第二十六章 反比例函数.
一、选择题
1.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP＝5，那么该函数的表达式为( )
A．y＝
B．y＝－
C．y＝
D．y＝－
2.若反比例函数图象经过二次函数y＝x2－4x＋7的顶点，则这个反比例函数的解析式为( )
A．y＝
B．y＝－
C．y＝
D．y＝－
3.一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2＝(k1·k2≠0)的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A． －2＜x＜0或x＞1
B． －2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1
D．x＜－2或0＜x＜1
4.某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是( )
A．y＝(x＞0)
B．y＝(x≥0)
C．y＝300x(x≥0)
D．y＝300x(x＞0)
5.若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象交于(1，－2)，则另一个交点坐标为( )
A． (2,1)
B． (－1,2)
C． (－2，－1)
D． (－2,1)
6.下列选项中，能写成反比例关系的是( )
A． 人的体重和身高
B． 正三角形的边长和面积
C． 速度一定，路程和时间的关系
D． 销售总价不变，销售单价与销售数量的关系
7.如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为(2,1)，则点B的坐标是( )
A． (1,2)
B． (－2,1)
C． (－1，－2)
D． (－2，－1)
8.反比例函数y＝(k＜0)的大致图象是( )
A．
B．
C．
D．
9.如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上．则反比例函数的解析式是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝－
D．y＝－
10.反比例函数y＝－与正比例函数y＝kx的一个交点为(－1,2)，则关于x的方程－＝kx的解为( )
A．x1＝－1，x2＝1
B．x1＝－1，x2＝2
C．x1＝－2，x2＝1
D．x1＝－1，x2＝－2
二、填空题
11.矩形的面积为20，则长y与宽x的函数关系式为________．
12.如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x＋1的图象交于点A(a，－1)、B(1，b)，则不等式≥x＋1的解集为________________________．
13.已知函数y＝(k－3)为反比例函数，则k＝__________.
14.反比例函数y＝(a－3)xa＋1的函数值为4时，自变量x的值是_____________．
15.如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为________．
16.在匀速直线运动中，当路程s一定时，用时间t来表示速度v的式子是______，这时v是t的________函数．
17.二氧化碳的密度ρ(kg/m3)关于其体积V(m3)的函数关系式如图所示，那么函数关系式是__________．
18.我校滨湖校区计划劈出一块面积为100 m2的长方形土地做花圃，请写出这个花圃的长y(m)与宽x(m)的函数关系式_____________________．
19.已知某双曲线过点，则这个双曲线的解析式为____________．
20.在四边形的三个顶点A(2，－1)，B(4，－5)，C(－3，－2)，可能在反比例y＝(k＞0)的图象上的点是________．
三、解答题
21.已知，如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，∠AOB＝30°，顶点B在x轴上，求此△OAB顶点A的坐标和△OAB面积．
22.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表．
23.画出反比例函数y＝的图象，并指出这个函数位于哪些象限，在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？
24.一个圆锥的体积是100 cm3，求底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围．
25.已知一个长方体的体积是100 m3，它的长是ym，宽是5 m，高为xm，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围．
26.在同一直角坐标系上画出函数y＝x＋2，y＝－的图象．
27.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4,2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6，
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的解析式．
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
28.学校食堂用1 200元购买大米，写出购买的大米质量y(kg)与单价x(元)之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
答案解析
1.【答案】A
【解析】在Rt△OPD中，过P作PD⊥x轴于D，则PD＝3，
∴OD＝＝4，
∴P(4,3)，
∴代入反比例函数y＝，得3＝，
解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故选A.
2.【答案】A
【解析】∵y＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，
∴抛物线的顶点为(2,3)，
设反比例函数的解析式为y＝，
把(2,3)代入，得k＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
故选A.
3.【答案】D
【解析】如题图所示：
若y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或0＜x＜1.
故选D.
4.【答案】A
【解析】这些煤能烧的天数＝煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．
∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，
∴这些煤能烧的天数为y＝(x＞0)，
故选A.
5.【答案】B
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是(1，－2)，
∴另一个交点的坐标是(－1,2)．
故选B.
6.【答案】D
【解析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例关系的定义判断变量间是否为反比例函数关系．
A．人的体重和身高，不是反比例函数关系；
B．正三角形面积S，边长为a，则S＝a2，不是反比例关系；
C．路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例；
D．销售总价不变，销售单价与销售数量成反比例关系．
故选D.
7.【答案】D
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为(2,1)，
∴B的坐标为(－2，－1)．
故选D.
8.【答案】A
【解析】∵反比例函数y＝中的k＜0，
∴该函数图象经过第二、四象限．
故选A.
9.【答案】A
【解析】根据题意得正方形OABC的面积＝|k|＝4，
∴AB＝BC＝2，
∴点B的坐标为(－2，－2)
把(－2，－2)代入y＝，
可得k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝，
故选A.
10.【答案】A
【解析】把(－1,2)代入y＝kx，得2＝－k，
解得k＝－2，
即正比例函数的解析式是y＝－2x，
解方程组得
即两函数的交点坐标是(1，－2)，(－1,2)，
∴关于x的方程－＝kx的解是x1＝－1，x2＝1，
故选A.
11.【答案】y＝
【解析】由题意，得xy＝20，y＝.
12.【答案】{x|x≤－2或0＜x≤1}
【解析】将A(a，－1)代入一次函数y＝x＋1，得
－1＝a＋1，即a＝－2，
∴A(－2，－1)，
当≥x＋1时，反比例函数值大于或等于一次函数值，
根据图象可得，当x≤－2或0＜x≤1时，双曲线在直线的上方，
∴不等式≥x＋1的解集为{x|x≤－2或0＜x≤1}.
13.【答案】－3
【解析】∵函数y＝(k－3)为反比例函数，
∴8－k2＝－1且k－3≠0.
解得k＝－3.
故答案是－3.
14.【答案】－
【解析】根据反比例函数的定义先求出a的值，再求出自变量x的值．
∵y＝(a－3)xa＋1是反比例函数，
∴a＋1＝－1，
解得a＝－2，
当a＝－2时，a－3＝－2－3＝－5≠0，
∴反比例函数解析式为y＝－.
故答案为y＝－.从而当y＝4时，当y＝4时，x＝－.
15.【答案】4
【解析】设D(x，y)，
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴xy＝2，
∵D为AB的中点，
∴B(x,2y)，
∴OA＝x，OC＝2y，
∴S矩形OABC＝OA·OC＝x·2y＝2xy＝2×2＝4.
16.【答案】v＝ 反比例
【解析】根据等量关系“路程＝速度×时间”写出函数表达式，然后再根据函数的定义判断它们的关系．
根据题意，v＝(s一定)，
所以速度v与时间t之间的函数关系是反比例函数．
故答案为v＝，反比例．
17.【答案】ρ＝
【解析】由题意，得ρ与V成反比例函数的关系，设ρ＝，
根据图象信息，可得：当ρ＝0.5时，V＝19.8，
∴k＝ρV＝19.8×0.5＝9.9，
即可得ρ＝.
18.【答案】y＝
【解析】根据等量关系“矩形一边长＝面积÷另一边长”即可列出关系式．
由题意，得y关于x的函数解析式是y＝.
19.【答案】y＝－
【解析】设双曲线的解析式为y＝，
∵双曲线过点，
∴k＝3×＝－1，
∴双曲线的解析式为y＝－.
故答案为y＝－.
20.【答案】C
【解析】∵反比例y＝(k＞0)，
∴xy＞0，
∴C(－3，－2)可能在反比例y＝(k＞0)的图象上．
21.【答案】解 作AC⊥OB于C，
∵∠AOB＝30°，
∴设OC＝x，则AC＝x，
∴A，
∵顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，
∴x·x＝4，
∴x＝2，
∴A，
∴OC＝2，AC＝2，
∵在Rt△AOB中，AC2＝OC·BC，
∴BC＝，
∴S△AOB＝××2＝.
【解析】作AC⊥OB于C，设OC＝x，根据题意得AC＝x，则A，根据k＝x·x＝4，进一步求得A的坐标，根据射影定理求得BC，最后根据三角形面积求得即可．
22.【答案】解 (1)设反比例函数的表达式为y＝，把x＝－1，y＝2代入，得k＝－2，所以反比例函数表达式为y＝－.
(2)将y＝代入，得x＝－3；
将x＝－2代入，得y＝1；
将x＝－代入，得y＝4；
将x＝代入，得y＝－4，
将x＝1代入，得y＝－2；
将y＝－1代入，得x＝2，
将x＝3代入，得y＝－.
【解析】(1)设反比例函数的表达式为y＝，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可；
(2)将x或y的值代入函数解析式求得对应的y或x的值即可．
23.【答案】解 (1)根据反比例函数y＝知，
当x＝±1时，y＝±4.
当x＝±2时，y＝±2.
当x＝±4时，y＝±1.
即该双曲线经过(±1，±4)，(±2，±2)，(±4，±1)，
如图所示：
由的图象知，该函数的大致图象位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小．
【解析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表－－－描点－－－连线．根据所画函数图象可以直接回答问题．
24.【答案】解 ∵一个圆锥的体积是100 cm3，底面积为S(cm2)，高为h(cm)，
∴Sh＝100，
∴S＝，
∵h表示圆锥的高，
∴h＞0.
【解析】圆锥的体积＝×底面积×高，把相关数值代入整理可求出底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式，进而得到自变量的取值范围．
25.【答案】解 因为长方体的长是ym，宽是5 m，高为xm，
由题意知，100＝5xy，即y＝.
由于长方体的高为非负数，故自变量的取值范围是0＜x＜4.
【解析】根据等量关系“长方体的体积＝长×宽×高”，再把已知中的数据代入得出y与x之间的函数关系式即可．
26.【答案】解 y＝x＋2过点(0,2)，(－2,0)，
y＝－在第二象限内过点(－1,2)(－2,1)
，，
图象如图：
【解析】画一此函数的图象只要描两点即可，而反比例函数的图象关于原点对称，只要用列表、描点、连线画出画出第二象限内的部分，另一个分支即可画出．
27.【答案】解 (1)把点A(4,2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵OB＝6，
∴B(0，－6)，
把点A(4,2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得
解得
∴一次函数解析式为y＝2x－6；
(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，
即C(3,0)，
∴CO＝3，
设P，
由S△POC＝9，可得×3×＝9，
解得a＝，
∴P．
【解析】(1)把点A(4,2)代入反比例函数y＝，可得反比例函数解析式，把点A(4,2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得一次函数解析式；
(2)根据C(3,0)，可得CO＝3，设P，根据S△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，即可得到点P的坐标．
28.【答案】解 ∵由题意，得xy＝1 200，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数．
【解析】根据题意列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可．
微信/支付宝扫码支付