海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（文科） 2019.5
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合，，则
(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]
(2)复数的实部是虚部的2倍，则的值为
(A) (B) (C) -2 (D)2
(3)已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(4)若关于的方程在上有解，则的取值范围是
(A)(0， +∞) (B)[1， +∞)
(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)
(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，则的值为
(A ) (B) (C) (D)
(7)已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)记表示的平面区域为，点为原点，点为直线上的一个动点．若区域上存在点，使得，则的最大值为
(A)1 (B) (C) (D)2
第二部分（非选择题共1 10分）
二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．
(9)已知直线与平行，则 ，与之间的距离
为
( 10)已知函数是偶函数，则
( 11) ，则这三个数中最大的是
( 12)已知数列满足，且，则_____．
(13)在矩形中，，点为的中点，点在线段上．若，且点在直线上，则
(14)已知集合.给定一个函数，定义集合 若对任意的成立，则称该函数具有性质“ ”．
(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；
(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
( 15)（本小题满分13分）
在中，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若是锐角三角形，求的面积．
(16)（本小题满分13分）
已知数列为等比数列，且．
(I)求公比和的值；
(Ⅱ)若的前项和为 ，求证：成等差数列．
(17)（本小题满分14分）
如图1所示，在等腰梯形，∥，，垂足
为，，.将沿折起到的位置，
使平面平面，如图2所示，点为棱的中点。
(Ⅱ) 求证：∥平面；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求三棱锥 的体积．
(18)（本小题满分13分）
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐
连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)
规定每日底薪50元，快递业务每完成一单
提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，
快递业务的前44单没有提成，从第45单开
始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记
录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100
天的数据，将样本数据分为[ 25，35），[35，
45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
(I)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
(Ⅱ)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；
(Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方 案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
(19)（本小题满分14分）
已知函数 ．
(I)求曲线在点 处的切线的倾斜角；
(Ⅱ)若函数的极大值大于1，求口的取值范围．
( 20) 已知椭圆的左顶点 与上顶点的距离为．
(Ⅱ)求椭圆的方程和焦点的坐标；
(Ⅱ)点在椭圆上，线段的垂直平分线分别与线段、轴、轴相交于不同的三点.
(ⅰ)求证：点关于点对称；
(ⅱ)若为直角三角形，求点的横坐标．
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数 学 （文科） 2019.05
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）B （4）C
（5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（ 9 ） （10）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一），① ②
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在中，因为，，，
所以由正弦定理
得
（Ⅱ）方法1：
因为，，所以，所以，
即一定为锐角, 所以为中的最大角
所以为锐角三角形当且仅当为锐角
因为，所以
因为
所以
方法2：
由余弦定理
得
即
解得或
当时，，与为锐角三角形矛盾，舍去
当时，，所以为锐角，
因为，所以为最大角，所以为锐角三角形
所以．
所以的面积为
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）方法1：
由题设得
因为为等比数列，
所以
所以
又因为
所以
所以
经检验，此时成立，且为等比数列
所以
方法2：
因为
把上面个等式叠加，得到
所以
而也符合上式
所以
因为数列是等比数列，设公比为
所以对于，有恒成立
所以
即
所以，
而显然不成立，所以
所以
所以
方法3：
由题设得： ，其中
因为为等比数列，
所以对于恒成立
所以
所以
又因为
所以
所以
方法4：
因为为等比数列，
所以，对于，有恒成立
由 ，
得，
所以
所以
所以，
（Ⅱ）因为
所以
因为
所以
所以成等差数列
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）方法1：
在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，
因为，所以
又因为 ，，
所以四边形为正方形，
且，为中点
在图2中，连结
因为点是的中点，
所以
又因为，，
平面， 平面，
所以平面平面
又因为 ，所以平面
方法2：
在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为
因为，所以
又因为 ，，
所以四边形为正方形，为中点
在图2中，连结
因为点是的中点，
所以
又平面，平面
所以平面
又因为，平面，平面
所以平面
又因为
所以平面平面
又因为 ，所以平面
方法3：
在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，
因为，所以
又因为 ，，
所以四边形为正方形，，得
所以
在图2中设点为线段的中点，连结，
因为点是的中点，
所以
所以，所以四边形为平行四边形
所以
又因为平面，平面
所以平面
（Ⅱ） 因为平面平面，
平面平面,
平面，
所以平面
又因为平面
所以
又，满足 ，
所以
又
所以平面
（Ⅲ），
所以
线段为三棱锥底面的高
所以
18. （共13分）
解：（Ⅰ）设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”
依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：
因为
所以估计为.
（Ⅱ）设事件为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”
从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即
{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁} 其中至少有1名骑手选择方案（）的情况为
{甲，乙} ，{甲，丙},，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁}
所以
（Ⅲ）方法1：
快餐店人均日快递量的平均数是：
因此，方案（1）日工资约为
方案2日工资约为
故骑手应选择方案（1）
方法2：
设骑手每日完成快递业务量为 件
方案（1）的日工资，
方案（2）的日工资
当时，
依题意，可以知道，所以这种情况不予考虑
当时
令
则
即若骑手每日完成快递业务量在 件以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过 件的频率是 ，较低，
故建议骑手应选择方案（1）
方法3：
设骑手每日完成快递业务量为单，
方案（1）的日工资 ，
方案（2）的日工资
所以方案（1）日工资约为
方案（2）日工资约为
因为，所以建议骑手选择方案（1）.
19.（共14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以
所以，
所以切线的倾斜角为
（Ⅱ）因为
当时，令，得
当变化时，的变化情况如下表：
极小值
由上表函数只有极小值，没有极大值，不合题意，舍去
当时，令，得
当时，
当变化时，的变化情况如下表：
极小值
极大值
由上表函数的极大值，满足题意
当时，，
所以函数单调递增，没有极大值，舍去
当时，当变化时，的变化情况如下表：
极大值
极小值
由上表函数的极大值，
解得
当时，当变化时，的变化情况如下表：
极大值
极小值
由上表函数的极大值，不合题意
综上，的取值范围是
20. （共13分）
解：(Ⅰ) 依题意，有
所以
椭圆方程为
焦点坐标分别为
（Ⅱ）(i)方法1：
设，则
依题意，
所以
所以直线的斜率
因为，所以
所以直线的斜率
所以直线的方程为
令，得到
因为
所以 ， 所以
所以是的中点，所以点关于点对称
方法2：
设，直线的方程为
联立方程
消元得
所以
所以
所以
所以，
所以
因为，所以
所以直线的方程为
令，得到
所以
所以是的中点，所以点关于点对称
方法3：
设，直线的方程为
联立方程
消元得，
因为，所以
所以，
所以
因为，所以
所以直线的方程为
令，得到 ，所以
所以是的中点，所以点关于点对称
（ii）方法1：
因为为直角三角形， 且，所以为等腰直角三角形
所以
因为，
即
化简，得到，解得（舍）
即点的横坐标为
方法2：
因为为直角三角形， 且，所以，
所以
因为，，
所以，
所以
即
因为
化简，得到，解得（舍）
即点的横坐标为
方法3：
因为为直角三角形，且，所以
所以
因为，，
所以
化简得到
因为
化简，得到，解得（舍）
即点的横坐标为
方法4：
因为为直角三角形，所以
所以点都在以为直径的圆上，
因为，，
所以有
所以
因为
化简，得到，解得（舍）
即点的横坐标为
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