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浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 一、选择题：‎ ‎1-5：C A C B B 6-10：A D C B D 二、填空题：‎ ‎11． 12． 13． 14． ‎ ‎15． 16． 17． ‎ 三、解答题 ‎18．解：‎ ‎（Ⅰ）的最小正周期为 ……3分，又当时，取最大值，‎ 所以，‎ ‎∴……6分 ‎ ‎ ‎（2），则……8分 ‎，又，∴， ， ……11分 ‎， ……14分 ‎19．解：‎ ‎（Ⅰ）连取线段的中点，连接和 和为等边三角形 ‎， ‎ 又平面 ‎ ‎……6分 ‎（Ⅱ）解法一：， 是二面角的平面角 平面 平面 ‎ 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页 记与的交点为，过作于，则 ‎ 是所成角 ……11分 由题意知为的重心， ‎ ‎， ‎ ‎ ……15分 解法二：平面 平面且交于 ‎ 过作于 则 ‎ 过作直线 ‎ 以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 ‎， 是二面角的平面角 ‎ 由题意得， ‎ ‎，，， ‎ ‎,， ……11分 记平面的法向量为，‎ 则即 ‎ ‎， ‎ 记所成角为 ‎ ‎ ……15分 ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）……①，‎ ‎……②，‎ ‎②—①得：，……2分，‎ ‎ ‎ 方法一：， ‎ 方法二：，则为常数列，∴，∴ ‎ 当时也满足，所以……6分（没有考虑扣一分）‎ 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页 ‎（Ⅱ） ‎ 当为偶数时， ‎ 当为奇数时， ‎ 综上，……12分 ‎ ……15分 ‎21．解 ‎（Ⅰ）由已知可得，……3分，消去得：‎ ‎，‎ 抛物线的方程为……6分 ‎（Ⅱ）设，菱形的中心 ‎ 当轴，则在原点，，，，菱形的面积 ‎，……8分 解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为 ‎ 消去得： ‎ ‎，∴ ‎ ‎，∵为的中点 ‎，点在抛物线上，且直线的斜率为 ‎ 解得：……13分 ‎, ‎ ‎ ‎ ‎……15分 综上， ‎ 解法二：设，直线的斜率为（） ‎ 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页 ‎，直线的斜率为，可以设 ‎ 消去得： ‎ ‎∵，∴ ‎ 解方程：，解得，……13分，接下去同上.‎ ‎22．解析 ‎（Ⅰ）因为函数不单调，所以有两个不同正根，……2分 即得 ‎ 此时， ‎ 所以. …………6分 ‎（Ⅱ）令的两根为，且，‎ 则在上递增，上递减，上递增，‎ 且，‎ 因为存在3个不同的零点，‎ 且时，，时，，‎ 所以， ……9分 ‎ ‎ 同理，‎ 令，则得，‎ 所以在上递增，上递减，‎ 因为，所以，‎ 又因为，当时，‎ 所以存在使得，因为，所以，‎ 所以，所以， ………13分 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页 法一：令，‎ ‎，，‎ 所以有两个根，设为且，则在上单调递减.‎ 若，则，即，‎ 即；若同理可证，‎ 所以对于任意的，不等式成立；‎ 即存在使得成立.………15分 法二：因为 ‎ 所以有两根，若是方程的两根，不妨令，‎ 则对任意的有 ‎ 由拉格朗日中值定理知存在使得 ‎ 所以存在使得. …………15分 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页