2019年高考真题文科数学（天津卷含解析）.doc

www.ks5u.com ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 文科数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分共40分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件A，B互斥，那么.‎ ‎·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高 ‎·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选D。‎ ‎【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．‎ ‎2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，用截距模型求最值。‎ ‎【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。‎ 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，‎ 故目标函数在点处取得最大值。‎ 由，得，‎ 所以。‎ 故选C。‎ ‎【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、‎ 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．‎ ‎3.设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】等价于，故推不出；‎ 由能推出。‎ 故“”是“”的必要不充分条件。‎ 故选B。‎ ‎【点睛】充要条件的三种判断方法：‎ ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；‎ ‎(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．‎ ‎4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，逐步写出运算结果。‎ ‎【详解】，‎ 结束循环，故输出 故选B。‎ ‎【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．‎ ‎5.已知，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎。‎ 故。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。‎ ‎【详解】的方程为，双曲线的渐近线方程为，‎ 故得，‎ 所以，，，‎ 所以。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】双曲线的离心率.‎ ‎7.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则 A. -2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需根据函数性质逐步得出值即可。‎ ‎【详解】为奇函数，可知，‎ 由可得；‎ 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，‎ 由的最小正周期为可得，‎ 由，可得，‎ 所以，。‎ 故选C。‎ ‎8.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出图象及直线，借助图象分析。‎ ‎【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，‎ 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。‎ 即，即，‎ 或者，得，，即，得，‎ 所以的取值范围是。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。‎ 绝密★启用前 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2.本卷共12小题，共110分。‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.是虚数单位，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。‎ ‎【详解】解法一：。‎ 解法二：。‎ ‎【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．‎ ‎10. 设，使不等式成立的的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过因式分解，解不等式。‎ ‎【详解】，‎ 即，‎ 即，‎ 故的取值范围是。‎ ‎【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．‎ ‎11. 曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。‎ ‎【详解】，‎ 当时其值为，‎ 故所求的切线方程为，即。‎ ‎【点睛】曲线切线方程的求法：‎ ‎(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：‎ ‎①求出函数f(x)的导数f′(x)；‎ ‎②求切线的斜率f′(x0)；‎ ‎③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．‎ ‎(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．‎ ‎12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。‎ ‎【详解】四棱锥的高为，‎ 故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，‎ 故其体积为。‎ ‎【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。‎ ‎13. 设，，，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。‎ ‎【详解】，‎ 等号当且仅当，即时成立。‎ 故所求的最小值为。‎ ‎【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。‎ ‎14. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。‎ ‎【详解】详解：解法一：如图，过点作的平行线交于，‎ 因为，故四边形为菱形。‎ 因为，，所以，即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则，。‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为。‎ 由得，，‎ 所以。‎ 所以。‎ ‎【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（I）6人，9人，10人；‎ ‎（II）（i）见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；‎ ‎（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；‎ ‎（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.‎ ‎【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，‎ 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，‎ 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.‎ ‎（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ‎,,,,共15种；‎ ‎（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，‎ 所以，时间M发生的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎16. 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因为，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，‎ ‎（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；‎ ‎（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；‎ ‎（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.‎ ‎【详解】（I）证明：连接，易知，，‎ 又由，故，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，又平面，故，‎ 又已知，，‎ 所以平面.‎ ‎（III）解：连接，由（II）中平面，‎ 可知为直线与平面所成的角.‎ 因为为等边三角形，且为的中点，‎ 所以，又，‎ 在中，，‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.‎ ‎18. 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足求.‎ ‎【答案】（I），；‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；‎ ‎（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.‎ ‎【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 依题意，得，解得，‎ 故，，‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为；‎ ‎（II）‎ ‎，‎ 记 ①‎ 则 ②‎ ‎②①得，，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.‎ ‎19. 设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程. ‎ ‎【答案】（I）首先设椭圆的半焦距为，根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；‎ ‎（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）；‎ ‎（II）.‎ ‎【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，‎ 又由，消去得，解得，‎ 所以，椭圆的离心率为.‎ ‎（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，‎ 由题意，，则直线的方程为，‎ 点的坐标满足，消去并化简，得到，‎ 解得，‎ 代入到的方程，解得，‎ 因为点在轴的上方，所以，‎ 由圆心在直线上，可设，因为，‎ 且由（I）知，故，解得，‎ 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，‎ 又由圆与相切，得，解得，‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.‎ ‎20. 设函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，‎ ‎（i）证明恰有两个零点 ‎（ii）设为极值点，为的零点，且，证明.‎ ‎【答案】（I）在内单调递增.；‎ ‎（II）（i）见解析；（ii）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；‎ ‎（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；‎ ‎（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.‎ ‎【详解】（I）解：由已知，定义域为，‎ 且，‎ 因此当时，，从而，‎ 所以在内单调递增.‎ ‎（II）证明：（i）由（I）知，，‎ 令，由，可知在内单调递减，‎ 又，且，‎ 故在内有唯一解，‎ 从而在内有唯一解，不妨设为，‎ 则，当时，，‎ 所以在内单调递增；‎ 当时，，‎ 所以在内单调递减，‎ 因此是的唯一极值点.‎ 令，则当时，，故在内单调递减，‎ 从而当时，，所以，‎ 从而，‎ 又因为，所以在内有唯一零点，‎ 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.‎ ‎（ii）由题意，，即，‎ 从而，即，‎ 以内当时，，又，故，‎ 两边取对数，得，‎ 于是，整理得，‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎