2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题。
参考公式：
·如果事件、互斥，那么.
·如果事件、相互独立，那么.
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求，再求。
【详解】因为，
所以.
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值。
由，得，
所以。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B。
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】，
结束循环，故输出。
故选B。
【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴。
故选D。
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。
6.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】，
，
，故，
所以。
故选A。
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。
7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C。
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。
8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以。当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6小题.
9.是虚数单位，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】。
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
10.是展开式中的常数项为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆柱的高为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得。
【详解】圆化为普通方程为，
圆心坐标为，圆的半径为，
由直线与圆相切，则有，解得。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。
13.设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，
所以。
所以
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】
(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
17.如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意｡
所以，线段的长为.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心
率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为
.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；
(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；
(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.
【详解】(Ⅰ)由已知，有.
当时，有，得，则单调递减;
当时，有，得，则单调递增.
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：，
从而.当时，，故
.
因此，在区间上单调递减，进而.
所以，当时，.
(Ⅲ)依题意，，即.
记，则.
且.
由及(Ⅰ)得.
由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，
因此.
又由(Ⅱ)知，故：
.
所以.
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
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