人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷（含答案）.docx

新人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. sin60°的值等于（　　）‎ A. ‎1‎‎2‎ B. ‎2‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎3‎ 2. 已知α为锐角，sin（α-20°）=‎3‎‎2‎，则α=（　　）‎ A. ‎20‎‎∘‎ B. ‎40‎‎∘‎ C. ‎60‎‎∘‎ D. ‎‎80‎‎∘‎ 3. 在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（　　）‎ A. ‎3‎‎3‎ B. ‎5‎‎3‎ C. ‎1‎‎2‎ D. 2 ‎ 4. 在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）‎ A. b=a⋅sinB B. a=b⋅cosB C. a=b⋅tanB D. ‎b=a⋅tanB 5. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（　　）‎ A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定 6. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=‎1‎‎3‎，则cosA的值为（　　）‎ A. ‎10‎‎10‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎3‎‎4‎ D. ‎‎3‎‎10‎‎10‎ 7. 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）‎ A. ‎5‎‎7‎‎14‎  B. ‎ ‎‎21‎‎14‎ C. ‎ ‎‎3‎‎5‎ D. ‎ ‎‎21‎‎7‎ ‎ 8. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　）‎ A. 3米 B. ‎6‎‎3‎米 C. ‎3‎‎3‎米 ‎ 第13页，共14页 D. ‎2‎‎3‎米 ‎ 1. 坡度等于1：‎3‎的斜坡的坡角等于（　　）‎ A. ‎30‎‎∘‎ B. ‎40‎‎∘‎ C. ‎50‎‎∘‎ D. ‎‎60‎‎∘‎ 2. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，‎3‎≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）‎ A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m 二、填空题（本大题共7小题，共26.0分）‎ 3. 求值：sin60°-tan30°= ______ ．‎ 4. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5‎3‎，AB=10，则∠A= ______ 度． ‎ 5. 如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为______ ． ‎ 6. ‎△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=‎1‎‎3‎，则S△ABC= ______ ．‎ 7. 如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）______ ． ‎ 8. 在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y 第13页，共14页 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成______ ．‎ 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sinA= ______ ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）‎ 2. 已知α为一锐角，sinα=‎4‎‎5‎，求cosα，tanα． ‎ 3. 如图，已知AC=4，求AB和BC的长． ‎ ‎ ‎ 4. 如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75） ‎ 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4‎2‎米．求新传送带AC的长度．‎ 第13页，共14页 ‎ ‎ 1. 某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：‎3‎，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度． ‎ ‎ ‎ 2. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3‎2‎千米．（注：结果有根号的保留根号） （1）求A，B两观测站之间的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向以‎3‎千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．‎ ‎ ‎ 第13页，共14页 ‎ ‎ 1. 如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）． （1）求办公楼AB的高度； （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离． （参考数据：sin22°≈‎3‎‎8‎，cos22°‎≈‎‎15‎‎16‎，tan22‎°≈‎‎2‎‎5‎）‎ ‎ ‎ 第13页，共14页 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解：sin60°=． 故选：C． 根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．‎ ‎2.【答案】D 【解析】‎ 解：∵α为锐角，sin（α-20°）=， ∴α-20°=60°， ∴α=80°， 故选D． 根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．‎ ‎3.【答案】D 【解析】‎ 解：由图可得，tanα=2÷1=2． 故选D． 此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．‎ ‎4.【答案】D 【解析】‎ 解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误； B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误； C、∵tanB=，∴a=，故选项错误； D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确． 故选D． 根据三角函数的定义即可判断． 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎5.【答案】A 【解析】‎ 第13页，共14页 解：∵各边都扩大5倍， ∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1， ∴两三角形相似， ∴∠A的三角函数值不变， 故选：A． 易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变． 用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．‎ ‎6.【答案】D 【解析】‎ 解：如图， ∵tanA==， ∴设BC=x，则AC=3x， ∴AB==x， ∴cosA===． 故选D． 根据正切的定义得到tanA==，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解． 本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．‎ ‎7.【答案】B 【解析】‎ 解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D， ∵∠CAB=120°， ∴∠DAC=60°， ∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2， ∴AD=1，CD=，BD=5， ∴BC==2， ∴sinB===． 故选：B． 首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可． 此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．‎ 第13页，共14页 ‎8.【答案】B 【解析】‎ 解：设直线AB与CD的交点为点O． ∴． ∴AB=． ∵∠ACD=60°． ∴∠BDO=60°． 在Rt△BDO中，tan60°=． ∵CD=6． ∴AB==6． 故选：B． 依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解． 本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解：坡角α，则tanα=1：， 则α=30°． 故选A． 根据坡度就是坡角的正切值即可求解． 本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ 解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC， ∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°， ∴∠ADB=∠A=30°， ∴BD=AB=60m， ∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）． 故选：B． 由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案． 此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．‎ 第13页，共14页 ‎11.【答案】‎3‎‎6‎ 【解析】‎ 解：原式=- =- =． 故答案为． 根据sin60°=，tan30°=得到原式=-，然后通分合并即可． 本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．‎ ‎12.【答案】30 【解析】‎ 解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10， ∴cosA===， ∴∠A=30°， 故答案为：30°． 根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数． 此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．‎ ‎13.【答案】‎5‎‎5‎ 【解析】‎ 解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边， 则cos∠AOB的值==． 根据余弦的定义，cos∠AOB等于邻边比斜边，可以求得cos∠AOB的值． 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．‎ ‎14.【答案】‎16‎‎2‎ 【解析】‎ 解：在Rt△ABC中， ∵斜边上的中线CD=6， ∴AB=12． ‎ 第13页，共14页 ‎∵sinA==， ∴BC=4，AC==8． ∴S△ABC=AC•BC=16． 根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答． 本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．‎ ‎15.【答案】（2‎3‎+1.6）m 【解析】‎ 解：由题意得：AD=6m， 在Rt△ACD中，tanA== ∴CD=2，又AB=1.6m ∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6， 所以树的高度为（2+1.6）m． 已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB=1.6m可得出树的高度． 本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．‎ ‎16.【答案】‎(7‎3‎，-7)‎ 【解析】‎ 解：过点A作AC⊥x轴于C． 在直角△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米， 则AC=OA=7千米，OC=7千米． 因而小岛A所在位置的坐标是（7，-7）． 故答案为：（7，-7）． 过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标． 本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．‎ ‎17.【答案】‎1‎‎2‎ 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了锐角的三角函数值的定义，理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解. ​【解答】 ‎ 第13页，共14页 解：sinA==. 故答案为. ‎ ‎18.【答案】解：由sinα=ac=‎4‎‎5‎，设a=4x，c=5x， 则b=c‎2‎‎-‎a‎2‎=3x， 故cosα=bc=‎3‎‎5‎，tanα=ab=‎4‎‎3‎． 【解析】‎ ‎ 根据sinα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值． 本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎19.【答案】解：作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°-∠A=60°， CD=‎1‎‎2‎AC=2， AD=AC•cosA=2‎3‎． 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°， ∴BD=CD=2， ∴BC=2‎2‎， ∴AB=AD+BD=2+2‎3‎． 【解析】‎ ‎ 作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解． 本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等．‎ ‎20.【答案】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F． ‎∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，‎‎∠ADF+∠DAF=90°，‎‎∴∠ADF=α=36°.‎‎ ‎根据题意，得BE=24mm，DF=48mm． 在Rt△ABE中，sinα=‎BEAB， ∴AB=BEsin‎36‎‎∘‎=‎24‎‎0.60‎=40‎mm 在Rt△‎ 第13页，共14页 ADF中，cos‎∠ADF=‎DFAD， ∴AD=DFcos‎36‎‎∘‎=‎48‎‎0.80‎=60‎mm． ∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm． 【解析】‎ ‎ 作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题． 本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．‎ ‎21.【答案】解：在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4‎2‎×‎2‎‎2‎=4． 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°， ∴AC=2AD=8． 答：新传送带AC的长度约为8米． 【解析】‎ ‎ 根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形的性质解答即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎22.【答案】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． 在Rt△ABF中，i=tan∠BAF=‎1‎‎3‎=‎3‎‎3‎， ∴∠BAF=30°， ∴BF=‎1‎‎2‎AB=5，AF=5‎3‎． ∴BG=AF+AE=5‎3‎+15． 在Rt△BGC中， ∵∠CBG=30°， ∴CG：BG=‎3‎‎3‎， ∴CG=5+5‎3‎． 在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15， ∴DE=AE=15， ∴CD=CG+GE-DE=5+5‎3‎+5-15=（5‎3‎-5）m． 答：宣传牌CD高约（5‎3‎-5）米． 【解析】‎ ‎ 过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE 第13页，共14页 中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=30°，求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度． 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．‎ ‎23.【答案】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D． 在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°， ∴BD=PD=3千米． 在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°， ∴AD=‎3‎PD=3‎3‎千米，PA=6千米． ∴AB=BD+AD=3+3‎3‎（千米）； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F． 根据题意得：∠ABC=105°， 在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°， ∴BF=‎1‎‎2‎AB=‎3+3‎‎3‎‎2‎千米，AF=‎3‎‎2‎AB=‎3‎+3 千米． 在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°． 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°， ∴CF=BF=‎3+3‎‎3‎‎2‎千米， ∴PC=AF+CF-AP=3‎3‎千米． 故小船沿途考察的时间为：3‎3‎÷‎3‎=3（小时）． 【解析】‎ ‎ （1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解； （2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC=AF+CF-AP，从而求解． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎24.【答案】解：（1）如图， ‎ 第13页，共14页 过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x． Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF+FC=x+25， 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2， tan22°=AMME， 则x-2‎x+25‎=‎2‎‎5‎， 解得：x=20． 即教学楼的高20m． （2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45． 在Rt△AME中，cos22°=MEAE． ∴AE=MEcos‎22‎‎∘‎， 即A、E之间的距离约为48m 【解析】‎ ‎ （1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可； （2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键 第13页，共14页