中考复习宝典之：全等三角形之手拉手模型、倍长中线、截长补短法

1 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例 1.如图在直线 的同一侧作两个等边三角形 与 ，连结 与 ，证明 （1） (2) (3) 与 之间的夹角为 (4) (5) (6) 平分 (7) ABC ABD∆ BCE∆ AE CD DBCABE ∆≅∆ DCAE = AE DC °60 DFBAGB ∆≅∆ CFBEGB ∆≅∆ BH AHC∠ ACGF //2 变式精练 1：如图两个等边三角形 与 ，连结 与 ， 证明（1） （2） （3） 与 之间的夹角为 （4） 与 的交点设为 , 平分 变式精练 2：如图两个等边三角形 与 ，连结 与 ， 证明（1） (2） (3） 与 之间的夹角为 (4） 与 的交点设为 , 平分 例 2：如图，两个正方形 与 ,连结 ,二者相交于点 问：（1） 是否成立？ （2） 是否与 相等？ （3） 与 之间的夹角为多少度？ （4） 是否平分 ？ ABD∆ BCE∆ AE CD DBCABE ∆≅∆ DCAE = AE DC °60 AE DC H BH AHC∠ ABD∆ BCE∆ AE CD DBCABE ∆≅∆ DCAE = AE DC °60 AE DC H BH AHC∠ ABCD DEFG CEAG, H CDEADG ∆≅∆ AG CE AG CE HD AHE∠3 例 3：如图两个等腰直角三角形 与 ，连结 ,二者相交于点 问：（1） 是否成立？ （2） 是否与 相等？ （3） 与 之间的夹角为多少度？ （4） 是否平分 ？ 例 4：两个等腰三角形 与 ，其中 , ,连结 与 ， 问：（1） 是否成立？ （2） 是否与 相等？ （3） 与 之间的夹角为多少度？ （4） 是否平分 ？ 倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段， 从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知： 中， 是中线．求证： ． M CB A ADC EDG CEAG, H CDEADG ∆≅∆ AG CE AG CE HD AHE∠ ABD∆ BCE∆ BDAB = ,EBCB = α=∠=∠ CBEABD AE CD DBCABE ∆≅∆ AE CD AE CD HB AHC∠ ABC∆ AM 1 ( )2AM AB AC< +4 【练 1】在△ 中， ，则 边上的中线 的长的取值范围是什么？ 【 练 2 】 如 图 所 示 ， 在 的 边 上 取 两 点 、 ， 使 ， 连 接 、 ， 求 证 ： ． 【例2】 如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，延长 交 于 ， ，求证： ． 【练 1】如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于 ，求 证： 【练 2】如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线． 【练 3】如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上． ， ． 求证： ∥ FE C BA F E D CB A F E D C BA G F E D C B A ABC 5 9AB AC= =， BC AD ABC∆ AB E F AE BF= CE CF AC BC+ > EC FC+ ABC∆ AD BC E AD BE AC F AF EF= AC BE= ABC∆ AD BC E AD BE AC= BE AC F AF EF= ABC∆ AD BC D E BC EF AD∥ CA F AB G BG CF= AD ABC∆ ABC∆ AD BAC∠ E F BD AD DE CD= EF AC= EF AB5 【例3】 已 知 为 的 中 线 ， ， 的 平 分 线 分 别 交 于 、 交 于 ． 求 证 ： ． 【练 1】在 中， 是斜边 的中点， 、 分别在边 、 上，满足 ．若 ， ， 则线段 的长度为_________． 【练 2】在 中，点 为 的中点，点 、 分别为 、 上的点，且 ． （1）若 ，以线段 、 、 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直 角三角形或钝角三角形？ （2）如果 ，求证 ． 【例4】 如图所示，在 中， ，延长 到 ，使 ， 为 的中点，连接 、 ，求证 ． 【练 1】已知 中， ， 为 的延长线，且 ， 为 的 边上的中线． 求证： F A CDEB F E M C BA F E D C B A M N D A B C E D CB A AM ABC∆ AMB∠ AMC∠ AB E AC F BE CF EF+ > Rt ABC∆ F AB D E CA CB 90DFE∠ = ° 3AD = 4BE = DE ABC∆ D BC M N AB AC MD ND⊥ 90A∠ = ° BM MN CN 2 2 2 2BM CN DM DN+ = + ( )2 2 21 4AD AB AC= + ABC∆ AB AC= AB D BD AB= E AB CE CD 2CD EC= ABC∆ AB AC= BD AB BD AB= CE ABC∆ AB 2CD CE=6 ★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题 里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方 1. 如图所示， 中， ，AD 平分 交 BC 于 D。求证：AB=AC+CD。 如图所示，在 中， ， 的角平分线 AD、CE 相交于点 O。求证：AE+CD=AC。 2. 如 图 所 示 ， 已 知 ， P 为 BN 上 一 点 ， 且 于 D ， AB+BC=2BD ， 求 证 ： 。 3. 如图所示，在 中，AB=AC， ， ，CE 垂直于 BD 的延长线于 E。求证： BD=2CE。 E D C BA ABC∆ 00 45,90 =∠=∠ BC BAC∠ ABC∆ 060=∠B ABC∆ 21 ∠=∠ BCPD ⊥ 0180=∠+∠ BCPBAP ABCRt∆ 090=∠BAC CBDABD ∠=∠ D A C B O E D A B C 2 1 D M B C P N A C7 5 如图所示，在 中， ，AD 为 的平分线， =30 ， 于 E 点，求证： AC-AB=2BE。 6.如图所示，已知 //CD， 的平分线恰好交于 AD 上一点 E，求证：BC=AB+CD。 7.如图，E 是 的平分线上一点， ， ，垂足为 C、D。求证：（1）OC=OD； （2） DF=CF。 ABC∆ 090=∠ABC BAC∠ C∠ 0 ADBE ⊥ AB BCDABC ∠∠ , AOB∠ OAEC ⊥ OBED ⊥ E D B A C F D C A O B E E DB C A D A C E B