北京市海淀区2019届高三下学期期末练习（二模）数学（理）试题Word版含答案.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习 ‎ 数学（理科） 2019.5‎ ‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎(1)已知集合，，则 ‎ (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]‎ ‎(2)复数的实部是虚部的2倍，则的值为 ‎ (A) (B) (C) -2 (D)2‎ ‎(3，若直线： (为参数)，经过坐标原点，则直线的斜率是 ‎ (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2‎ ‎(4)在的展开式中，的系数是 ‎ (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40‎ ‎(5)把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为 ‎(A) ( B) (C) (D) ‎ ‎(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎(7)已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ (8)如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合）．则下面结论中错误的是 ‎ (A)存在点，使得平面∥平面 ‎ (B)存在点，使得平面 ‎(C) 分别是△在平面，平面上 的正投影图形的面积，对任意点，‎ ‎ (D)对任意点，△的面积都不等于 ‎ 第二部分（非选择题共1 10分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎(9)已知直线与平行，则 ，与之间的距离为 ‎ ( 10)已知函数是偶函数，则 ‎ ‎( 11)若数列的前项和，则满足的的最小值为 ‎(12)已知圆与曲线相交于两点，则线段的长度为 ‎ ‎(13)在矩形中，，点为的中点，点在线段上．若，且点在直线上，则 ‎ ‎ (14)已知集合.给定一个函数，定义集合 若对任意的成立，则称该函数具有性质“ ”．‎ ‎ (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；‎ ‎ (Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）‎ ‎ ‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎( 15)（本小题满分13分）‎ ‎ 在中，．‎ ‎ (Ⅰ)求的值；‎ ‎ (Ⅱ)若是钝角三角形，求边上的高．‎ ‎(16)（本小题满分13分）‎ ‎ 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐 连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)‎ 规定每日底薪50元，快递业务每完成一单 提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，‎ 快递业务的前44单没有提成，从第45单 开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 ‎100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），‎ ‎ [35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎ (Ⅱ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；‎ ‎ (Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为，选择方案(2)的概率 ‎ 为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 ‎ 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率；‎ ‎ (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）‎ ‎ ( 17)（本小题满分14分）‎ ‎ 如图1所示，在等腰梯形，∥，，垂足 为，，.将沿折起到的位置，‎ 使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点。‎ ‎ (Ⅱ)当点为棱中点时，求证：∥平面 t ‎ (Ⅱ)求证：平面;‎ ‎ (Ⅲ)是否存在点，使得二面角的余弦值为？‎ ‎ 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎(18)（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆的左顶点 与上顶点的距离为．‎ ‎ (Ⅱ)求椭圆的方程和焦点的坐标；‎ ‎ (Ⅱ)点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．‎ ‎(19)（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，其中．‎ ‎ (Ⅰ)求曲线在点 处切线的倾斜角；‎ ‎ (Ⅱ)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围．‎ ‎( 20)（本小题满分13分）‎ ‎ 对于给定的奇数 ，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.‎ ‎ 对于，若且同时成立，则称数对 为数表的一个“好位置”‎ ‎ (Ⅱ)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”；‎ ‎ (Ⅱ)当时，若对任意的 都有成立，求数表 ‎ 中的“好位置”个数的最小值；‎ ‎ (Ⅲ)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为．‎ 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 ‎ 数 学 （理科） 2019.05‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. B 2. D 3.D 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C ‎ 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14.（答案不唯一），① ②‎ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. ‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）在中，因为，，，‎ 所以由正弦定理 ‎ 得. ‎ ‎（Ⅱ）方法1：‎ 由余弦定理 ‎ 得 即，解得或 ‎ 因为，所以为中最大的角，‎ 当时，，与为钝角三角形矛盾，舍掉 当时，，为钝角三角形，‎ 所以 ‎ 设边上的高为，所以 ‎ 方法2： ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以为中最大的角 因为为钝角三角形，所以为钝角 ‎ 因为，所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设边上的高为，所以 ‎ ‎16.（共13分）‎ 解：(Ⅰ) 设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”‎ 依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：‎ 因为 所以估计为. ‎ ‎(Ⅱ) 设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” ‎ ‎ 设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案（1）”，‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 ‎ ‎（Ⅲ）方法1：‎ 设骑手每日完成快递业务量为件 ‎ 方案（1）的日工资，‎ 方案（2）的日工资 ‎ 所以随机变量的分布列为 所以 ‎ ‎ 同理随机变量的分布列为 ‎ ‎ 因为，所以建议骑手应选择方案（1） ‎ ‎ 方法2：‎ ‎ 快餐店人均日快递量的期望是：‎ ‎ ‎ 因此，方案（1）日工资约为 ‎ 方案2日工资约为 ‎ 故骑手应选择方案（1） ‎ ‎17.（共14分）‎ 解： (Ⅰ) 方法1： ‎ 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ 又因为 ，，‎ 所以四边形为正方形，，为中点 ‎ 在图2中，连结 ‎ 因为点是的中点， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 又因为，，平面，平面， ‎ ‎ 所以平面平面 ‎ ‎ 又因为 ，所以平面 ‎ 方法2：‎ 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为 ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 又因为 ，，‎ 所以四边形为正方形 ， 为中点 ‎ ‎ 在图2中，连结 ‎ 因为点是的中点，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 又平面，平面 ‎ 所以平面 ‎ ‎ 又因为，平面，平面 ‎ 所以平面 ‎ 又因为 ‎ 所以平面平面 ‎ ‎ 又因为 ，所以平面 ‎ 方法3：‎ 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ 又因为 ，，‎ 所以四边形为正方形，，得 ‎ 所以 ‎ 在图2中设点为线段的中点，连结，‎ ‎ 因为点是的中点，‎ ‎ 所以 ‎ 所以，所以四边形为平行四边形 ‎ 所以 ‎ 又因为平面，平面 所以平面 ‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 平面平面,‎ 平面，‎ 所以平面 ‎ 又因为平面 所以 ‎ 又，满足 ，‎ 所以 ‎ 又 ‎ 所以平面 ‎ ‎（Ⅲ）因为三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系,‎ ‎ 所以，，，. ‎ ‎ 假设存在点满足题意，‎ 设，则，‎ 所以 ‎ ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ 所以，即 ‎ ‎ 取，则， ‎ ‎ 由（Ⅱ），为平面的法向量， ‎ 令 ‎ 解得或（舍）‎ ‎ 所以存在点，使得二面角的余弦值为 ，且，‎ ‎ 得. ‎ ‎18.（共13分）‎ 解：(Ⅰ)依题意，有 ‎ 所以 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ 所以， ‎ 焦点坐标分别为 ‎ ‎(Ⅱ)方法1：‎ 设，则，且 ‎ 若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△不是等边三角形，不合题意，所以.‎ 设线段中点为，所以 ‎ 因为，所以 ‎ 因为直线的斜率 ‎ 所以直线的斜率 ‎ 又直线的方程为 ‎ 令，得到 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 因为为正三角形，‎ 所以，即 ‎ 化简，得到，解得（舍） ‎ 即点的横坐标为. ‎ 方法2：‎ 设，直线的方程为.‎ 当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△ 不是等边三角形，不合题意，所以.‎ 联立方程 消元得 ‎ 所以 所以 ‎ 设线段中点为，所以，‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 所以直线的方程为 令，得到 ‎ 因为为正三角形， 所以 ‎ 所以 ‎ 化简，得到，解得（舍） ‎ 所以， ‎ 即点的横坐标为. ‎ 方法3：‎ 设，‎ 当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△ 不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0.‎ 设直线的方程为 ‎ 联立方程 ‎ ‎ 消元得， ‎ ‎ 所以 ‎ 设线段中点为 所以,， ‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 所以直线的方程为 令，得到 ‎ 因为为正三角形， 所以 ‎ 所以 ‎ 化简，得到，解得（舍） ‎ 所以， ‎ 即点的横坐标为 ‎ ‎19．（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以曲线在点处切线的倾斜角为 ‎ ‎（Ⅱ）方法1：‎ 因为 令，得到 ‎ ‎ 当时，，，的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而，符合题意 ‎ ‎ 当时，，‎ ‎,没有极值，不符合题意 ‎ ‎ 当时，，，的变化情况如下表 极小值 极大值 ‎ ‎ ‎ 而，不符合题意 ‎ ‎ 当时，，，的变化情况如下表:‎ 极小值 极大值 ‎ 所以， 解得 ‎ ‎ 综上，的取值范围是 ‎ ‎ 方法2：‎ 因为函数的极小值小于，‎ 所以有解，即有解 ‎ 所以，所以有或 ‎ 因为 令，得到 ‎ 当时， ，，的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而，符合题意 ‎ ‎ 当时，，，的变化情况如下表:‎ 极小值 极大值 ‎ ‎ 而，符合题意 综上，的取值范围是 ‎20.（共13分）‎ 解：（Ⅰ）“好位置”有： ‎ ‎（Ⅱ）因为对于任意的，；‎ 所以当时，，‎ 当时，；‎ 因此若为“好位置”，‎ 则必有，且，即 ‎ 设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，‎ 则有列中含的个数不多于，‎ 所以，，‎ 因为为自然数，所以的最小值为 ‎ 因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过 所以，该数表好位置的个数不少于个 ‎ 而下面的数表显然符合题意 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎ ‎ 此数表的“好位置”的个数恰好为 ‎ 综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为 ‎ ‎（Ⅲ） 当为“好位置”时，且时，‎ 则有，所以，‎ ‎ 注意到为奇数，，所以有 ‎ 同理得到 ‎ ‎ 当为“好位置”，且时，‎ 则，则必有，‎ ‎ 注意到为奇数，，所以有 ‎ 同理得到 ‎ ‎ 因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，‎ 所以不妨设 ‎ ‎ ‎ 其中，‎ 则数表可以分成如下四个子表 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中是行列，是行列，是行列，是行列 ‎ 设，，，中的个数分别为 ‎ 则，，，中的个数分别为 ‎ 则数表中好位置的个数为个 ‎ 而 ， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 显然当取得最小值时，上式取得最小值，‎ ‎ 因为，所以 ‎ 当时，数表中至少含有个，‎ 而，所以至少为 此时 ‎ 当时，数表中至少含有个 而，所以至少为 此时 ‎ 下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎