一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，又，
．
故选：B．
2．已知复数满足 (是虚数单位)，则复数的模 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，
∴，
故，故本题选B．
3．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【解析】
由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）
故其体积（立方寸），（升），
故选:B
4．已知α为锐角，且tan，则cos（2）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
5．二项式的展开式中的系数是，则( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，二项式的展开式中的通项公式，
令，解得，
所以含项的系数为，解得
故选：B．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
单调递增
均存在单调递减区间，由此可得正确
本题正确选项：
7．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设右焦点为F′，
∵，
∴E是PF的中点，
∴PF′＝2OE＝a，
∴PF＝3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）2+a2＝4c2，
∴e＝＝，
故选：A．
8．执行如图的程序框图，则输出的S的值是( )
A．126 B． C．30 D．62
【答案】D
【解析】
模拟程序的运行，可得：
，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62． 故本题选D．
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a4＝﹣5，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵等差数列的公差，，，成等比数列，且，
∴，，
解得，，
当时，，
则，
令且，解得，
即时，取得最小值，且，故选A．
10．如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵异面直线所成角的余弦值为，且，
∴，
在中，设.
∵，
∴，
∴，∴
则长方体外接球直径为，半径为
故选：B
11．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
由，得，
∴，则椭圆方程为，
设，
则，
把A，B的坐标代入椭圆方程得：，
①-②得：，
∴．
∴直线l的斜率为．
故选：C．
12．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
对任意实数，都有成立，
∴函数在上为增函数，
∴当时， ，则，且，
当时， ，
当时，即时，函数的对称轴，此时函数在上单调递增，在单调递减，不满足题意，
当时，即时，函数的对称轴，此时函数在上单调递增，
即，解得，
综上所述的值范围为，
故选：A．
非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．已知向量，，若，则_____________．
【答案】
【解析】
依题意，由于，所以，.
14．设函数在点处的切线方程为，则______．
【答案】3
【解析】
函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函数在点处的切线方程为，所以，解得.
故答案为：
15．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围为___．
【答案】
【解析】
，.当时，易知满足题意，但；当时，，解得，综上，.
故答案为
16．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
函数=
由
故在区间是单调递增的，
当k=0，在区间是单调递增函数，则
，而
所以
所以
故答案为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知在中，，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的周长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）15.
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，∴，
∵,，
∴，∴，
∴，
∴的周长为15.
18．在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立．猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分．将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止．竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；
方案2：连猜三道“生活”类试题．
设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6．
(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由．
(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由．
【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高
【解析】
猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件；
猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件；
则，，
（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：
.
若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：
∵
∴职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.
(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：
若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，
则，
，
，
数学期望
若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，
，
数学期望
因为，
所以职工甲选择方案1所得平均分高.
19．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE,
即在△PAE中，OP⊥AE，
∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．
∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，
即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，
∴，，
设平面PCE的一个法向量为，
则，即，设，
则y=-1，z=1，∴，
由题意得平面PAE的一个法向量，
设二面角A-P-EC为α，．
即二面角A-P-EC为α的余弦值为．
20．已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使
为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在定点
【解析】
由题意可得抛物线的焦点，
当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，
即，由圆心到直线的距离为，
当直线与圆相切时，，解得，
即直线方程为；
可设直线方程为，，，
联立抛物线方程可得，则，，
x轴上假设存在点使，
即有，可得，
即为，
由，，
可得，
即，即，符合题意；
当直线为，由对称性可得也符合条件．
所以存在定点使得．
21．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若有极大值，求的取值范围；
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：当时，，，
令，则.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴当时，.
∴当时，，在上单调递增.
∴当时，，即.
（2）解：由题设得.由有极大值得有解，且.
令，则.由得.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴.
当，即时，，即，此时，在上单调递增，无极值；
当，即时，
∴，.
由（1）知：，即.
∴存在，，使.
∴当时，，即单调递增；当时，，
即单调递减；当时，，即单调递增.
∴是唯一的极大值点.
综上所述，所求的取值范围为.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求.
【答案】（1）（2）2
【解析】
（1）由，得，
即，
故曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.
因为A（0，3），所以，
所以.
因为，
所以.
故.
23．已知函数的最小值为．
（1）求实数的值；
（2）若，设，且满足，求证：．
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
（1）
显然，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明：
由于，且
当且仅当，即当，时取等号
故
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