2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案24：锐角三角函数.docx

课时训练(二十四)　锐角三角函数 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|考场过关|‎ ‎1.计算:cos245°+sin245°= (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎1‎‎4‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=‎3‎‎5‎,BC=6,则AB= (　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎3.[2018·贵阳] 如图K24-1,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为 (　　)‎ 图K24-1‎ A.‎1‎‎2‎ B.1‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ ‎4.[2018·陕西] 如图K24-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为 (　　)‎ 图K24-2‎ A.‎4‎‎3‎‎2‎ B.2‎‎2‎ C.‎8‎‎3‎‎2‎ D.3‎‎2‎ ‎5.[2017·滨州] 如图K24-3,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为 (　　)‎ 图K24-3‎ A.2+‎3‎ B.2‎3‎ C.3+‎3‎ D.3‎‎3‎ ‎6.如图K24-4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD的值为 (　　)‎ 图K24-4‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎7.如图K24-5,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC=　　　　. ‎ 图K24-5‎ ‎8.如图K24-6,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=‎3‎‎5‎,则对角线AC的长为　　　　. ‎ 图K24-6‎ ‎9.如图K24-7,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=‎3‎‎2‎,求sinB+cosB的值.‎ 图K24-7‎ ‎10.如图K24-8,AD是△ABC的中线,tanB=‎1‎‎3‎,cosC=‎2‎‎2‎,AC=‎2‎.‎ 求:(1)BC的长;‎ ‎(2)sin∠ADC的值.‎ ‎[]‎ 图K24-8‎ ‎|能力提升|‎ ‎11.如图K24-9,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是　　　　. ‎ 图K24-9‎ ‎12.如图K24-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:‎ ‎(1)线段BE的长;‎ ‎(2)∠ECB的正切值.‎ 图K24-10‎ ‎|思维拓展|‎ ‎13.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作sad).如图K24-11①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值是一一对应的.根据上述角的正对定义,解下列问题:‎ ‎(1)sad60°=　　　　; ‎ ‎(2)如图②,△ABC中,CB=CA,若sadC=‎6‎‎5‎,求tanB的值;‎ ‎(3)如图③,Rt△ABC中,∠BCA=90°,若sinA=‎3‎‎5‎,试求sadA的值.‎ 图K24-11‎ 参考答案 ‎1.B　2.D ‎3.B　[解析] 如图,连接BC,则BC⊥AB.‎ 在Rt△ABC中,AB=BC=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎5‎,‎ ‎∴tan∠BAC=BCAB=1.‎ ‎4.C　[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,‎ ‎∴∠ABE=∠EBD=30°,‎ ‎∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎BE.‎ ‎∵∠BAD=90°-60°=30°,‎ ‎∴∠BAD=∠ABE=30°,‎ ‎∴AE=BE=2DE,∴AE=‎2‎‎3‎AD.‎ 在Rt△ACD中,sinC=ADAC,‎ ‎∴AD=ACsinC=8×‎2‎‎2‎=4‎2‎,‎ ‎∴AE=‎2‎‎3‎×4‎2‎=‎8‎‎3‎‎2‎,‎ 故选择C.‎ ‎5.A　[解析] 设AC=a,则AB=a÷sin30°=2a,BC=a÷tan30°=‎3‎a,∴BD=AB=2a.‎ ‎∴tan∠DAC=‎(2+‎3‎)aa=2+‎3‎.‎ ‎6.A　[解析] ∵△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,∴∠A=∠B=45°,而由折叠得到△AEF≌△DEF,∴DE=AE=3,∠EDF=‎ ‎∠A,∴∠EDF=∠B,∵∠CDE=180°-∠EDF-∠FDB,∠BFD=180°-∠B-∠FDB,∴∠CDE=∠BFD.‎ 在Rt△CDE中,CE=AC-AE=1,‎ ‎∴sin∠CDE=CEDE=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴sin∠BFD的值为‎1‎‎3‎,故选A ]‎ ‎7.‎1‎‎3‎　8.24‎ ‎9.解:∵CD⊥AB,CD=6,AB=12,‎ ‎∴tanA=‎6‎AD=‎3‎‎2‎,∴AD=4,‎ ‎∴BD=AB-AD=8.‎ 在Rt△BCD中,BC=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=10 ‎ ‎∴sinB=CDBC=‎3‎‎5‎,cosB=BDBC=‎4‎‎5‎,‎ ‎∴sinB+cosB=‎7‎‎5‎.‎ ‎10.解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵cosC=‎2‎‎2‎,∴∠C=45°.‎ 在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,‎ ‎∴AE=CE=1.‎ 在Rt△ABE中,∵tanB=‎1‎‎3‎,∴AEBE=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴BE=3AE=3.∴BC=BE+CE=3+1=4.‎ ‎(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=‎1‎‎2‎BC=2.‎ ‎∴DE=CD-CE=2-1=1.‎ ‎∵AE⊥BC,∴AD=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎2‎,‎ ‎∴sin∠ADC=AEAD=‎2‎‎2‎.‎ ‎11.‎2‎‎2‎　[解析] 连接AF,∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=3,DC=AB=2,∵点E是CD的中点,F是BC上一点,且FC=2BF,∴DE=EC=1,BF=1,FC=2.∴由勾股定理得AE=‎10‎,EF=‎5‎,AF=‎5‎,∵AF2+EF2=10=AE2,∴△AEF是直角三角形,∴cos∠AEF=EFAE=‎5‎‎10‎=‎2‎‎2‎.‎ ‎12.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2.‎ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,‎ ‎∴∠A=45°,AB=AC‎2‎+BC‎2‎=3‎2‎,‎ ‎∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=∠A=45°,‎ ‎∴AE=AD·cos45°=‎2‎,∴BE=AB-AE=2‎2‎.‎ ‎(2)如图,过点E作EH⊥BC,垂足为点H,‎ 在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,‎ ‎∴EH=BH=EB·cos45°=2,‎ ‎∵BC=3,∴CH=1,‎ 在Rt△ECH中,tan∠ECB=EHCH=2 ‎ ‎13.解:(1)∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形,‎ ‎∴sad60°=底边腰=1.故填1.‎ ‎(2)如图①所示,作CD⊥BA于点D,‎ ‎∵△ABC中,CB=CA,sad∠BCA=‎6‎‎5‎=ABBC ‎ ‎∴AB=‎6‎‎5‎BC,BD=AD=‎1‎‎2‎AB=‎3‎‎5‎BC.‎ ‎∴CD=BC‎2‎-BD‎2‎=BC‎2‎-(‎3‎‎5‎BC)‎‎ ‎‎2‎=‎4‎‎5‎BC.‎ ‎∴tanB=CDBD=‎4‎‎5‎BC‎3‎‎5‎BC=‎4‎‎3‎.‎ ‎(3)如图②所示,延长AC至E,使AE=AB,连接BE,‎ ‎∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,sinA=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴设BC=3a,AB=5a,则AC=4a.‎ ‎∴EC=5a-4a=a,‎ ‎∴BE=a‎2‎‎+(3a‎)‎‎2‎=‎10‎a,‎ ‎∴sadA=BEAB=‎10‎a‎5a=‎10‎‎5‎.‎