安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学文答案.pdf

高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市 2019 年高三第三次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(0，2) 14. 1 33   ， 15.2 16. 1 4 三、解答题： 17.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)由 34 56aa a ，得 2610qq  ，解得 1 2q  或 1 3q   . ∵数列na 为递减数列，且首项为 1 ∴ 1 2q  ∴ 11111 22 nn na      . …………………………6 分 (Ⅱ)∵ 012 1111 1123222 2 n nTn                 ∴ 1231111 112 32222 2 n nTn                两式相减得 012 11111 1 1 2222 2 2 nn nTn               11 11122 22 21 22221 2 n nnn n nnn         ∴ 1 24 2n n nT   . ……………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)由题意得： 城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 24 124 不经常阅读 50 26 76 合计 150 50 200 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A C C D D B B A D 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 4 页） 则 2 2 200 100 26 50 24 9800 5.546 5.024150 50 124 76 1767K   ， 所以，有 97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关. ……………………………6 分 (Ⅱ)采取分层抽样抽取出 6 人，则其中经常阅读的有 4 人，不经常阅读的有 2 人， ∴ 62 15 5P . ……………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)取AD 的中点为 O，连结 OP，OB，OC.设OB 交AC 于点 H，连结 GH. ∵ AD ∥BC ， 1 2ABBCCDAD ∴四边形 ABCO 与四边形 OBCD 均为菱形 ∴OB⊥AC，OB ∥CD ∴CD AC PAD PO AD    为等边三角形，O为AD中点 PAD ABCD PAD ABCD AD PO PAD PO AD PO ABCD    平面 平面 且平面 平面 ， 平面 且 平面 ∵CD ABCD 平面 ∴ PO CD ∵H ，G 分别为 OB， PB 的中点 ∴GH ∥PO ∴GH CD 又∵ GH AC H ∴CD GAC 平面 . ………………………6 分 (Ⅱ) 1:1222 DGAC GADC GADC ADC P ABC P ABC G ABC ABC VV V S AD VV V S BC       . ……………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)由椭圆 C 经过点 P ( 21 2 ， )，且 12PF F 的面积为 2 2 ，得 1c  ，且 22 1112ab. ∵ 222 221abc ab  ∴ 42 2 22 1112 10 112 bb bbb  即 ，解得 ∴ 2 2a  ∴椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y. ……………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知  1 1 0F  ， ， 2 1 0F ， .令  11A xy， ，  22Bx y， . 若直线l 的斜率不存在，则 22 7 2FA FB  . 当直线l 的斜率存在时，设  :1ly kx，代入椭圆方程得  22 2 212 4 2 1 0kx kx k . 则 422216 8 1 2 1 8 8 0kkkk       恒成立 . ∴ 2 12 2 4 12 kxx k ， 2 12 2 21 12 k xx k    ∴  2 22 1 2 12 22 9 717 211 212 12 kFA FB x x yy kk     高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 4 页） 令 212 1tk ，则 22 2 79 71 2222 1 FA FB k       ， . 综上可知， 22F AFB   的取值范围为 71, 2     . ……………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)     2 11 xx x axax xafx ee     ，由   0fx  得， 1x  或x a . 当 1a  时，  0fx  ，函数 f x 在 ， 单调递增. 当 1a  时，函数  f x 的递增区间为     1 a，，， ，递减区间为   1a， . 当 1a  时，函数  f x 的递增区间为     1 a，，， ，递减区间为  1 a， . ……………………………6 分 (Ⅱ)证明：对  0x ， ，  1fx ，即证  0x  ， ，  min 1fx  . ①由(Ⅰ)单调性可知，当 1a  ，  0x ， 时，       min min 0f xffa ， .  1 a afa e  . 设  1 1a aga ae ， ，  0a aga e  ， ∴ g a 在1 ， 单调递增，故   211ga g e，即   1fa . 又∵ 01f  ∴  min =1fx  . ②当 1a  时，函数  f x 在 0 ， 单调递增，    min 01fx f  . ③当 31ea 时，由(Ⅰ)单调性可知，  0x ， 时，   min min 0 1fx f f ， .  33311eaf ee  . 又∵ 01f  ∴  min =1fx  . 综上，当 3ae时，对  0x ， ，   1fx . ……………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) 解：(Ⅰ)曲线 C： 224xy( 0y  )，曲线 E： 2 2 14 x y  . ……………………………5 分 (Ⅱ)设 A(2cos 2sin ， )，  0  ， ，要使得 AOB 面积的最大，则 B (2cos sin ， ). ∴ 11 33sin 2cos sin222 2AOB BSABx     ∵  202  ， ∴当 4   时， AOB 的面积取最大值 3 2 . ……………………………10 分 高三数学试题（文科）答案 第 4 页（共 4 页） 23.(本小题满分 10 分) 解：(Ⅰ)  42 1 31 1 24 1 1 4 2 1 xx fx x x x x xx      ， ， ， 当 1x  时， f x 的最小值为 2k  . ……………………………5 分 (Ⅱ)依题意， 2242mn  . 22 22 22 22 1114 14 144614444mnmn mn mn    22 22 1444 1 31452466244 nm mn  . 当且仅当 22 22 444 44 nm mn    ，即 2 20mn ， 时，等号成立. ……………………………10 分