四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学（文）试题Word版含答案.doc

四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设全集是实数集R，M={x|x＞1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（　　）‎ A. B. ，或 C. D. ，或 2. 复数z=1+2i3（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A. B. C. D. 5‎ 3. 设命题，则￢p为（　　）‎ A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　） ‎ A. 64 B. 32 C. 16 D. 5 ‎ 5. 已知实数x，y满足则z=x+2y的最小值为（　　）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 6. 已知函数y=sin3x，则下列说法正确的是（　　）‎ A. 函数图象关于y轴对称 B. 函数图象关于原点对称 C. 函数在上是减函数 D. 函数在上是增函数 7. 已知函数f（x）满足f（0）=2，且对任意x∈R都满足f（x+3）=-f（x），则f（2019）的值为（　　）‎ A. 2019 B. 2 C. 0 D. 1. 一个四棱柱的底面是正方形，且侧棱与底面垂直，其正（主）视图如图所示，则其表面积等于（　　）‎ A. 16 B. 8 C. D. 2. 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b=2，B=60°，△ABC的面积为，则a+c=（　　）‎ A. 4 B. C. 2 D. 3. 如图，已知AB是圆心为C的圆的一条弦，且，则=（　　） ‎ A. 3 B. 9 C. D. ‎ 4. 如图，矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6，O为坐标原点，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，T在线段OF，CF上，OR=kOF，CT=kCF，直线ER与直线GT相交于点M，则点M与椭圆C1：+=1的位置关系是（　　） ‎ A. 点M在椭圆内 B. 点M在椭圆上 C. 点M在椭圆外 D. 不确定 5. 若a∈R，且a＞1，函数，则不等式f（x2-2x）＜1的解集是（　　）‎ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 若函数f（x）=x3-2x+3，则曲线l在点x=1处的切线的斜率为______．‎ 1. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（1，），在角α的终边上，则=______．‎ 2. 已知直线x+ay+3=0与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等边三角形，则实数a的值为______．‎ 3. 如图所示，球O半径为R，圆柱O1O2内接于球O，当圆柱体积最大值时，圆柱的体积V=π，则R=______． ‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 4. 已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2an-1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=log2an+1，求数列的前n项和Tn． ‎ 5. 某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为．商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：‎ 时间间隔（月）‎ ‎[3，6]‎ ‎（6，9]‎ ‎（9，12]‎ ‎（12，15]‎ ‎（15，18]‎ ‎（18，21]‎ ‎（21，24]‎ 男性 x ‎8‎ ‎9‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ 女性 y ‎2‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎（1）计算表格中x、y的值； （2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率； （3）请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．‎ 频繁更换手机 未频繁更换手机 合计 男性顾客 女性顾客 合计 附表及公式：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ 1. 在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，∠FAD=90°，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，AF=AB=2，BC=4，EF=1． （1）求证：CD⊥DE； （2）求五面体ABCDEF的体积． ‎ ‎ ‎ 2. 已知点M（1，-2）在抛物线E：y2=2px（p＞0）上． （1）求抛物线E的方程； （2）直线l1，l2都过点（2，0），l1，l2的斜率之积为-1，且l1，l2分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是AC的中点，N是BD的中点，求证：直线MN恒过定点． ‎ 1. 已知函数f（x）=lnx． （1）求函数y=f（x）-x的单调区间； （2）求证：函数g（x）=ex-e2f（x）的图象在x轴上方． ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）． （1）写出C的普通方程，求C的极坐标方程； （2）若过原点的直线l与C相交于A，B两点，AB中点D的极坐标为，求D的直角坐标． ‎ 3. 设函数f（x）=x+|2x-4|+1，． （1）解不等式f（x）≤4； （2）设f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A⊆B，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解：∵M={x|x＞1}，N={x|x＜2}； ∴M∩N={x|1＜x＜2}． 故选：C． 进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，以及交集的运算．‎ ‎2.【答案】C 【解析】‎ 解：复数z=1+2i3=1-2i， 则|z|==． 故选：C． 化简复数z，根据模长的定义计算|z|的值． 本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎3.【答案】A 【解析】‎ 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即￢p：∃x0∈[0，），sinx0≥cosx0， 故选：A． 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ 解：n=2，A=2，n≥5否， n=3，A=4，n≥5否， n=4，A=8，n≥5否， n=5，A=16，n≥5是， 输出A=16， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．‎ ‎5.【答案】D 【解析】‎ 解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图： ‎ 由z=x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z， 由图象可知当直线y=-x+z经过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z最小． 即z=1+2×0=1， 故选：D． 求出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，件即可求出z的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎6.【答案】B 【解析】‎ 解：函数为奇函数，图象关于原点对称，则B正确，A错误， 当-＜x＜时，-＜3x＜π，此时函数y=sin3x，不是单调函数，则C，D错误， 故选：B． 根据三角函数的奇偶性和单调性进行判断即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解：∵f（x+3）=-f（x）， ∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x）， ∴f（x）的周期为6， ∴f（2019）=f（3）， 又f（3）=-f（0）=-2， ∴f（2019）=-2． 故选：D． 先判断f（x）的周期，得出f（2019）=f（3），再根据条件计算f（3）即可． 本题考查了函数周期的判断与应用，属于中档题．‎ ‎8.【答案】D 【解析】‎ 解：根据几何体的三视图， 该几何体的为底面边长为，高为1的正四棱柱． 故：S==4+4． 故选：D． 首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解：△ABC中，b=2，B=60°， 所以△ABC的面积为S=acsinB=ac•=， 解得ac=4； ‎ 又b2=a2+c2-2accosB， 即4=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-12， 所以（a+c）2=16， 解得a+c=4． 故选：A． 利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出a+c的值． 本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用问题，也考查了特殊角的三角函数值应用问题，是基础题．‎ ‎10.【答案】A 【解析】‎ 解：过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点． Rt△ACD中，AD=AB，=， ====． 所以=3． 故选：A． 过点C作CD⊥AB于D，可得AD=AB，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出=，再由向量数量积的公式加以计算，结合，求解即可． 本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解：∵OR=kOF，CT=kCF，∴R（4k，0），T（4，3-3k） 直线GT的方程为y=-x+3   ① 又E（0，-3）则直线ER的方程为y=x-3    ② 由①②消去k，得到直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程：+=1． ∴点M在椭圆C1：+=1上． 故选：B． OR=kOF，CT=kCF，可得R（4k，0），T（4，3-3k），可得直线GT、ER的方程，联立解得直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程，即可判断出结论． 本题考查了椭圆的标准方程、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.【答案】B 【解析】‎ 解：由＞0，解得-1＜x＜1． 可得函数f（x）的定义域为：（-1，1）． y==2-在（-1，1）上单调递增． y==-1在（-1，1）上单调递增，a＞1， ∴y=在（-1，1）上单调递增． ∴f（x）在（-1，1）上单调递增． 又f（0）=1． ∴不等式f（x2-2x）＜1即不等式f（x2-2x）＜f（0）， ∴-1＜x2-2x＜0， 解得0＜x＜2，且x≠1． ∴不等式f（x2-2x）＜1的解集为（0，1）∪（1，2）． 故选：B． 由＞0，解得-1＜x＜1．可得函数f（x）的定义域为：（-1，1）．分别判定函数y=，y=，y=在（-1，1）上单调性质，可得f（x）在（-1，1）上单调性，利用单调性即可解出不等式f（x2-2x）＜1即不等式f（x2-2x）＜f（0）的解集． 本题考查了函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13.【答案】1 【解析】‎ 解：函数f（x）=x3-2x+3，导函数f′（x）=3x2-2， 则曲线l在点x=1处的切线的斜率为：f′（1）=1． 故答案为：1． 求出函数的导数，代入x=1即可得到切线的斜率． 本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．‎ ‎14.【答案】 【解析】‎ 解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（1，），在角α的终边上， ‎ ‎∴tanα=，∴α=+2kπ，k∈Z， 则=sin（+2kπ）=sin=， 故答案为：． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的值，可得要求式子的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎15.【答案】 【解析】‎ 解：圆心（0，0）到直线x+ay+3=0的距离d=， 依题意cos30°=，即=，解得a=． 故答案为：±． 先求圆心到直线的距离d，再根据△AOB为等边三角形意cos30°=，可解得． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ 解：设小圆O1，O2的半径为r， 如图，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD， 由题意得到AB=CD=2r， 当BC=AD=2r时，圆柱的体积最大， 此时R2+R2=4r2，即R=， 圆柱体积V=， 解得r=， ∴R==． 故答案为：． 设小圆O1，O2的半径为r，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD，当BC=AD=2r时，圆柱的体积最大，由此能求出结果． 本题考查球半径的求法，考查球、内接圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎17.【答案】解：（1）∵，∴n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1． ‎ n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-（2an-1-1），可得an=2an-1． ∴数列{an}是以首项为1，公比为2的等比数列， ∴an=2n-1． （2）bn=log2an+1=n． ∴==． ∴Tn=+…+=1-=． 【解析】‎ ‎ （1）由，可得n=1时，a1=2a1-1，解得a1．n≥2时，an=Sn-Sn-1，可得an=2an-1．再利用等比数列的通项公式即可得出． （2）bn=log2an+1=n．可得==．利用“裂项求和”方法即可得出． 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.【答案】解：（1）由题知男性顾客共有人， 女性顾客共有人， 按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客人， 女性顾客人； 所以x=63-（8+9+18+12+8+4）=4， y=42-（2+5+13+11+7+2）=2；………………………………（3分） （2）记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中， 抽取2人”为事件A，设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f， 则事件A共包含（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f） （b，c）（b，d）（b，e）（b，f） （c，d）（c，e）（c，f） （d，e）（d，f）（e，f）15个可能结果， 其中2人均男性有（a，b）（a，c）（a，d） （b，c）（b，d）（c，d）6种可能结果，‎ ‎ 所以2人均男性的概率为P（A）==；………………………………（7分） （3）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人， 女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得2×2列联表：‎ 频繁更换手机 未频繁更换手机 合计 男性顾客 ‎21‎ ‎42‎ ‎63‎ 女性顾客 ‎9‎ ‎33‎ ‎42‎ 合计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ 所以；……………………（11分） 因为1.75＜2.706， 所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．……………………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）由题意利用分层抽样原理计算应该抽取的男性、女性顾客人数，从而求得x、y的值； （2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．‎ ‎19.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD，∠FAD=90°， ∴FA⊥平面ABCD， ∴FA⊥CD， ∵FA∩AD=A，FA、AD⊂面ADEF，∴CD⊥面ADEF， ∴CD⊥DE………………………………………………………（6分） （2）作EH⊥AD于点H，连接BH，∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD， ∴EH⊥平面ABCD， ∵∠FAD=90°， ∴FA∥EH， ∵EF∥AD， ∴四边形AHEF是矩形， ∵EF=1 ∴AH=1 ∵AB=2，BC=4， ‎ ‎===6………………………………………………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）说明AD⊥DC，推出FA⊥平面ABCD，得到FA⊥CD，即可证明CD⊥面ADEF，即可得到CD⊥DE． （2）作EH⊥AD于点H，连接BH，证明四边形AHEF是矩形，，求解即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20.【答案】（12分）解：（1）∵点M（1，-2）在抛物线E：y2=2px上， ∴（-2）2=2p， ∴解得p=2， ∴抛物线E的方程为：y2=4x………………………………………（4分） （2）由l1，l2分别与E相交于点A，C和点B，D，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零． ∴设l1：x=m1y+2，l2：x=m2y+2 由得：y2-4m1y-8=0……………………………………（7分） 设A（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=4m1∴yM=2m1，又，即 同理可得：………………………………………………………………………（9分） ∴， ∴ 即， ∵l1，l2的斜率之积为-1， ∴即m1m2=-1， ∴，‎ ‎ 即直线MN过定点（4，0）．………………………………………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）求出p即可求解抛物线方程． （2）设l1：x=m1y+2，l2：x=m2y+2，由得：y2-4m1y-8=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理求出M，同理可得：N，求出斜率，推出直线方程，利用直线系求解直线MN过定点（4，0）． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎21.【答案】解：（1）由题意得：……………………………………………………………（2分） 令y'=0则x=1……．………………………………………………………………………………（3分） 当0＜x＜1时，y'＞0，∴函数在（0，1）上单调递增；……………………………………………（4分） 当1＜x时，y'＜0∴函数在（1，+∞）上单调递减；………………………………………………（5分） （2）记函数g（x）=ex-e2lnx（x＞0）∴，易知g′（x）单调递增………………………………………………………（7分） 又g′（1）=e-e2＜0，，∴在（0，+∞）上存在一个x0∈（1，2）， 使得：， 即：，且lnx0=-x0+2………………………………………………………………（9分） 当x∈（0，x0），有g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x∈（x0，+∞），有g′（x）＞0，g（x）单调递增． ∴， ∴ex-e2lnx＞0， ∴函数g（x）=ex-e2f（x）的图象在x轴上方………………………………………………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． ‎ ‎（2）记函数g（x）=ex-e2lnx（x＞0）∴，易知g′（x）单调递增，又g′（1）=e-e2＜0，，说明在（0，+∞）上存在一个x0∈（1，2），使得：，然后利用单调性，推出函数的最值与0的关系，说明结果即可． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大．‎ ‎22.【答案】解：（1）C的普通方程 ∴……..………………..………………………..……………（3分） C的极坐标方程……………………………．……………（5分） （2）由已知得直线l的极坐标方程为，代入， 得ρ2-9ρ+17=0∴△=92-4×17＞0，……..……………..………（7分） ∵D是AB中点∴，∴………..…………..………（9分） ∴D的直角坐标为．……．……..………．………（10分） 【解析】‎ ‎ （1）利用sin2α+cos2α=1消去参数α可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的极坐标方程‘ （2）联立直线l和曲线C的极坐标方程，根据韦达定理和中点公式可得D的极坐标，再化成直角坐标． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎23.【答案】解：（1） 由f（x）≤4得，或， 解得1≤x≤ ‎ ‎∴f（x）≤4的解集为……..………………..………………………………………（5分） （2），由分段函数的单调性得A=[3，+∞）， ，当x=-m时取等号， ∴B=时A⊆B∴ ∴m的取值范围[-2，-1]∪[1，2]………………..………………………………………（10分） 【解析】‎ ‎ （1）分2段去绝对值解不等式再相并可得； （2）利用分段函数的单调性得A，利用绝对值不等式的性质得B，再根据子集关系列不等式可解得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．‎