天津市天津一中、益中学校2019届高三下学期第五次月考数学（理）试题PDF版含答案.pdf

      2    天津一中 2019 届高三年级第五次月考数学试卷（理） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟． 第 I 卷（选择题 共 40 分） 一．选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符 合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1．设集合 }{ 2 xxxA  ， }11{  xxB ，则 BA （ ） A．(0,1] B．[0,1] C．(,1] D．(,0)(0,1]  2．已知变量 yx， 满足约束条件       1 4 2 y yx yx ，则目标函数 yxz 2 的最小值为 （ ） A．-1 B．1 C．3 D．7 3．执行右边的程序框图，输入 5N ，则输出 S 的值为（  ） A． 3 2 B． 4 3 C． 5 4 D． 6 5 4．设 x  R ，则“ 3 1x  ”是“ 11||22x ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数 )42sin(log 2 1  xy 的单调递减区间为 （ ） A． )(8,8 3 Zkkk       B． )(8 3,8 Zkkk       C． )(,4 Zkkk       D． )(8,8 Zkkk       6．已知定义在 R 上的偶函数 ()f x 满足：当  0,x  时， ( ) 2018xfx ，若 (ln 3 )af e ， 0.3(0.2 )bf ， 12(( ) )3cf  ，则 a ，b ， c 的大小关系是 （ ） A．bca B．cba C. bac  D． cab  7．已知双曲线 ：C 22 221xy ab（ 0a  ， 0b  ）的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双曲 线C 的渐近线上，且 aOM  ，若直线 MF 的斜率为 a b ，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） A． xy  B． xy 2 C． xy 3 D． xy 4       3    8．如图， 3 2BAC ，圆 M 与 AB 、 AC 分别相切于点 D 、 E ， 1AD ，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AEyADxAP  （ Ryx 、 ），则 yx  的取值范围是 （  ） A． ]3241[ ， B． ]324324[  ， C． ]321[ ， D． ]3232[  ， 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 9．已知复数 z 满足 izi 34)31(  ，则 z ． 10． 51 22 x y 的展开式中 32 yx 的系数为 . 11．已知正四棱锥 ABCDP  的底面边长为 2 ，表面积为12 ，则它的体积为 ． 12．已知关于 x 的不等式 )0(025 22  aaaxx 的解集为 )( 21 xx， ，则 21 21 xx axx  的最小值是 ． 13．抛物线 xy 42  ，直线l 经过抛物线的焦点 F ，与抛物线交于 BA、 两点，若 BFBA 4 ，则 OAB （O 为坐标原点）的面积为 ． 14．已知函数          )4(}53min{ ]42(}31min{ ]20(1 )( ，，， ，，， ，， xxx xxx xx xf ，若关于 x 的方程 )0)(()(  kxfkxf 有且只有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围是__________． 三．解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 15．已知 ABC△ 的内角 A BC， ， 的对边分别为 abc， ， ，且 3b ， 1c ， BA 2 . （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求 )62cos( A 的值. 16．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16． 现采用分层抽样的方 法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查． （ⅰ）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期 望； （ⅱ）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率．       4    17．如图, ABCD是边长为3的正方形， DE  平面 ABCD， DEAF // ， AFDE 3 ， BE 与平面 ABCD所成角为 060 . （Ⅰ）求证： AC 平面 BDE ； （Ⅱ）求二面角 DBEF  的余弦值； （Ⅲ）设点 M 在线段 BD 上，且 //AM 平面 BEF ， 求 BM 的长. 18．已知首项都是1的数列{},{}nnab（ *0,nbnN）满足 1 1 3 nn n nn abb ab     ． （Ⅰ）令 n n n ac b ，求数列{}nc 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}nb 为各项均为正数的等比数列，且 2 3264bbb  ，求数列{}na 的前 n 项和 nS ． 19．已知椭圆 1C ： )0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点为 1F 、 2F ， 2221 FF ，若圆 Q 方程 1)1()2( 22  yx ，且圆心Q 满足 aQFQF 221  ． （Ⅰ）求椭圆 1C 的方 程； （Ⅱ）过点 )10( ，P 的直线 1l ： 1 kxy 交椭圆 1C 于 A 、 B 两点，过 P 与 1l 垂直的直线 2l 交圆Q 于C 、 D 两点， M 为线段CD 中点，若 MAB 的面积为 5 26 ，求 k 的值． 20．已知函数 xexf )( ， )(2)( 2 Raaxxxg  ． （Ⅰ）讨论函数 )()()( xgxfxh  的单调性； （Ⅱ）记      0)( 0)()( xxg xxfx ， ，  ，设 ))(( 11 xxA ， ， ))(( 22 xxB ， 为函数 )(x 图象上的两 点，且 21 xx  ． （ⅰ）当 00 21  xx ， 时，若 )(x 在点 BA、 处的切线相互垂直，求证： 112  xx ； （ⅱ）若 )(x 在点 BA、 处的切线重合，求 a 的取值范围．       5    参考答案  二．选择题： A B D B D AA B 二、填空题： 9． i33 10． 20 11． 3 34 12． 10 13． 3 34 14．(2,4) 三．解答题： 15． 解析：(Ⅰ)∵ BA 2 ，∴ BBBA cossin22sinsin  ………2 分 即 1222 2 222  aac bcaba ，∴ 32a . ………5 分 （Ⅱ） 3 1 2cos 222  bc acbA ， ………6 分 3 22cos1sin 2  AA ， ………7 分 9 7sincos2cos 22  AAA ， ………9 分 9 24cossin22sin  AAA ， ………11 分 18 3724 6sin2sin6cos2cos)62cos(   AAA .………13 分 16．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2，由于采用分 层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．…3 分 （Ⅱ）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3． P（X=k）= 3 43 3 7 CC C kk （k=0，1，2， 3）． 所以，随机变量 X 的分布列为 随机变量 X 的数学期望 11218412()0 1 2 335 35 35 35 7EX      ．………10 分 （ii）P(A)==P(X=2)+P(X=1)= 6 7 ．所以，事件 A 发生的概率为 6 7 ．………13 分 17． 解析：(Ⅰ)证明： 因为 DE  平面 ABCD ，所以 ACDE  . ………2 分 因为 ABCD是正方形，所以 BDAC  ， 又 ,BDDE相交从而 AC 平面 BDE . …………………4 分 (Ⅱ)解：因为 DEDCDA ,, 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 xyzD  如图所示.因为 BE 与平面 ABCD所成角为 060 ，即 60DBE ， …5 分 所以 3DB ED .由 3AD 可知 36DE  ， 6AF  . …6 分 则 (3,0,0)A ， (3,0, 6)F ， (0,0,3 6)E ， (3,3,0)B ， (0,3,0)C ， 所以 (0, 3, 6)BF  ， (3,0, 2 6)EF  ， ………7 分 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35       6    设平面 BEF 的法向量为 n (, ,)x yz ，则 0 0 BF EF        n n ， 即 360 3260 yz xz    ，令 6z  ，则 n (4,2, 6) . ………8 分 因为 AC 平面 BDE ，所以CA 为平面 BDE 的法向量， (3, 3,0)CA  ， 所以 613cos , 1332 26 CACA CA      nn n . ……9 分 因为二面角为锐角，所以二面角 DBEF  的余弦值为 13 13 . ………10 分 (Ⅲ)点 M 是线段 BD 上一个动点，设 (,,0)M tt . 则 (3,,0)AMt t ， 因为 //AM 平面 BEF ，所以 AM  n 0 , ………11 分 即 4( 3) 2 0tt，解得 2t . ………12 分 此时，点 M 坐标为 (2,2,0)， 23 1  BDBM ，符合题意. …………13 分 18．(Ⅰ) 32ncn； ………5 分 （Ⅱ） 11(3 2) ( )2 n nan  ， ………8 分 118(34)()2 n nSn    ． ……13 分 19．(Ⅰ) )02(1 ，F ， )02(2 ，F ， )12( ，Q ∴ 242 21  aQFQFa ， ∴ 2222  cab ∴ 椭圆 1C 的方程为 124 22  yx ．……4 分 （Ⅱ）设 )( 11 yxA ， ， )( 22 yxB ， ，由      42 1 22 yx kxy 消去 y ，得 024)21( 22  kxxk ， 0832)12(816 222  kkk ， 221 2k1 4  kxx ， 221 2k1 2 xx ， ∴ 2 2 2 21 2 21 83211 k kkxxkAB   ……6 分 ∵ M 为线段CD 中点， ∴ CDMQ  ，又∵ 21 ll  ， ABMQ // ， ∴ QABMAB SS   ， 又点Q 到 1l 的距离 1 2 2   k k d ， ∴ 5 26 21 )14(2 2 1 2 22   k kkdABS MAB …10 分 ∴ 220)928)(2(0184728 22224  kkkkkk ． …12 分       7    此时 2l ： 12 2  xy ，圆心Q 到 2l 的距离 13 2 12 1 1122 2    h ，成立． 综上： 2k ． …14 分 20． 【解析】（1） ，则 ， 当 即 时， ， 在 上单调递减， 当 时即 时， ， 此时 在 和 上单调递减，在 上是单调递增；…4 分 （2）（i） ，据题意有 ，又 ， 则 且 ， ， 法 1： ， 当且仅当 即 ， 时取等号． 法 2： ， ， 当且仅当 时取等号． ……………8 分 （ii）要在点 处的切线重合，首先需要在点 处的切线的斜率相等， 而 时， ，则必有 ，即 ， ， 处的切线方程是： 处的切线方程是： ，即 ， 据题意则 ， ， 设 ， ， ， 在 上， ， 在 上单调递增， 则 ，又 在 恒成立， 即当 时， 的值域是 ， 故 ，即为所求．……14 分