数与式信心测试
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．我市冬季里某一天的最低气温是－10 ℃，最高气温是5 ℃，这一天的温差为( )
A．－5 ℃ B．5 ℃ C．10 ℃ D．15 ℃
2．下列计算正确的是( )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4
C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是( )
A．－2a＋b B．2a－b
C．－b D．b
4．若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠
5． 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( )
A．121个 B．362个 C．364个 D．729个
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．因式分解：2a3－8ab2＝____．
7．已知2a－3b＝7，则8＋6b－4a＝____.
8．如图，数轴上点A表示的实数是____.
7
,第10题图)
9．化简：÷(－1)·a＝____．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为____．
三、解答题(共50分)
11．(10分) 计算：
(1)＋()－1－(3－π)0－|1－4cos30°|；
(2) －12017－|1－tan60°|＋×()－2＋(2017－π)0.
12．(7分)已知非零实数a，b满足a＋b＝3，＋＝，求代数式a2b＋ab2的值．
7
13．(7分)如图，将长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
14．(18分)(1)先化简，再求值：(x－)÷，其中x＝，y＝－1；
(2)先化简÷(－x＋1)，然后从－＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值；
(3)先化简，再求值：(－)÷，其中x满足x2－x－2＝0.
7
15．(8分) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝.
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．
数与式信心测试
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．我市冬季里某一天的最低气温是－10 ℃，最高气温是5 ℃，这一天的温差为( D )
A．－5 ℃ B．5 ℃ C．10 ℃ D．15 ℃
2．下列计算正确的是( A )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4
C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是( A )
A．－2a＋b B．2a－b
C．－b D．b
4．若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( C )
A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠
5．
7
观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )
A．121个 B．362个 C．364个 D．729个
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．因式分解：2a3－8ab2＝__2a(a＋2b)(a－2b)__．
7．已知2a－3b＝7，则8＋6b－4a＝__－6__.
8．如图，数轴上点A表示的实数是__－1__.
,第10题图)
9．化简：÷(－1)·a＝__－a－1__．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为__1__．
三、解答题(共50分)
11．(10分) 计算：
(1)＋()－1－(3－π)0－|1－4cos30°|；
解：原式＝2
(2)－12017－|1－tan60°|＋×()－2＋(2017－π)0.
解：原式＝8
7
12．(7分)已知非零实数a，b满足a＋b＝3，＋＝，求代数式a2b＋ab2的值．
解：∵＋＝＝，a＋b＝3，∴ab＝2，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6
13．(7分)如图，将长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
解：(1)ab－4x2 (2)依题意得ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入上式得x2＝3，解得x＝(x＝－舍去)，∴正方形的边长为
14．(18分)(1)先化简，再求值：(x－)÷，其中x＝，y＝－1；
解：原式＝x－y，当x＝，y＝－1时，原式＝－(－1)＝1
(2)先化简÷(－x＋1)，然后从－＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值；
解：原式＝－，∵－＜x＜且x＋1≠0，x－1≠0，x≠0，x是整数，∴x＝－2时，原式＝
(3)先化简，再求值：(－)÷，其中x满足x2－x－2＝0.
解：原式＝x－1，解方程x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，当x＝2时，原式无意义，所以当x＝－1时，原式＝－1－1＝－2
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15．(8分) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝.
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．
解：(1)对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)，∵|n－n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝＝1
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，∵t是“吉祥数”，∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，∴y＝x＋4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59 (3)F(15)＝，F(26)＝，F(37)＝，F(48)＝＝，F(59)＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值为
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