2019天津理科数学压轴卷
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
1.表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
3.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为
A. B. C. D.
4.不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A． B. C. D.
5.下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6.展开式中的系数为（ ）
A． B．4864 C． D．1280
7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9.已知两点以线段为直径的圆的方程为________________.
10.学校艺术节对、、、四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“、两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．
11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．
12.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，求的值 ．
13.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为
14.设函数，若，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
设的内角所对边的长分别是，且
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值.
16． (本小题满分13分)
田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：
田忌的马获胜概率公子的马
上等马
中等马
下等马
上等马
1
中等马
下等马
0
比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．
（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．
17． （本小题13分）
如图，在四棱锥中，，，，且，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
18.（本小题13分）
在平面直角坐标系中，设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
19.(本小题满分14分)
数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，
已知，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式，；
（Ⅱ）设的前项和为，
（i）求；
（ii）证明：.
20. (本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ) 讨论函数的单调性；
(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得
≥，求实数的取值范围.
参考答案：
1【答案】C
【解析】∵，，∴，∴．故选C．
2【答案】C
【解析】∵是纯虚数，∴，即，故选C．
3.【答案】A
【解析】由题意，模拟执行程序，可得：
，，
满足条件，，
满足条件，，
满足条件，，
不满足条件，退出循环，输出S的值为．
故选：A．
4.【答案】
【解析】由，得，如图7-8所示，故
5【答案】B
【解析】对于A，，有，则函数为偶函数，不符合题意；
对于B，，有，函数为奇函数，且在上的单调递增，符合题意；
对于C，，有，函数为奇函数，但在上不是单调函数，不符合题意；
对于D，，的定义域为，在上不是单调函数，不符合题意；
故选B．
6.【答案】A
【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为，化简得到，故答案为A．
7.【答案】B
【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为，故选B．
8.【答案】D
【解析】函数恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
令，得，令，易知为减函数．
当，，，单调递增；
当，，，单调递减．
，，．
由题意可得：，∴．故选D．
9【答案】
【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=
所以圆的半径为所以圆的方程为.
故答案为：
10【答案】B
【解析】若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；
若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；
若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
综上所述，故B获得一等奖．
11【答案】
【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，
设长方体的外接球的半径为，则，即，
所以球的表面积为.
12【答案】或．
【解析】 圆的极坐标方程转化成直角坐标方程为：，
直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，∴，整理得，利用平方法解得或
13.【答案】
【解析】由题意及图，，
又，∴，∴，
又，∴，解得，.
14【答案】
【解析】如图所示：
可得的图像与的交点分别为，，
∴，则实数的取值范围是，可得答案．
15【 答案】：(Ⅰ) 解:由，知，
由正、余弦定理得.
因为，所以,则.
(Ⅱ) 解:由余弦定理得. x§k.Com]
由于，所以
故
16.【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，
对于事件，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜，
因此，；
（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，
则随机变量的可能取值为和1000，
若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，
设比赛一次，田忌获胜的概率为，则．
随机变量的分布列如下表所示：
1000
∴．
因此，田忌一年赛马获利的数学期望为金．
17.【答案】（1）见证明；（2）见解析．
【解析】（1）∵在底面中，，，且，
∴，，∴，
又∵，，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
∵，，∴，
又∵，，平面，平面，∴平面．
（2）方法一：在线段上取点，使，则，
又由（1）得平面，∴平面，
又∵平面，∴，作于，
又∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，∴是二面角的一个平面角，
设，则，，
这样，二面角的大小为，
即，即，
∴满足要求的点存在，且．
方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，
且由（1）知是平面的一个法向量，
设，则，，
∴，，
设是平面的一个法向量，
则，∴，
令，则，它背向二面角，
又∵平面的法向量，它指向二面角，
这样，二面角的大小为，
即，
即，
∴满足要求的点存在，且．
18. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由已知得，即，解得，所以，
得，椭圆方程为 .
（Ⅱ）解： 设直线的斜率为，则直线的方程为，
设由方程组，消去，
整理得
解得或，
所以点坐标为.
由（Ⅰ）知，，设，有，
，由,则，
所以，解得，
因此直线的方程为，设，
由方程组消去，解得，
在中，，
即，化简得，即，
解得，或.
所以，直线的斜率的取值范围为
19【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）（i）
【解析】（Ⅰ）解：设数列的公比为（）
，，（舍）或 ，
设数列的公差为
，.
（Ⅱ）解：
20【答案】 (Ⅰ)
(Ⅱ) ①当时，在上单调递减，在上单调递增
②当时，此时在上单调递增，在上单调递减
(Ⅲ)
【解析】(Ⅰ) 解:,
因为且,
所以曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ) 解:函数的定义域为,
令，由，知
讨论:①当时，，此时在上单调递减，在
上单调递增. ②当时，，此时在上单调递增，在上单调递减
(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当时，在上单调递减，在上单调递增.
则对任意的，有≥，即.
又已知存在,使得≥,
所以≥，即存在，使得≤，
即≥.因为时，，
所以≥，即≥.
所以实数的取值范围是.
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