天津一中、益中学校 2018—2019 学年度高三年级五月考试卷
数 学（文史类）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟．
第 I 卷（选择题共 40 分）
一．选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是
符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．
1．设集合 2 1{| }, {| 1}AxxxBxx，则 A B （ ）
A．(0,1] B．[0,1] C．(,1] D．(,0)(0,1]
2．已知变量 yx， 满足约束条件
1
4
2
y
yx
yx
，则目标函数 yxz 2 的最小值为 （ ）
A．-1 B．1 C．3 D．7
3．执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设 x R ，则“ 3 1x ”是“ 11||22x ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知定义在 R 上的偶函数 ()f x 满足：当 0,x
时， ( ) 2018xfx ，若 (ln 3 )af e ， 0.3(0.2 )bf ， 12(( ) )3cf ，则 a ，b ， c 的
大小关系是 （ ）
A． bac B． cba C. bca D． cab
6．若将函数 2
3cos3cossin)( 2 xxxxf 的图象向右平移 个单位，所得
图象关于 轴对称，则 的最小值是( )
A．12
B．4
C．8
3 D．12
5
7．已知双曲线 ：C
22
221xy
ab（ 0a ， 0b ）的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双
曲线C 的渐近线上，且 aOM ，若直线 MF 的斜率为 a
b ，则双曲线C 的渐近线方程为
（ ）
A． xy B． xy 2 C． xy 3 D． xy 4
8．如图，在 中， 3
BAC ， ， 为 上一点，且满足
，若 的面积为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D． 3
4
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．
9．已知复数 z 满足 izi 34)31( ，则 z ．
10．已知 xbxbxxf 223 )1(2
1
3
1)( （ 为常数）在 1x 处取极值，则 的值为
__________．
11．已知正四棱锥底面边长为 ，表面积为 ，则它的体积为________．
12．圆心在直线 02 yx 上，且与直线 1 yx 相切于点 )1,2( 的圆的标准方程为
____________
13．椭圆 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的离心率是 2
1
，则 a
b
3
12
的最小值为 ．
14．已知函数
)4(}53min{
]42(}31min{
]20(1
)(
，，，
，，，
，，
xxx
xxx
xx
xf ，若关于 x 的方程
)0)(()( kxfkxf 有且只有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围是__________．
三．解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．已知 ABC△ 的内角 A BC， ， 的对边分别为 abc， ， ，且 3b ， 1c ， BA 2 .
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求 )62cos( A 的值.
16．某区的区人大代表有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记
为 ，乙校教师记为 ，丙校教师记为 ，丁校教师记为 .现从这 6 名教师代表中
选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出．．．．．．1．
名．.
（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；
（2）求教师 被选中的概率；
（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.
17．如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，
SA⊥平面 ABCD，二面角 S—CD—A 的平面角为 45°，
M 为 AB 中点，N 为 SC 中点.
（1）证明：MN//平面 SAD；
（2）证明：平面 SMC⊥平面 SCD；
（3）若 AD
CD ，求实数 的值，使得直线 SM 与平面
SCD 所成角为 30°。
18．已知首项都是1的数列{},{}nnab（ *0,nbnN）满足 1
1 3
nn
n
nn
abb ab
．
（1）令 n
n
n
ac b ，求数列{}nc 的通项公式；
（2）若数列{}nb 为各项均为正数的等比数列，且 2
3264bbb ，求数列{}na 的前 n 项和
nS ．
19．已知椭圆 1C ： )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左、右焦点为 1F 、 2F ， 2F 的坐标满足圆Q
方程 1)1()2( 22 yx ，且圆心Q 满足 aQFQF 221 ． （1）求椭圆 1C 的方
程；
（2）过点 )10( ，P 的直线 1l ： 1 kxy 交椭圆 1C 于 A 、 B 两点，过 P 与 1l 垂直的直线 2l
交圆Q 于C 、 D 两点， M 为线段CD 中点，若 MAB 的面积为 5
26 ，求 k 的值． 20．已知函数 ．
（1）当 时，直线 与 相切，求 的值；
（2）若函数 在 内有且只有一个零点，求此时函数 的单调区间；
（3）当 时，若函数 在 上的最大值和最小值的和为 1，求实数 的值．
参考答案
二．选择题： A B C B C D A B
二、填空题：
9． i33 10．0 11． 3
34 12． 13． 3
3 14．(2,4)
三．解答题：
15． 解析：(Ⅰ)∵ BA 2 ，∴ BBBA cossin22sinsin ………2 分
即 1222 2
222
aac
bcaba ，∴ 32a . ………5 分
（Ⅱ） 3
1
2cos
222
bc
acbA ， ………6 分
3
22cos1sin 2 AA ， ………7 分
9
7sincos2cos 22 AAA ， ………9 分
9
24cossin22sin AAA ， ………11 分
18
3724
6sin2sin6cos2cos)62cos( AAA .………13 分
16．详解：（1）从 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全
部可能结果有： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， 共有 12 种不同可能结果.
（2）组成人员的全部可能结果中， 被选中的结果有 ， ， ，
， 共有 5 种，
所以所求概率 .
（3）宣讲团没有乙校代表的结果有： ， 共 2 种结果，所以所求概率为
.
17． 解析：（I）证明：取 SD 中点 E，连接 AE，NE，则
四边形 AMNE 为平行四边形，
…………2 分 又 平面 SAD …………4 分
（2） 平面 ABCD，
，
底面 ABCD 为矩形，
又
平面 SAD，
即为二面角 S—CD—A 的平面角，
即 …………6 分
为等腰直角三角形，
平面 SAD， 又 平面 SCD
平面 SCD， 平面 SMC，
平面 SMC 平面 SCD …………8 分
（3） ，设 AD=SA=a，则 CD
由（2）可得 MN 平面 SCD， 即为 SM 在平面 SCD 内的射影
即为直线 SM 与平面 SCD 所成角，
即 …………11 分
而MN=AE= 中， 而
中，由 得 解得
当 时，直线 SM 与平面 SCD 所成角为 …………13 分
18．(Ⅰ) 32ncn；
（Ⅱ） 11(3 2) ( )2
n
nan ， 118(34)()2
n
nSn ．
19．(Ⅰ) )02(1 ，F ， )02(2 ，F ， )12( ，Q
∴ 242 21 aQFQFa ，
∴ 2222 cab ∴ 椭圆 1C 的方程为 124
22
yx ． （Ⅱ）设 )( 11 yxA ， ， )( 22 yxB ， ，由
42
1
22 yx
kxy
消去 y ，得 024)21( 22 kxxk ， 0832)12(816 222 kkk ，
221 2k1
4
kxx ， 221 2k1
2
xx ，
∴ 2
2
2
21
2
21
83211 k
kkxxkAB
∵ M 为线段CD 中点， ∴ CDMQ ，又∵ 21 ll ， ABMQ // ， ∴ QABMAB SS ，
又点Q 到 1l 的距离
1
2
2
k
k
d ， ∴ 5
26
21
)14(2
2
1
2
22
k
kkdABS MAB
∴ 220)928)(2(0184728 22224 kkkkkk ．
此时 2l ： 12
2 xy ，圆心Q 到 2l 的距离 13
2
12
1
1122
2
h ，成立．
综上： 2k ．
20． 【详解】
（1） ,
则 ,所以， ，
当 ，所以 ，解得 .
（2） ，
由 ，得到 ， ，
当 时， 在区间 上恒成立，
即函数 在区间 上单调递增，
又因为函数 的图象过点 ，即 ，
所以函数 在 内没有零点，不合题意，
当 时，由 得 ，即函数 在区间 上单调递增，
由 得 ，即函数 在区间在 上单调递减，
且过点 ，要使函数 在 内有且只有一个零点，则须 ， 即 ，解得 ，
综上可得函数 在 内有且只有一个零点时 ，
此时函数 的单调递增区间为 ， ,单调递减区间为 .
（3）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时函数 有两个极值点，极大值为 ，极小值为 ，
且 , .
①当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
又 即
所以 ，解得 （舍）.
②当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增 即 ，所以 .
若 ，即 时， ，所以
，
解得 （舍）.
若 ，即 时， ，所以
，
解得 .
综上， .
微信/支付宝扫码支付