数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.
【详解】因为
所以
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
2.已知复数z满足，则复数z的虚部为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.
【详解】
复数的虚部为
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.
3.设等差数列的前n项和为，若
A. 8 B. 18 C. D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】
利用和表示出已知条件，解出和，利用求出结果.
【详解】因为，且
所以，解得
所以
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【详解】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角。
则△ABC的面积S＝，
若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，
则该点位于阴影部分，
则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝，
则阴影部分的面积S＝ ，
则对应的概率P＝＝＝ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为
A. 8 B.
C. D. 4十
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图还原出直观图，可得到四面体，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积.
【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体
垂直于等腰直角三角形所在平面，将其放在正方体中
易得该鳖臑的表面积为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查三视图还原直观图、椎体表面积的求解，属于基础题.
6.在平行四边形ABCD中，，若E为线段AB中点，则
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到，然后利用数量积的运算律，求解得到结果.
【详解】因为平行四边形中，，，，为线段中点
所以
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积运算，关键在于能够将所求向量进行拆解，转化为已知向量的形式.
7.在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径.
【详解】
当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大
此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球
设其半径为
由题可知
因此
本题正确选项：
【点睛】本题考查三棱锥的内切球问题，求解三棱锥的内切球半径通常采用体积桥的方式，利用几何体体积和表面积，得到.
8.设抛物线C：的焦点为F(1，0)，过点P(1，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则
A. 2 B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线焦点坐标求得抛物线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用是中点列方程，求得直线的斜率.由此求得直线的方程，利用弦长公式求得弦长.
【详解】由于焦点，故，抛物线方程为.设
，由于直线的斜率存在且不为零，设：，由，消去，得，由为线段的中点可知，，所以，所以直线的方程为，，所以 .故选B.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中档题.
9.记函数在区间上单调递减时实数a的取值集合为A；不等式恒成立时实数的取值集合为B，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数对称轴求出集合，利用基本不等式求解出集合，从而得到，得到结论.
【详解】函数在区间上单调递减
，即
不等式恒成立等价于
又当时，
当且仅当时，即时等号成立，符合条件
所以 ，即
“”是“”的必要不充分条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断、恒成立问题的求解，解题关键在于能够将恒成立问题变为最值得求解，利用基本不等式求出最值，从而得到结果.
10.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移
个单位得到函数的图象，且，则的取值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过最小正周期得到，再通过平移得到解析式，根据是的对称轴可得，再根据的范围确定结果.
【详解】函数的最小正周期为
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
又 为函数图象的一条对称轴
，，即，
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查的图象与性质，关键在于能够明确的对称轴为.
11.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
将直线与双曲线渐近线联立，可求得的值；利用可得，将
的值代入，可得，从而求得离心率.
【详解】由题可知，，
则直线方程为
又双曲线渐近线方程为
由可解得或
由可知，
由题可知：，，则
化简得，所以
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到的齐次方程，通过方程求得离心率.
12.已知的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知等式变为，展开可求得，利用两角和差公式可得，利用基本不等式求得的范围，从而求得的最小值.
【详解】因为，即
则
有
即
那么
当即时等号成立
因此，即
又，
本题正确选项：
【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到；求解最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，若，则A=___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理得到∠B，再由内角和定理得到结果.
【详解】∵，
根据正弦定理可得，即
解得，又，故B为锐角，故
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.
14.已知直线与圆相交的弦长，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用得到关于的方程，解方程得到结果.
【详解】设圆心到直线的距离为
则
又
解得
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题，关键是明确截得的弦长等于，属于基础题.
15.某同学手中有4张不同的“猪年画”，现要将其投放到A、B、C三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果.
【详解】每张“猪年画”的投放方法有种
张不同的“猪年画”投放的方法总数为
又由于每个箱子不空，其组合为型
所以投放方法有
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用排列组合解决古典概型的问题，关键是在解决平均分组问题时，要注意平均分了组，需要除以来去除重复.
16.已知，若函数恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过分类讨论，得到的解析式；将问题转化为与图象有两个交点的问题；分别判断出在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到的取值范围.
【详解】因为，
所以
因为函数恰有两个不相等的零点
所以直线与函数的图象共有个不同的公共点
当，单调递减，所以
当时，恒成立 单调递减
所以
当时，单调递增，所以
数形结合可知，当且仅当时，直线与函数的图象有个不同的公共点，即函数恰有两个不相等的零点
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围问题，关键在于能够将零点问题转化为两个函数的交点个数问题，然后根据函数的单调性得到函数图象，采用数形结合的方式求得需要的结果.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.设数列的前n项和为，若．
(1)求出数列的通项公式；
(2)已知，数列的前n项和记为，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用，列出后与作差，可得，从而得到为等比数列，利用求出后，可得到通项公式；（2）写出的通项公式，采用裂项相消的方法可得，可知时，最小且，从而证得结论.
【详解】（1）因为，所以
两式相减可得 ，即
在中，令可得：
所以数列是首项为，公比为的等比数列
（2）
所以：
所以是一个单调递增的数列
当时，
当时，
所以
【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式、裂项相消法求和，关键在于能够利用得到为等比数列；在进行数列求和时，要根据通项公式所满足的形式选取合适的方法，对于分式且分母为乘积形式的通项公式，求和时多选取裂项相消的方法.
18.如图所示，底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
(1)求证：EO//平面PBC；
(2)设线段BC上点F满足CF=2BF，求锐二面角E－OF－C的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线证得,进而证得平面.（2）建立空间直角坐标系后，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】（1）因为为与交点，且是正方形，所以为中点，因为为的中点，所以，平面,平面，所以平面.（2）因为，所以,所以,所以平面，因为是正方形，所以，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,.，设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以平面的法向量可以取，所以.所以锐二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.
19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：．
【答案】（1）2×2列联表见解析，无95％的把握（2）期望为，分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据填写好联表，计算的值，由此判断没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异.（2）利用二项分布计算公式，计算出分布列和数学期望.
【详解】（1）列联表如下图所示：
，故没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异.（2）依题意，的所有可能取值为，且观众支持“新农村建设”的概率为，且，所以,,,,,所以的分布列为
所以的数学期望为.
【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布有关计算，属于中档题.
20.已知函数．
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)设时，存在，使方程成立，求实数的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.函数有极大值且为，没有极小值.（2）
【解析】
【分析】
（1）通过求导，得到导函数零点为，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为，无极小值；（2）由最大值为且可将问题转化为有解；通过假设，求出的最小值，即为的最小值.
【详解】（1）由得：
令，则，解得
当时，
当时，
的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，函数有极大值，没有极小值
（2）当时，由（1）知，函数在处有最大值
又因为
方程有解，必然存在，使
，
等价于方程有解，即在上有解
记，
，令，得
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以当时，
所以实数的最小值为
【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.
21.已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆．
(1)求椭圆C的方程，
(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据短轴长和离心率求解出，从而得到椭圆方程；（2）假设坐标，利用可得，代入圆中整理消元可得到关于的等式：，则此方程在上必有解；将方程左侧看做二次函数，通过二次函数图像，讨论得出的取值范围.
【详解】（1）由题可知，又，解得
椭圆的方程为
（2）由（1）知圆 ，点坐标为
设，，由可得：，
所以，由可得：
又，代入，消去，整理成关于的等式为：
，则此方程在上必须有解
令
则，，
若，则（舍去）或
若，则（舍去）或
若在上有且仅有一实根
则由得：
若在上有两实根（包括两相等实根）
则解得：
综上可得：的取值范围是
【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、二次函数零点分布问题.解决此题的难点在于能够通过向量关系将问题转化为二次函数在特定区间内的根的个数的问题，即二次函数图象问题.讨论二次函数图象通常需讨论以下内容：开口方向、对称轴位置、判别式、区间端点值符号.
22.在直角坐标系中，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．
【答案】（1）（为参数），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出，所以求解面积最大值只需求出点到直线距离的最大值；通过假设，利用点到直线距离公式得到，从而得到当时，最大，从而进一步求得所求最值.
【详解】（1）由，得的参数方程为（为参数）
由，得直线的直角坐标方程为
（2）在中分别令和可得：，
设曲线上点，则到距离：
，其中：，
当，
所以面积的最大值为
【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.
23.设不等式的解集为M．
(1)求集合M；
(2)已知，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明，由，可得，，从而证得所需的结论.
【详解】（1）原不等式等价于或或
解得：或
所以原不等式的解集为
（2）由（1）知，当时，，
所以，
从而
可得
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.
微信/支付宝扫码支付