问题9 如何顺畅求解复杂数列的求和问题
一、考情分析
数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.
二、经验分享
1.分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
2.错位相减法求和时的注意点
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
3.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
三、知识拓展
1.一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
(4)12＋22＋…＋n2＝.
(5)
2.常见的裂项公式
20
(1) ；
(2)＝；
(3).
(4)
(5)
四、题型分析
(一) 公式法
公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．
【例1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．
【分析】利用等差数列的求和找、的等式，解出、，判断数列的类型，在用公式求解.
【解析】设等差数列的首项为、公差为d，则，
∴，即，
解得，，∴．
而，
∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，
20
∴．
【点评】(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
(2)几类可以使用公式求和的数列
①等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
②奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．
③等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(－1)n.
【小试牛刀】【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三)】正项等比数列中，为其前项和，已知，，则_______．
【答案】
【解析】由正项等比数列中，所以，又因为，所以，，所以
(二) 分组法
将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.
【例2】 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】已知数列是等差数列，，，设为数列的前项和，则 .
【答案】3024
【解析】
试题分析：由题意，得，所以＋＝
20
＝．
【评注】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【小试牛刀】已知数列满足，则该数列的前23 项的和为
【答案】4194
【解析】当为偶数时，，有，即偶数项成等差，
所以.当为奇数时， ，即奇数项成等比.
.该数列的前23 项的和为.
(三) 裂项相消法
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：余下的项前后的位置前后是对称的．余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法：
【例3】在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
⑴求数列的通项公式及其前项和；
⑵若，求数列的前项和.
【分析】⑴由成等比数列
；⑵由⑴可得
.
【解析】⑴∵成等比数列，∴，又∵，∴.
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∴，.
⑵由⑴可得，
∴.
【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题
①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．
③一般地，若{an}为等差数列，则求数列的前n项和可尝试此方法，事实上，＝＝＝·.
(2)用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
常见式的裂项
数列(n为正整数)
裂项方法
(k为非零常数)
＝
＝
＝－
(a>0，a≠1)
loga＝loga(n＋1) －logan
【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又，则
【答案】
【解析】因为数列的前项的“均倒数”为，
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所以，
当时，
作差得，因为，所以，
,
+=
(四) 错位相减法
若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列，当求数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 注意： 要考虑 当公比为1时为特殊情况 ， 错位相减时要注意末项.
【例4】设数列的前项和为，已知，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）利用，，推导出，由此能证明是等比数列；（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列的前项和．
【解析】（1）由，及，得，
整理，得，，又，
是以为首项，为公比的等比列（2）由（1），得，（）．
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，①
，②
由②①，得
【点评】错位相减法求和的适用条件及关注点
(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(2)关注点：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
【小试牛刀】已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
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解得：．
(五) 数列{|an|}的前n项和问题
【例5】在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(Ⅰ)求d，an；
（Ⅱ）若d
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