　 3．已知 α 为锐角，sin(α－20°)＝ 3 2 ，则 α 的度数为(　　) A．20° B．40° C．60° D．80° 4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象上部分点的坐标满足下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … 则该函数图象的顶点坐标为(　　) A．(－3，－3)　 B．(－2，－2)　 C．(－1，－3)　 D．(0，－6) 5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列关系不正确的是(　　) A．a＜0 B．abc＞0 C．a＋b＋c＞0 D．b2－4ac＞0 6．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直下滑，下滑的距离 s(m)与时间 t(s)之间的表达式为 s＝10t＋t2，若滑 到坡底的时间为 2 s，则此人下滑的高度为(　　) A．24 m　 B．6 m 　 C．12 3 m　 D．12 m 7．二次函数 y＝a(x＋m)2＋n 的图象如图所示，则一次函数 y＝mx＋n 的图象经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 8．已知抛物线 y＝－x2－2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 AC，则 tan∠CAB 的值为(　　) A.1 2 B. 5 5 C.2 5 5 D．29．如图，两建筑物的水平距离为 32 m，从点 A 测得点 C 的俯角为 30°，点 D 的俯角为 45°，则建筑物 CD 的高约为(　　) (第 9 题图) A．14 m　 B．17 m　 C．20 m　 D．22 m 10．二次函数 y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设 t＝a＋b＋1，则 t 值的变 化范围是(　　) A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．已知 y＝(a＋1)x2＋ax 是二次函数，那么 a 的取值范围是__________． 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝2 2，AB＝2 3.设∠BCD＝α，那么 cos α 的 值是________． (第 12 题图) (第 16 题图) (第 19 题图) (第 20 题图) 13．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝ 2，则∠B＝________． 14．将抛物线 y＝－2(x－1)2－2 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线对应的 函数表达式为__________________．　 15．抛物线 y＝2x2－12x＋16 绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的表达式是______________． 16．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴的一个交点为 A(3， 0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是______________． 17．已知二次函数 y＝3x2＋c 的图象与正比例函数 y＝4x 的图象只有一个交点，则 c 的值为________．18．将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的 最小值是____________． 19．如图，B 港在观测站 A 的正北，B 港离观测站 A 10 3 n mile，一艘船从 B 港出发向正东匀速航行，第 一次测得该船在观测站 A 的北偏东 30°方向的 M 处，半小时后又测得该船在观测站 A 的北偏东 60°方 向的 N 处，则该船的速度为________n mile/h. 20．二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，AB＝2 3，以 AB 为边作等边三角形 ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为__________________． 三、解答题(21 题 5 分，22 题 7 分，23，24 题每题 8 分，25，26 题每题 10 分，27 题 12 分，共 60 分) 21．计算：6tan230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°＋cos 60°. 22.如图，∠C＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝6，AD＝BC，cos∠ADC＝3 5 ，求 CD 的长． (第 22 题图)23．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20 m，水位上升 3 m 就达到警戒线 CD，这 时水面宽度为 10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的函数表达式； (2)若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ (第 23 题图) 24．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚 B 点先乘坐缆车到达观景平台 DE 观景， 然后再沿坡脚为 29°的斜坡由 E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面 BC 的垂直距离为 1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡 AE 的长度(结果精确到 0.1 m)． (第 24 题图)25．如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴，抛物 线 y＝－1 2x2＋bx＋c 经过 B，C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 AC，BD，CD.求： (1)此抛物线的函数表达式； (2)此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABDC 的面积． (第 25 题图) 26．旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次， 且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数．发现每天的营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部 租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元．租出去的观光车就会减少 1 辆．已知所有观 光车每天的管理费是 1 100 元． (1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少为多少元？(注：净 收入＝租车收入－管理费) (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？27．已知：函数 y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a 为常数)． (1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求 a 的值； (2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)，与 y 轴交于点 C，且 x2－x1＝2. ①求抛物线的表达式； ②作点 A 关于 y 轴的对称点 D，连接 BC，DC，求 sin ∠DCB 的值． (第 27 题图)参考答案 一、1.A　2.C　3.D　4.B　5.C　 6．D　点拨：把 t＝2 代入 s＝10t＋t2，得 s＝24.∵是含 30°角的直角三角形，∴易求得此人下滑的高度为 12 m. 7．C　8.D　9.A 10．B　点拨：∵二次函数图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)，∴a＜0，－ b 2a ＞0，∴b＞0.∵抛物线 过点(－1，0)，∴a－b＋1＝0，即 a＝b－1，∴b－1＜0，即 b＜1.又 t＝b－1＋b＋1＝2b，∴0＜t＜2. 二、11.a≠－1　12. 6 3 　13.45° 14．y＝－2x2－1　点拨：将抛物线 y＝－2(x－1)2－2 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得 抛物线 y＝－2(x－1＋1)2－2＋1，即 y＝－2x2－1. 15．y＝－2x2＋12x－20　 16．－1＜x＜3 17．4 3 　点拨：将 y＝4x 代入 y＝3x2＋c，得 4x＝3x2＋c，即 3x2－4x＋c＝0.∵两函数图象只有一个交点，∴ 方程 3x2－4x＋c＝0 有两个相等的实数根．∴(－4)2－4×3c＝0，解得 c＝4 3. 18．25 2 cm2　点拨：设其中一段铁丝长为 x cm，则另一段长为(20－x) cm，设两个正方形的面积之和为 y cm2，则 y＝(x 4 )2＋(20－x 4 )2 ＝1 8(x－10)2＋25 2 ，∴当 x＝10 时，y 有最小值25 2 . 19．40　点拨：∵AB＝10 3，∠BAM＝30°，∠BAN＝60°，∴BN＝30，BM＝10，∴MN＝20，故 v＝s t ＝20 1 2 ＝ 40(n mile/h)． 20．(1＋ 7，3)或(2，－3) 点拨：∵△ABC 是等边三角形，AB＝2 3，∴AB 边上的高为 3.又∵点 C 在二次函数图象上，∴点 C 的 纵坐标为±3.令 y＝3，则 x2－2x－3＝3，解得 x＝1± 7；令 y＝－3，则 x2－2x－3＝－3，解得 x＝0 或 2.∵点 C 在该函数 y 轴右侧的图象上，∴x＞0.∴x＝1＋ 7或 x＝2.∴点 C 的坐标为(1＋ 7，3)或(2，－ 3)．三、21.解：原式＝6×( 3 3 )2 － 3 2 × 3－2× 2 2 ＋1 2 ＝2－3 2 － 2＋1 2 ＝1－ 2. 22．解：在 Rt△ACD 中，∵cos∠ADC＝CD AD ＝3 5 ， ∴设 CD＝3k(k＞0)，则 AD＝5k. ∵BC＝AD，∴BC＝5k. 又∵BD＝BC－CD，∴6＝5k－3k， 解得 k＝3. ∴CD＝3×3＝9. 23．解：(1)设所求抛物线的函数表达式为 y＝ax2. 设 D(5，b)，则 B(10，b－3)， ∴{100a＝b－3， 25a＝b， 解得{a＝－ 1 25 ， b＝－1. ∴y＝－ 1 25x2. (2)∵b＝－1， 1 0.2 ＝5(h)， ∴再持续 5 h 才能到达拱桥顶． 24．解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，延长 DE 交 AC 于点 M. 由题意，可得 EM⊥AC，DF＝CM，∠AEM＝29°. 在 Rt△DFB 中，sin∠DBF＝DF BD ，∠DBF＝80°， ∴DF＝BD·sin 80°. ∴AM＝AC－CM＝AC－DF＝(1 790－1 700·sin 80°) m. 在 Rt△AME 中，sin∠AEM＝AM AE ， ∠AEM＝29°， ∴AE＝ AM sin 29° ＝1 790－1 700·sin 80° sin 29° ≈238.9 m.答：斜坡 AE 的长度约为 238.9 m. 25．解：(1)由已知得 C(0，4)，B(4，4)． 把 B 与 C 的坐标分别代入 y＝－1 2x2＋bx＋c，得{－1 2 × 16＋4b＋c＝4， c＝4， 解得{b＝2， c＝4. ∴此抛物线的函数表达式为 y＝－1 2x2＋2x＋4. (2)∵y＝－1 2x2＋2x＋4＝－1 2(x－2)2＋6， ∴抛物线顶点 D 的坐标为(2，6)． ∴S 四边形 ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝1 2×4×4＋1 2×4×(6－4)＝8＋4＝12. 26．解：(1)由题意知若观光车能全部租出，则 0＜x≤100. 由 50x－1 100＞0，解得 x＞22. 又∵x 是 5 的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为 25 元． (2)设每天的净收入为 y 元． 当 0＜x≤100 时，y1＝50x－1 100. ∴y1 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝100 时，y1 有最大值，最大值为 3 900. 当 x＞100 时，y2＝(50－x－100 5 )x－1 100＝－1 5x2＋70x－1 100＝－1 5(x－175)2＋5 025. ∴当 x＝175 时，y2 有最大值，最大值为 5 025. ∵5 025＞3 900， ∴当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多． 27．解：(1)函数 y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a 为常数)，若 a＝0，则 y＝－x＋1，图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)； 当 a≠0 且图象过原点时，2a＋1＝0，a＝－1 2 ，有两个交点(0，0)，(1，0)； 当 a≠0 且图象与 x 轴只有一个交点时，令 y＝0，有 Δ＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝0，解得 a＝－1， 有两个交点(0，－1)，(1，0)． 综上得，a＝0 或－1 2 或－1 时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①∵抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点， ∴x1，x2 为 ax2－(3a＋1)x＋2a＋1＝0 的两个根． ∴x1＋x2＝3a＋1 a ，x1x2＝2a＋1 a . ∵x2－x1＝2， ∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(3a＋1 a )2 －4·2a＋1 a . 解得 a＝－1 3(开口向上，a＞0，舍去)或 a＝1. ∴y＝x2－4x＋3. ②∵抛物线 y＝x2－4x＋3 与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，与 y 轴相交于点 C，且 x1＜x2， ∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)． ∵D 为 A 关于 y 轴的对称点， ∴D(－1，0)． 如图，过点 D 作 DE⊥CB 于点 E. (第 27 题图) ∵OC＝3，OB＝3，OC⊥OB，∴△OCB 为等腰直角三角形． ∴∠CBO＝45°. ∴△EDB 为等腰直角三角形． ∵DB＝4，∴DE＝2 2. 在 Rt△COD 中，∵DO＝1，CO＝3， ∴CD＝ DO2＋CO2＝ 10. ∴sin ∠DCB＝DE CD ＝2 5 5 . 期末检测卷 时间：120 分钟　　　　　满分：150 分 班级：__________　　姓名：__________　　得分：__________　　　　　 一、选择题(每小题 3 分，共 45 分) 1．2cos45°的值等于（ ） A．1 B. 2 C. 3 D．2 2．下列函数是二次函数的为（ ） A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3 3．如图，已知经过原点的⊙P 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则∠ACB 的度 数为（ ） A．80° B．90° C．100° D．无法确定 （第 3 题图）　4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则 sinA＝（ ） A.1 3 B.2 3 C.2 2 3 D. 2 3 5．如图，在⊙O 中，AB ︵ ＝AC ︵ ，∠AOB＝40°，则∠ADC 的度数是（ ） A．40° B．30° C．20° D．15° 　　　　　　　 （第 5 题图） 6．二次函数 y＝－1 2x2＋3 2x＋2 的图象如图所示，当－1≤x≤0 时，该函数的最大值是（ ） A．3.125 B．4 C．2 D．0 （第 6 题图） （第 7 题图） 7．如图，边长为 1 的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的正弦值是（ ） A.1 2 B.1 3 C. 5 5 D. 3 2 8．对于二次函数 y＝－1 4x2＋x－4，下列说法正确的是（ ） A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 B．当 x＝2 时，y 有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与 x 轴有两个交点 9．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，如果顾客乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度为 5m，则电梯 BC 的长是（ ）A．5m B．5 3m C．10m D.10 3 3 m 　　 （第 9 题图） 10．如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知 AD＝10cm， 小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN 的周长为 （ ） A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线 MN 的变化而变化 （第 10 题图） 　　　 （第 11 题图） （第 12 题图） 11．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，以点 B 为圆心，AB 的长为半径作弧AC ︵ ，则图中阴影部分的面积 为（ ） A．(4－π)cm2 B．(8－π)cm2 C．(2π－4)cm2 D．(π－2)cm2 12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB＝6，AB⊥弦 CD，垂足为 G，EF 切⊙O 于点 B，∠A＝30°，连接 AD， OC，BC，下列结论不正确的是（ ） A．EF∥CD B．△COB 是等边三角形C．CG＝DG D.BC ︵ 的长为3π 2 13．如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆 AB 的高度是 3米， 从 D 点测得显示牌顶端 C 和底端 B 的仰角分别是 60°和 45°，则显示牌 BC 的高度为（ ） A. 3米 B．(3－ 3)米 C．9 米 D．(2 3－3)米 （第 13 题图） （第 14 题图） （第 15 题图） 14．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，tanC＝3 4，AB＝6cm.动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速 度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动．若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出 发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ） A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2 15．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝1，与 x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图 象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④ 当 y＞0 时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题(每小题 5 分，共 25 分) 16．将抛物线 y＝2(x－1)2＋2 向左平移 3 个单位，那么得到的抛物线的表达式为 . 17．如图，⊙O 的直径 CD＝20cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为点 M，若 OM＝6cm，则 AB 的长为 cm. （第 17 题图） （第 18 题图）18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线 APB 表示落点 B 离点 O 最远的一条水流(如图 ②)，其上的水珠的高度 y(米)关于水平距离 x(米)的函数解析式为 y＝－x2＋4x＋9 4，那么圆形水池的半径至 少为 米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 19．如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC＝2，则 tanD＝ . （第 19 题图） （第 20 题图） 20．如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半 圆的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC 相交于 E 点，则△ADE 的面积为 . 三、解答题(共 80 分) 21．(8 分)计算： (1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°； (2)sin30°－tan245°＋3 4tan230°－cos60°. 22.(8 分)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求 BC 的 长(结果保留根号)． （第 22 题图）23．(10 分)如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连接 BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°. (1)求证：BD＝CD； (2)若圆 O 的半径为 3，求BC ︵ 的长． （第 23 题图） 24．(12 分)某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调 查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克． (1)现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 25．(12 分)如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找到点 P，使得△PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标． （第 25 题图）26．(14 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交线段 BC，AC 于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，线段 FD，AB 的延长线相交于点 G. (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若 CF＝1，DF＝ 3，求图中阴影部分的面积． （第 26 题图） 27．(16 分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，两艘海监船刚好在 某岛东西海岸线上的 A，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在 C 处海域．如图所示，AB＝60( 6 ＋ 2)海里，在 B 处测得 C 在北偏东 45°的方向上，A 处测得 C 在北偏西 30°的方向上，在海岸线 AB 上有 一灯塔 D，测得 AD＝120( 6－ 2)海里．(1)分别求出 A 与 C 及 B 与 C 的距离 AC，BC(结果保留根号)； (2)已知在灯塔 D 周围 100 海里范围内有暗礁群，在 A 处海监船沿 AC 前往 C 处盘查，有无触礁的危 险(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)? （第 27 题图）参考答案 1．B　2.B　3.B　4.C　5.C　6.C　7.C 8．B　9.C　10.A　11.A　12.D　13.B 14．C　解析：∵tanC＝3 4，AB＝6cm，∴BC＝8cm.设运动时间为 ts，则 AP＝tcm，BP＝(6－t)cm，BQ＝ 2tcm.设△PBQ 的面积为 S，则 S＝1 2×BP×BQ＝1 2×(6－t)×2t＝－t2＋6t＝－(t－3) 2＋9.∵点 P：0≤t≤6，点 Q： 0≤t≤4，∴当 t＝3 时，S 有最大值为 9，即在运动过程中，△PBQ 的最大面积为 9cm2.故选 C. 15．B　解析：∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线的对称轴为 直线 x＝1，而点(－1，0)关于直线 x＝1 的对称点的坐标为(3，0)，∴方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1＝－ 1，x2＝3，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线 x＝－ b 2a＝1，∴b＝－2a.当 x＝－1 时，y＝0，即 a－b＋c＝ 0，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与 x 轴的两个交点的坐标为(－1，0)， (3，0)，∴当－1＜x＜3 时，y＞0，故④错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 x＝1，∴当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大，故⑤正确．故选 B. 16．y＝2(x＋2)2＋2　 17.16 　18.9 2 19．22　解析：连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝6，AC＝2，∴BC＝AB2－AC2＝ 62－22 ＝4 2.又∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝BC AC＝4 2 2 ＝2 2. 20．6cm2　解析：根据切线长定理得 AF＝AB＝4cm，EF＝EC.设 EF＝EC＝xcm，则 DE＝(4－x)cm，AE＝ (4＋x)cm.在 Rt△ADE 中，由勾股定理得 DE2＋AD2＝AE2，即(4－x)2＋42＝(4＋x)2，∴x＝1，∴CE＝1cm， ∴DE＝4－1＝3(cm)，∴S△ADE＝1 2AD·DE＝1 2×4×3＝6(cm2)． 21．解：(1)原式＝ 2 2 × 2 2 ＋ 3× 3 2 ＝1 2＋3 2＝2；(4 分) (2)原式＝1 2－12＋3 4×( 3 3 )2 －1 2＝1 2－1＋1 4－1 2＝－3 4.(8 分) 22．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD＝BC.(3 分)在 Rt△ABC 中，tanA ＝tan30°＝BC AB，即 BC BC＋4＝ 3 3 ，(6 分)解得 BC＝2( 3＋1)．(8 分) 23．(1)证明：∵四边形 ABCD 内接于圆 O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－ 105°＝75°.(3 分)∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；(5 分)(2)解：由(1)可知∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°.(7 分)由圆周角定理，得BC ︵ 的度数为 60°，故BC ︵ 的 长为nπR 180＝60π × 3 180 ＝π.(10 分) 24．解：(1)设每千克应涨价 x 元，由题意得(10＋x)(500－20x)＝6000，整理得 x2－15x＋50＝0，(3 分)解得 x＝5 或 x＝10，∴为了使顾客得到实惠，x＝5.(5 分) (2)设涨价 x 元时，总利润为 y，由题意得 y＝(10＋x)(500－20x)＝－20x 2＋300x＋5000＝－20(x－7.5) 2＋ 6125，(9 分)∴当 x＝7.5 时，y 取得最大值，最大值为 6125 元．(11 分) 25．解：(1)∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过 B(3，0)，C(0，3)两点，∴c＝3，－9＋3b＋3＝0，解得 b＝2.(3 分)∴ 抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则顶点 M 的坐标为(1，4)；(6 分) (2)如图，∵点 A，B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接 BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点 P.(8 分) 设对称轴与 x 轴交于点 H，∵PH∥y 轴，∴△PHB∽△COB，∴PH CO＝BH BO.(10 分)由题意得 BH＝2，CO＝3， BO＝3，∴PH＝2.∴点 P 的坐标为(1，2)．(12 分) （第 25 题答图） 26．(1)证明：如图，连接 AD，OD.(1 分)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.∵AC＝AB，∴ 点 D 为线段 BC 的中点．(4 分)∵点 O 为 AB 的中点，∴OD 为△BAC 的中位线，∴OD∥AC.∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，∴DF 是⊙O 的切线；(6 分) (2)解：在 Rt△CFD 中，CF＝1，DF＝3，∴CD＝2，tanC＝DF CF＝ 3，∴∠C＝60°.(8 分)∵AC＝AB，∴△ABC 为等边三角形．又∵AD⊥BC，∴BC＝2CD＝4，∴AB＝4，∴⊙O 的半径为 2.(10 分)∵OD∥AC，∴∠DOG ＝∠BAC＝60°，∴DG＝OD·tan∠DOG＝2× 3＝2 3，(12 分)∴S阴影＝S△ODG－S 扇形OBD＝1 2DG·OD－ 60 360π·OB2 ＝1 2×2 3×2－1 6π×22＝2 3－2π 3 .(14 分)（第 26 题答图） 27．解：(1)如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，(1 分)由题意可得∠CBD＝45°，∠CAD＝60°.设 CE＝x 海里．在 Rt△CBE 中，BE＝CE＝x 海里，BC＝2x 海里．在 Rt△CAE 中，AE＝ 3 3 x 海里，AC＝2 3 3 x 海里．(4 分)∵AB ＝60( 6＋ 2)海里，∴x＋ 3x 3 ＝60( 6＋ 2)，解得 x＝60 6.则 AC＝2 3 3 ×60 6＝120 2(海里)，BC＝ 2×60 6 ＝120 3(海里)．(8 分) （2）过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.(10 分)在△ADF 中，∵AD＝120( 6－ 2)海里，∠CAD＝60°，∴DF＝AD·sin60° ＝120( 6－ 2)× 3 2 ＝180 2－60 6≈106.8(海里)．(13 分)∵106.8＞100，∴海监船沿 AC 前往 C 处盘查，无 触礁的危险．(16 分) （第 27 题答图）