北京市西城区2019届高三二模数学（理）试题答案.pdf

高三数学（理科答案） 第 1 页（共 7 页） 北京市西城区高三模拟测试 数学（理科）参考答案及评分标准 2019.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．10 10． 2 2 14 yx ， 2yx 11． 2 4 12． 2 13．答案不唯一，如 4nan 14．① ③ 注：第 10 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 14 题漏选、多选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 π( ) cos(2 ) 2sin cos6f x x x x   π πcos2 cos sin 2 sin sin 266x x x   „„„„„„ 4 分 33sin 2 cos222xx π3sin(2 )6x. „„„„„„ 6 分 所以函数 ()fx的最小正周期 2π π2T . „„„„„„ 8 分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知 π( ) 3sin(2 )6f x x， 所以 π π 5π( ) 3sin[2( ) ] 3sin(2 )3 6 6g x x x     . „„„„„ 10 分 由 π 5π π2 π 22π2 6 2k x k   ≤ ≤ ， k Z， 得 2π ππ π36k x k   ≤ ≤ ， 所以 ()gx的单调增区间为 2π π[ π, π]36kk    ， . „„„„„„ 13 分 (注：单调区间写成开区间不扣分) 高三数学（理科答案） 第 2 页（共 7 页） 16．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）将从 A，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的 1 部手机记为甲和乙，记 事件“甲手机为 T 型号手机”为 1M ，记事件“乙手机为 T 型号手机”为 2M ， 依题意，有 1 12 2()6 12 3PM  ， 2 93()6 9 5PM  ，且事件 ， 相互独立. „„„„„„ 2 分 设“抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机”为事件 M ， 则 12 2 3 3( ) 1 ( ) 1 3 5 5P M P M M       . 即抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率为 3 5 . „„„„„„ 4 分 （Ⅱ）由表可知：W 型号手机销售量超过 T 型号的手机店共有 2 个， 故 X 的所有可能取值为：0，1，2. „„„„„„ 5 分 且 03 23 3 5 CC 1( 0) C 10PX    ， 12 23 3 5 CC 3( 1) C5PX    ， 21 23 3 5 CC 3( 2) C 10PX    . 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 10 1 5 3 10 3 „„„„„„ 8 分 故 5 6 10 325 3110 10)( XE . „„„„„„ 10 分 （Ⅲ） .92 ms  „„„„„„ 13 分 17．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）在图 1 中，由 2AE  ， 22AF  ， 45A  ，得 AE EF . 所以在图 2 中 1A E EF . „„„„„„ 1 分 因为平面 1A EF  平面 BCDEF ，平面 1A EF  平面 BCDEF EF ， 所以 1AE 平面 . „„„„„„ 3 分 又因为CD 平面 ， 所以 1A E CD . „„„„„„ 4 分 高三数学（理科答案） 第 3 页（共 7 页） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 1,,EF ED EA 两两垂直，故以 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如 图建立空间直角坐标系， „„„„„„ 5 分 则 (0,0,0)E ， (2,0,0)F ， (0,2,0)D ， (4,2,0)B ， (4,6,0)C ， 1(0,0,2)A ， (2,3,1)M . 所以 (4,0,0)DB   , (2,1,1)DM   . 设平面 MBD 的一个法向量为 ( , , )x y zm ， 由 0DB  m ， 0DM  m ，得 4 0, 2 0, x x y z      令 1y  ，得 (0,1, 1)m . „„„„„„ 7 分 易得平面 BCD的法向量 (0,0,1)n . 所以 2cos , | || | 2    mnmn mn . 由图可得二面角 M BD C为锐二面角， 所以二面角 的大小为 45 . „„„„„„ 9 分 （Ⅲ）当 N 为线段 1AD的中点（注：表述不唯一）时，平面 //NEF 平面 MBD . „„„ 10 分 证明如下： 由 为线段 的中点，得 (0,1,1)N . 所以 (0,1,1)EN   ，又因为 (2,0,0)EF   ， 设平面 NEF 的法向量为 ( , , )abcu ， 由 0EN  u ， 0EF  u ，得 0, 2 0, bc a    令 1c  ，得 (0, 1,1)u . „„„„„„ 12 分 又因为平面 的法向量为 ， 所以 mu，即 //mu， 所以平面 平面 . „„„„„„ 14 分 M A1 B C D E F z x y N 高三数学（理科答案） 第 4 页（共 7 页） 18．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）求导，得 ( ) 2 lnf x x  ， „„„„„„ 1 分 所以曲线 ()y f x 在点 00( , ( ))x f x 处的切线的斜率为 00( ) 2 lnf x x  . „„„ 3 分 由题意，得 02 ln 1x， 解得 1 00ex  . „„„„„„ 5 分 （Ⅱ）“ 1( ) ( )2f x k x ≥ 对 (0, )x  恒成立”等价于“当 0x  时， 1( ) ( ) 02f x k x≥ 恒成立”. 令 11( ) ( ) ( ) ln (1 )22      g x f x k x x x k x k ， „„„„„„ 7 分 求导，得 ( ) ln 2g x x k    ， 由 ( ) 0gx  ，得 2ekx  . „„„„„„ 8 分 随着 x 变化， ()gx 与 ()gx的变化情况如下表所示： x 2(0, e )k 2ek 2(e , )k   0  ()gx ↘ 极小值 ↗ 所以 ()gx在 2(0, e )k 上单调递减，在 2(e , )k  上单调递增. 所以函数 的最小值 221(e ) e 02 kkgk≥ . „„„„„„ 10 分 令 21( ) e2 kh k k ，则 221(2) 2 e 02h     ， 当 2k  时， 因为 的最小值 2(e ) (1) 0kgg ， 所以 对于 0x  恒成立，符合题意； „„„„„„ 11 分 当 2k  时， 由 2 2 211( ) e e 022 khk       ，得函数 21( ) e2 kh k k 在 (2, ) 单调递减， 所以 ( ) (2) 0h k h， 故此时 的最小值 2(e ) ( ) 0kg h k ，不符合题意. 所以整数 k 的最大值是 2 ． „„„„„„ 13 分 高三数学（理科答案） 第 5 页（共 7 页） 19．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意，可知 12 p  ，所以 2p  . „„„„„„ 1 分 所以抛物线方程为 2 4yx ，焦点为 (1,0)F . 不妨设 00( , )A x y ，则 0| | 1 5AF x   ，解得 0 4x  . 代入抛物线方程，得 0 4y  ，则点 A 的坐标为(4, 4) 或(4, 4) ， 所以| | 4 2OA  . „„„„„„ 3 分 故以OA 为直径的圆的方程为 22( 2) ( 2) 8xy    或 22( 2) ( 2) 8xy    . „„ 5 分 （Ⅱ）结论：四边形OABC 不可能为等腰梯形. „„„„„„ 6 分 理由如下： 假设四边形 为等腰梯形， 由题意，可知直线 OA 的斜率 k 存在且不为零， 故设直线 的方程为 y kx ，直线 BC 的方程为 ( 1)y k x， 11( , )B x y ， 22( , )C x y ， „„„„„„ 7 分 联立 2 , 4, y kx yx    消去 y，得 22 40k x x， 解得 0x  或 2 4x k ， 所以点 2 44( , )A kk ，线段OA 的中点 M 的坐标为 2 22( , )kk. „„„„„„ 9 分 联立 2 ( 1) 4 y k x yx    ， ， 消去 y，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    . 因为直线 过焦点 ，斜率存在且不为 0，所以 0 恒成立， 所以 2 12 2 24kxx k  ， 12 1xx  . „„„„„„ 11 分 设线段 BC 的中点为 33( , )N x y ， 则 2 12 3 2 2 2 xx kx k  ， 33 2( 1)y k x k   ，故 2 2 22( , )kN kk  . „„„„„„12 分 因为直线 MN 的斜率 2 22 22 022MN kkk k kk    ，OA 的斜率为 k ， 高三数学（理科答案） 第 6 页（共 7 页） 所以 1MNkk   ，故直线 MN 与直线OA 不垂直. 这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾， 所以四边形OABC 不可能为等腰梯形. „„„„„„ 14 分 20．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 100 (1,1,0)X  . „„„„„„ 3 分 （Ⅱ）假设 ,,i i ia b c 三个数中有 2 个为 0，或三个数均为 0. „„„„„„ 4 分 （1）当 三个数中有 2 个为 0 时，显然i≥1. 不妨设 0 ( 1)iia b i ≥ ， 0ic  ， 则 11| | 0i i ia a b   ， 11| | 0i i ib b c   ，即 1 1 1i i ia b c  . 这与 11| | 0i i ic c a   矛盾； „„„„„„ 6 分 （2）当 三个数均为 0 时，显然i≥1. 则 ， ， 11| | 0i i ic c a   . 所以 1 1 1i i ia b c w   == （定值）. 由 0 0 0,,a b c 三数互不相等， 得 2i≥ ，且 1 2 2||i i ia a b w     ， 1 2 2||i i ib b c w     ， 1 2 2||i i ic c a w     . 不妨设 2 2 2i i ia b c  ≤ ≤ ，则有 22iib a w， 22iic b w， 22iic a w， 由 2 2 2 2 2 2( ) ( )i i i i i ib a c b c a          ，得 2ww ， 所以 0w  ，即 1 1 1 0i i ia b c   == . 以此类推，可得 2 2 2 0i i ia b c   == ， 3 3 3 0i i ia b c   == ，， 1 1 1 0a b c == ， 0 0 0 0a b c == ， 这与 三个数互不相等矛盾， 所以对于任意的iN， 三个数中至多有一个数为 0. „„„„„„ 8 分 （Ⅲ）设 ,,i i ia b c 三个数中最大的为 im ,记作 max{ , , }i i i im a b c . 高三数学（理科答案） 第 7 页（共 7 页） 因为 1 ||i i ia a b ， 1 ||i i ib b c ， 1 ||i i ic c a ，且 ,,i i ia b c N, 所以 1iimm ≤ ,其中 =0 1 2 3i ，，，， , 由题意，可知 im N ,其中 所以 1 2 3, , ,m m m 不可能单调递减，即必存在某个 *k N ，使得 1kkmm  . „„„„„„ 10 分 根据 1kX  的定义，可得向量 ( , , )k k k kX a b c 中的三个数 ,,k k ka b c 中必有 0. 由（Ⅱ）知 中有且仅有一个为 0，不妨设 0ka  ， （1）若 kkbc ，由题意，不妨设0 kkbc， 则 1 | |=k k k ka a b b  ， 1 | |=k k k k kb b c c b    ， 1 | |=k k k kc c a c  ， 1k k kmmc  所以 2 1 1 1| | max{ , }k k k k k k ka a b b c b m        ，同理 21kkbm ， 21kkcm ， 所以 21kkmm . 又因为 im N ， 所以此种情形不可能一直出现（至多出现 1km  次）. 所以一定能找到某个 *jN ，使得 jjbc . „„„„„„ 12 分 （2）若 kkbc ，由题意， 得 (0, , )k k kX b b ， 1 ( ,0, )k k kX b b  ， 2 ( , ,0)k k kX b b  ， 3 (0, , )k k kX b b  ， 所以存在正整数tk ，使得 3ttXX . 综上，存在正整数t ，使得 . „„„„„„ 13 分