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洛阳市!"#$!!!!"#%学年高中三年级第三次统一考试 数学试卷参考答案 !理" 一&选择题 #" 槡)357!,'!780,!!357! , ! ##"%"# --!分 5 槡)357!,'780!, %"! >"!780!!,' ! ) "%"! --*分 又, 为锐角#所以, % ! )! --(分 !!"由!#"知, % ! ) #在 **,0 中#由正弦定理得 - 780* % A 7800 % @ 780, % * 槡) ! 所以-% * 槡) 780*#A% * 槡) 7800 且* '0 %!! )! --$分 所以H**,0 % # !-A780, % # ! I * 槡) 780*I * 槡) 780!!! ) #*"I槡) ! % ! 槡) 780!!*# ! ( "' # 槡) ! --#"分 当且仅当!*# ! ( % ! ! 即 * % ! ) 时面积有最大值槡)! --#!分 #$!!#"证明)因为底面 *,01 为菱形#所以,1 2 *0!又B* 2 底面 *,01#">",1 2 B* 又B* $ *0 % *# >",1 2 平面 B*0#B0 6 平面 B*0#所以 B0 2,1! --!分 如图#设 *0 $,1 %5#连接?5# 因为 *0 % 槡! !#B* %!#B? %!?0# 故 B0 % 槡! )#?0 % 槡! ) ) #50 % 槡!# 从而B0 50 % 槡(#*0 ?0 % 槡(! 高三数学答案!理""第#页"!共'页""!!"#%&'"因为B0 50 % *0 ?0#750? % 7B0*# 所以 *50? 8 *B0*#75?0 % 7B*0 %%":!由此知 B0 2?5! --*分 因为 B0 与平面,?1 内两条相交直线,1#?5 都垂直# 所以 B0 2 平面,?1! --(分 !!"解)在平面 B*, 内过点* 作*J 2 B,#J 为垂足! 因为二面角 *#B, #0 为%":# 所以平面 B*, 2 平面 B,0! 又平面 B*, $ 平面 B,0 % B,# 故 *J 2 平面 B,0#*J 2,0! --2分 因为,0 与平面B*, 内两条相交直线B*#*J 都垂直# 故,0 2 平面 B*,#于是,0 2 *,# 所以底面 *,01 为正方形#*1 %! --$分 以*,#*1#*B#分别为+#4#"轴建立坐标系#则B!"#"#!"#,!!#"#!"#1!"#!#"" 由 *B % *,#则J 为B, 的中点#J!##"##"# --#"分 由 *J 2 平面 B,0#则 ())*J 为平面B,0 的法向量#由线面角向量运算公式可得 780#% & ())*J1 ())B1& & ())*J&1& ())B1&% # ! #所以#% ! ( #即直线 B1 与平面B,0 所成角为! (! --#!分 #%!解)!#"易知4=%#'!')'*'' ' %)#!4%"!''"!('#'#!*'#!2 ' %#!"*# 3 ' $%# =! $ %#! '!! ')! '*! ''! %''# --!分 从而D@% 3 ' $%# !=$ #4="!4$ #!4" 3 ' $%# !=$ #4="! % 3 ' $%# =$4$ #'4=!4 3 ' $%# =$ ! #'4=! %#$!$#'I)I#!"* ''#'I)! %"!)! --*分 所以D- %!4#D@4= %#!"*#"!)!I)%"!"$ --'分 则4 关于=的线性回归方程为D4 %"!)!='"!"$# 当=%(时#4 %!!""#即返回(个点时该商品每天销量约为!百件! --(分 !!"!8"根据题意#这!""位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平 均值9+#及中位数的估计值分别为 9+ %!I"!#'*I"!)'(I"!)'$I"!#''#"I"!#'#!I"!"'%(# --2分 中位数的估计值为''!I#""#!"#(" (" %'' ! ) :'!2! --$分 !88"抽取(名消费者中*欲望紧缩型+消费者人数为(I!" )"%*# *欲望膨胀型+消费者人数为(I#" )"%!! --%分 高三数学答案!理""第!页"!共'页""!!"#%&'"B!E %#"% 0# *0! ! 0) ( % # '#B!E %!"% 0! *0# ! 0) ( % ) '#B!E %)"% 0) *0" ! 0) ( % # '! 故随机变量的分布列为 E # ! ) B # ' ) ' # ' --##分 ?!E"%!! --#!分 !"!解)!#"根据题意可得 ) !-! ' ! @! %## @! #-! %# ; < = ! --!分 可解得 -% 槡) @%; < = ! --)分 >" 椭圆? 的方程为4! * '+! ) %#! --*分 !!"不妨设 *#!"#!"#*!!"##!"! B!+"#*"为直线4 %*上一点!+" >""#C!+##4#"#2!+!#4!"! 直线 B*# 方程为4 % ! +" +'!#直线 B*! 方程为4 % ( +" +#!! --'分 点 C!+##4#"#*#!"#!"的坐标满足方程组 +! ) '4! * %## 4 % ! +" +'! ; < = ! 可得 +# % #(+" )'+" !# 4# %!+" ! #( )'+" ! ; < = ! --2分 点 2!+!#4!"#*!!"##!"的坐标满足方程组 +! ) '4! * %## 4 % ( +" +#! ; < = ! 可得 +! % #$+" !2'+" !# 4! % #!+" ! ''* !2'+" ! ; < = # --$分 C!# (+" )'+" !#!+" ! #( )'+" ! "#2! #$+" !2'+" !##!+" ! ''* !2'+" ! "! 直线 C2 的方程为4#!+" ! #( )'+" ! %#+" ! #% (+" !+' (+" )'+" !"# --%分 即4 %#+" ! #% (+" +'#! 故直线 C2 恒过定点,!"##"! --#"分 高三数学答案!理""第)页"!共'页""!!"#%&'"又 ="5!"###"#,!"##"是椭圆? 的焦点# >"*5C2 周长 %&5C &'&C,&'&,2&'&25&%*@%$! --#!分 !#!解)!#"8K!+"% # + #:%##:+ + !+ ,""# --#分 $ 当:&"时#8K!+","#8!+"在区间!"#' 9"上单调递增. --!分 % 当:,"时#由8K!+","得"#+# # : #由8K!+"#"得+, # : #所以8!+" 在区间 "##! ": 上单调递增#在区间!# :#' 9"上单调递减! --*分 !!"因为+##+! 是8!+"的两个零点#则/0+! #:+! %"#/0+# #:+# %"# 所以/0+! #/0+# %:!+! #+#"#/0+# '/0+! %:!+# '+!"! --(分 要证/0+! ,!#/0+##只要证/0+# '/0+! ,!#即证:!+# '+!",!# --2分 即证/0+! #/0+# +! #+# !+! '+#",!#即证/0+! #/0+# ,!!+! #+#" +! '+# # --$分 只要证/0+! +# ,!!+! #+#" +! '+# ! --%分 设=%+! +# !=,#"#则只要证/0=,!!=##" ='# !=,#"! --#"分 设9!="%/0=#!!=##" ='# #则9K!="% !=##"! =!='#"! ,"#所以9!="在!##' 9"上单 调递增! 所以9!=",9!#"%"# --##分 即/0=,!!=##" ='# #所以/0+# '/0+! ,!# 即/0+! ,!#/0+#! --#!分 !!!解)!#"设 B!"##"#"=" ())6B %) ())6C #点 C 的极坐标为!" ) ##"! --#分 把点 C!" )##"代入曲线0#得" ) %!780## 即曲线F 的极坐标方程为)"%(780#! --)分 =""! %("780##">"+! '4! %(4#">"+! ' !4#)"! %%# >" 曲线F 的平面直角坐标系下的方程为+! ' !4#)"! %%! --'分 !!"曲线F 向上平移#个单位后曲线 2 的方程为+! ' !4#*"! %%! --(分 G的参数方程化为) + %#槡! !=# 4 % 槡! != ; < = ! --2分 两方程联立得=! # 槡* !='2%"#">"=# '=! % 槡* !#=#1=! %2# --%分 >"&6*&'&6,&%&=#&'&=!&%=# '=! % 槡* !! --#"分 !)!解)!#"不等式化为&+#'&'&+#)&&)! --#分 高三数学答案!理""第*页"!共'页""!!"#%&'"当+ #)时#原不等式等价于 #!+ &#'#即' ! &+ #). --!分 当)&+ &'时#原不等式等价于!&)#即)&+ &'. --)分 当+ ,'时#原不等式等价于!+#$&)#即'#+ &## !! --*分 综上#原不等式的解集为,' ! ### ! 0! --'分 !!"证明)由题意得 8!-+"#-8!+"%&-+#'&#-&+#'&%&-+#'&'&-+#'-& %&-+#'&'&#-+''-&'&-+#'#-+''-&%&'-#'&%8!'-"! 所以8!-+"#8!'-"'-8!+"成立! --#"分 高三数学答案!理""第'页"!共'页""!!"#%&'"