2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（二）（文科）.pdf

南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 1 页（共 9 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数 学 试 卷（文史类） 2019.05 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页． 祝各位考生考试顺利！ 第 Ⅰ 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 参考公式： ·球的表面积公式 S 球=4R2，其中 R 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设全集为 R，若集合 A={x|(x+2)(x–3)≥0}，集合 B={x|x＞1}，则(∁RA)∪B= （ ）． （A）[3，+∞) （B）(1，3] （C）(1，3) （D）(–2，+∞) （2）已知实数 x，y 满足约束条件 50 0 3     ≥ ， ≥ ， ≤ ， xy xy x 则 z=2x+4y 的最小值是（ ）． （A）5 （B）–6 （C）10 （D）–10 （3）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是（ ）． （A）9≤a＜10 （B）9＜a≤10 （C）10＜a≤11 （D）8＜a≤9 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 2 页（共 9 页） （4）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说：两个同高的几何体，如在等高处 的截面积恒相等，则体积相等．设 A，B 为两个同高的几何体，p：A，B 的体积不相 等，q：A，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知 a= 1 32 ，b= 2 1log 3 ，c= 1 2 1log 3 ，则（ ）． （A）a＞b＞c （B）a＞c＞b （C）c＞a＞b （D）c＞b＞a （6）设 f(x)=sin3x–cos3x，把 y=f(x)的图象向左平移（＞0）个单位长度后，恰好得 到函数 g(x)=–sin3x+cos3x 的图象，则的值可以为（ ）． （A） 6  （B） 4  （C） 2  （D） （7）已知 F1，F2 分别为双曲线 3x2–y2=3a2（a＞0）的左、右焦点，P 是抛物线 y2=8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（ ）． （A）x=–4 （B）x=–3 （C）x=–2 （D）x=–1 （8）已知函数 f(x)= 2 1 01 1 > 0     ， ≤ ， ， ， xx xx 若关于 x 的不等式|f(x)–a– 1 2 |≤ 有且仅有两个不 同的整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）． （A）[– 3 2 ，– 4 3 ) （B）[– ，– 1 3 ) （C）[–1，– ] （D）[0，3] 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 3 页（共 9 页） 第 Ⅱ 卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请 将答案填在题中横线上。 （9）已知复数 z= 3 2i 1i   ，i 为虚数单位，则|z|2= ． （10）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 n∈N*，an=20–3n，则 Sn 的最大值为 ． （11）球 O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCDA1B1C1D1 的表面积 为 S1，球 O 的表面积为 S2，则 1 2 S S = ． （12）已知圆 C：(x–3)2+(y+1)2=4 与直线 l：x+y–2=0 交于 M，N 两点，则 |MN|= ． （13）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AC 与 BD 交于点 M，AB=2CD=4．若 AC • BD =–1，则 cos∠BMC= ． （14）已知函数 f(x)=ex– 1 ex –2sinx，其中 e 为自然对数的底数，若 f(2a2)+f(a–3)＜0， 则实数 a 的取值范围为 ． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 4 页（共 9 页） 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分 13 分） 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位： 分）．已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数是 75． （Ⅰ）求 x，y 的值； （Ⅱ）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽到的学生中， 甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率； （Ⅲ）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）． 甲队 乙队 5 6 5 4 6 8 8 7 6 x 1 1 7 0 2 y 8 2 0 8 0 6 8 9 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 5 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （16）（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 b=3，c=4，C=2B，且 a ≠b． （Ⅰ）求 cosB 及 a 的值； （Ⅱ）求 cos(2B+ 3  )的值． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 6 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥ CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E 是 PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 P-AC-E 的余弦值； （Ⅲ）直线 PB 上是否存在一点 F，使得 PD∥平面 ACF，若存在，求出 PF 的长；若不 存在，请说明理由． P E C D B A 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 7 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 13 分） 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=–an–( 1 2 )n–1+2（n∈N*）， 数列{bn}满足 bn =2nan． （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 cn=log2 n n a ，数列{ 2 2 nncc }的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn＜ 25 21 （n∈N*）的 n 的最大值． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 8 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F(c，0)，直线 l：x= 2a c 与 x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）过点 T 的直线与椭圆相交于 M，N 两点，M，N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N，T 之间，且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 距离的 2 倍． ①记△NFM，△NFA 的面积分别为 S1，S2，求 1 2 S S ； ②若原点 O 到直线 TN 的距离为 20 41 41 ，求椭圆方程． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 9 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+2（a≠0）在点(–1，f(–1))处的切线的斜率为 0．函数 g(x)=f(x)+ 3 1 x3–x–2． （Ⅰ）试用含 a 的代数式表示 b； （Ⅱ）求 g(x)的单调区间； （Ⅲ）令 a=–1，设函数 g(x)在 x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点 A(x1，g(x1))， B(x2，g(x2))，证明：线段 AB 与曲线 g(x)存在异于 A，B 的公共点．