2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案33：弧长和扇形面积.docx

课时训练(三十三)　弧长和扇形面积 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|考场过关|‎ ‎1.在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6 cm,则扇形AOB的面积是 (　　)‎ A.6π cm2 B.8π cm2 C.12π cm2 D.24π cm2‎ ‎2.如图K33-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠OCA=50°,AB=4,则弧BC的长为 (　　)‎ 图K33-1‎ A.‎10π‎3‎ B.‎10π‎9‎ C.‎5π‎9‎ D.‎‎5π‎18‎ ‎3.[2017·淄博] 如图K33-2,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是 (　　)‎ 图K33-2‎ A.2+π B.2+2π C.4+π D.2+4π ‎4.[2018·益阳] 如图K33-3,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是 (　　)‎ 图K33-3‎ A.4π-16 B.8π-16‎ C.16π-32 D.32π-16‎ ‎5.[2017·安顺] 如图K33-4,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A'B'C'的位置,若BC=12 cm,则顶点A从开始到结束所经过的路径长为　　　　 cm. ‎ 图K33-4‎ ‎6.[2018·青岛] 如图K33-5,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE,OF,则图中阴影部分的面积是　　　　. ‎ 图K33-5‎ ‎7.[2017·新疆生产建设兵团] 如图K33-6,AC为☉O的直径,B为☉O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,连接BE.‎ ‎(1)求证:BE是☉O的切线;‎ ‎(2)当BE=3时,求图中阴影部分的面积.‎ 图K33-6‎ ‎|能力提升|‎ ‎8.[2017·资阳] 如图K33-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,则图中阴影部分的面积为 (　　)‎ 图K33-7‎ A.‎13‎‎12‎π B.‎3‎‎4‎π C.‎4‎‎3‎π D.‎25‎‎12‎π ‎9.如图K33-8,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N,劣弧MN的长为‎6‎‎5‎π,直线y=-‎4‎‎3‎x+4与x轴、y轴分别交于点A,B.‎ ‎(1)求证:直线AB与☉O相切;‎ ‎(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示).‎ 图K33-8‎ ‎|思维拓展|‎ ‎10.[2018·扬州] 如图K33-9,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.‎ ‎(1)求证:AC是☉O的切线;‎ ‎(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.‎ 图K33-9‎ 参考答案 ‎1.C　2.B ‎3.A　[解析] 如图,设半圆圆心为O,AB与半圆O交于点D.连接DO.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CBA=45°.∴∠DOC=90°.‎ 利用分割的方法,得到阴影部分的面积由三角形BOD的面积和扇形COD的面积组成,所以阴影部分的面积=‎1‎‎2‎×2×2+‎90‎‎360‎π×22=2+π.‎ ‎4.B　[解析] 如图,连接OA,OB.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠AOB=90°.‎ 设OA=OB=r,则r2+r2=42.‎ 解得:r=2‎2‎(负值已舍).‎ ‎∴S阴影=S☉O-S正方形ABCD ‎=π×(2‎2‎)2-4×4‎ ‎=8π-16.‎ 故选择B.‎ ‎5.16π　[解析] 本题主要考查旋转的性质及弧长公式,熟练掌握旋转的性质得出点A所经过的路径即为以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对的弧是解题的关键.‎ ‎∵∠BAC=30°,∠ABC=90°,且BC=12,‎ ‎∴∠ACA'=∠BAC+∠ABC=120°,AC=2BC=24 cm,‎ 由题意知点A所经过的路径是以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对的弧,‎ ‎∴其路径长为‎120·π·24‎‎180‎=16π(cm).‎ ‎6.‎7‎‎3‎‎2‎-‎4π‎3‎　[解析] 如图,作OG⊥AB于G,∵∠B=90°,∠C=30°,∴∠A=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴AF=OA=2,AG=1,∠AOF=60°,∴OG=‎3‎.∵BC是☉O的切线,∴OE⊥BC,∴四边形OEBG是矩形.∴BG=OE=2,∴AB=3.∵tanC=ABBC,即‎3‎BC=‎3‎‎3‎,∴BC=3‎3‎.∴S阴影=‎1‎‎2‎×3×3‎3‎-‎1‎‎2‎×2×‎3‎-‎120π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎7‎‎3‎‎2‎-‎4π‎3‎.‎ ‎7.[解析] (1)连接OB,由△AOB是等边三角形可得∠OBA=60°,由BE是直角三角形斜边上的中线,可得∠ABE=30°,从而可得OB⊥BE.‎ ‎(2)△ABC是直角三角形,阴影部分的面积=S半圆ABC-S△ABC.‎ 解:(1)证明:连接OB,∵∠ACB=30°,‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=60°,‎ 又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=60°.‎ ‎∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,‎ 在Rt△EDC中,∵CB=BD,‎ ‎∴EB=‎1‎‎2‎DC=CB,∴∠BEC=∠ACB=30°.‎ ‎∵∠OAB是△AEB的外角,‎ ‎∴∠OAB=∠BEC+∠ABE,‎ ‎∴∠ABE=∠OAB-∠BEC=30°,‎ ‎∴∠OBA+∠ABE=90°,即OB⊥BE,‎ ‎∴BE是☉O的切线.‎ ‎(2)∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°.‎ 在Rt△ABC中,BC=BE=3,tan∠C=ABBC,‎ ‎∴AB=BC·tan∠C=3×‎3‎‎3‎=‎3‎,AC=BC‎2‎+AB‎2‎=‎12‎=2‎3‎,‎ ‎∴阴影部分的面积=S半圆ABC-S△ABC=‎1‎‎2‎π×AC‎2‎2-‎1‎‎2‎×AB×BC=‎3‎‎2‎π-‎3‎‎2‎‎3‎=‎3‎‎2‎(π-‎3‎).‎ ‎8.D　[解析] 由勾股定理,得AB=AC‎2‎+BC‎2‎=5.由旋转的性质可知△ABC≌△ADE,且∠DAB=30°.∴S阴影=S△ABC+S扇形ADB-S△ADE=S扇形ADB=‎30π·‎‎5‎‎2‎‎360‎=‎25‎‎12‎π.故选D.‎ ‎9.解:(1)证明:作OC⊥AB于点C.‎ ‎∵lMN=‎90πr‎180‎=‎6‎‎5‎π,‎ ‎∴r=‎12‎‎5‎.‎ 对于直线y=-‎4‎‎3‎x+4,‎ 当x=0时,y=4,则OB=4.‎ 当y=0时,x=3,则OA=3.‎ 在Rt△AOB中,AB=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5.‎ ‎∵S△AOB=‎1‎‎2‎×OC×5=‎1‎‎2‎×3×4,∴OC=‎12‎‎5‎,‎ ‎∴OC=r,∴直线AB与☉O相切.‎ ‎(2)∵S△AOB=‎1‎‎2‎×3×4=6,‎ S扇形MON=‎90‎‎360‎·π·‎12‎‎5‎2=‎36‎‎25‎π,‎ ‎∴S阴影=6-‎36‎‎25‎π.‎ ‎10.解:(1)证明:作OH⊥AC于H,如图.‎ ‎∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC.‎ ‎∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,‎ ‎∴AC是☉O的切线.‎ ‎(2)∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=6,‎ 而OE=3,∠AEO=90°,‎ ‎∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,‎ ‎∴AE=‎3‎OE=3‎3‎.‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=‎1‎‎2‎×3×3‎3‎-‎60×π×‎‎3‎‎2‎‎360‎=‎9‎3‎-3π‎2‎.‎ ‎(3)‎3‎.提示:作点F关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图.‎ ‎∵PF=PF',‎ ‎∴PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小.‎ ‎∵OF'=OF=OE,‎ ‎∴∠F'=∠OEF',‎ 而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,‎ ‎∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',‎ ‎∴EF'=EA=3‎3‎,即PE+PF的最小值为3‎3‎.‎ 在Rt△OPF'中,OP=‎3‎‎3‎OF'=‎3‎.‎ 在Rt△ABO中,OB=‎3‎‎3‎OA=‎3‎‎3‎×6=2‎3‎.‎ ‎∴BP=2‎3‎-‎3‎=‎3‎,即当PE+PF取最小值时,BP的长为‎3‎.‎