苏科版九年级下期末复习《第七章锐角三角函数》单元试卷含解析.docx

期末复习：苏科版九年级数学下册 第七章锐角三角函数 一、单选题（共10题；共30分）‎ ‎1.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（    ） ‎ A. AB=a·sinθ；               B. AB=a·cosθ；               C. AB=a·tanθ；               D. AB=a·cotθ.‎ ‎2.在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=10，AC=8，则sinA的值是（ ） ‎ A. ‎4‎‎5‎                                          B. ‎3‎‎5‎                                          C. ‎3‎‎4‎                                          D. ‎‎4‎‎3‎ ‎3.cos30°的值为(   ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎4.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（   ） ‎ A. ‎3‎‎4‎                                          B. ‎4‎‎3‎                                          C. ‎3‎‎5‎                                          D. ‎‎4‎‎5‎ ‎5.已知在Rt‎△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则下列结论正确的是(   ) ‎ A. sinA=‎1‎‎2‎                          B. tanA=‎1‎‎2‎                          C. cosA=‎5‎‎5‎                          D. sinB=‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎6.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（　　） ‎ A. ‎3‎‎5‎                                          B. ‎4‎‎5‎                                          C. ‎3‎‎4‎                                          D. ‎‎4‎‎3‎ ‎7.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=‎1‎‎2‎ ， 则tanB等于（　　） ‎ A. ‎3‎                                      B. ‎3‎‎2‎​                                      C. ‎3‎‎3‎                                      D. ‎‎2‎‎3‎ ‎8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（    ） ‎ A. ‎5‎‎13‎​                                       B. ‎5‎‎12‎​                                       C. ‎12‎‎13‎​                                       D. ‎12‎‎5‎​‎ ‎9.在△ABC中，若|sinA﹣‎3‎‎2‎|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（　　） ‎ A. 45°                                      B. 60°                                      C. 75°                                      D. 105°‎ ‎10.一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是（       ）m. ‎ A. 230                                      B. 240                                      C. 250                                      D. 260‎ 二、填空题（共10题；共30分）‎ ‎11.计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=________． ‎ ‎12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c•sinB，②a=c•cosB，③a=c•tanB，④a= ctanB ，必定成立的是________． ‎ ‎ ‎ ‎13.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________km． ‎ ‎14.如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为________ m． ‎ ‎15.计算：cot44°•cot45°•cot46°=________  ‎ ‎16.已知‎3‎‎2‎＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________  ‎ ‎17.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________． ‎ ‎18.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA=________． ‎ ‎19.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ‎3‎‎4‎ ，则BC的长是________． ‎ ‎20.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ‎3‎ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m． ‎ 三、解答题（共8题；共60分）‎ ‎21.计算 ‎|‎2‎-2|-2cos‎45‎‎∘‎+‎(-1)‎‎-2‎+‎‎8‎ ． ‎ ‎ ‎ ‎22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=‎2‎‎3‎ ， AD=4．‎ ‎（1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值．‎ ‎23.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）． ‎ ‎24.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据： ‎3‎ ≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49） ‎ ‎ ‎ ‎25.如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据 ‎2‎ ≈1.41， ‎3‎ ≈1.73． ‎ ‎26.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)‎ ‎ ‎ ‎27.如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）‎ ‎（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ‎2‎ ≈1.41， ‎3‎ ≈1.73）‎ ‎28.某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值． ‎ ‎ ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】C ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解． 因为：tanθ=ABAC=‎ABa,所以AB=a·tanθ. 故选C.‎ ‎2.【答案】B ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】‎ ‎​‎ 如图所示： ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=AB‎2‎-AC‎2‎‎=‎10‎‎2‎‎-‎‎8‎‎2‎=6‎ ， ∴sinA=BCAB‎=‎6‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎ ． 故答案为：B．‎ ‎3.【答案】C ‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【解答】解：cos30°= ‎3‎‎2‎ ．故答案为：C．‎ ‎【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。‎ ‎4.【答案】A ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边， ∴tana=‎‎3‎‎4‎． 故选A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，对各选项进行判断即可．‎ ‎【解答】由题意得：AB=AC‎2‎+BC‎2‎=2‎5‎， A、sinA=BCAB=‎2‎‎5‎‎5‎，故本选项错误； B、tanA=BCAC=2，故本选项错误； C、cosA=ACAB=‎5‎‎5‎，故本选项正确； D、sinB=ACAB=‎5‎‎5‎，故本选项错误． 故选C．‎ ‎ 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，掌握正弦、余弦、正切的定义是解答本题的关键．‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=AC‎2‎+BC‎2‎=5， ∴cosA=ACAB=‎3‎‎5‎ ． 故选A． 【分析】先根据勾股定理，求出AB的值，然后由余弦=邻边÷斜边计算即可．‎ ‎7.【答案】C ‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵，∠C=90°，cosA=‎1‎‎2‎ ， ∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=‎3‎‎3‎​． 故答案选：C． 【分析】由cosA=‎1‎‎2‎ ， 知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．‎ ‎8.【答案】C ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】直接根据余弦的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴cosA=ACAB‎=‎‎12‎‎13‎． 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值 ‎9.【答案】C ‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ABC中，|sinA﹣‎3‎‎2‎|+（1﹣tanB）2=0， ∴sinA=‎3‎‎2‎ ， tanB=1． ∴∠A=60°，∠B=45°． ∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°． 故选C． 【分析】根据两个非负数的和为0，求出sinA=‎3‎‎2‎ ， tanB=1，由特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C的值．‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 ‎ ‎【解析】【分析】此题考查了含30度角的直角三角形，根据在直角三角形中，已知斜边，求30度所对的直角边，即可得出答案． 【解答】由30°所对的直角边是斜边的一半，得此山的高度=500÷2=250m． 故选C．‎ 二、填空题 ‎11.【答案】2 ‎ ‎【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【解答】原式=1+2× ‎1‎‎2‎ ， =1+1， =2. 故答案为：2. 【分析】根据0指数的意义，特殊锐角三角函数值分别化简，再按有理数的混合运算顺序算出答案。‎ ‎12.【答案】② ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，‎ ‎∴sinB= bc ，‎ ‎∴b=c•sinB，故①错误；‎ cosB= ac ，‎ ‎∴a=c•cosB，故②正确；‎ tanB= ba ，‎ ‎∴b=a•tanB，故③错误；‎ tanB= ba ，‎ ‎∴a= btanB ，故④错误．‎ ‎ ‎ 故答案为②．‎ ‎【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。‎ ‎13.【答案】（20 ‎3‎ ﹣20） ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ARL中， ∵LR=AR•cos30°=40× ‎3‎‎2‎ =20 ‎3‎ （km），AL=AR•sin30°=20（km）， 在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°， ∴RL=LB=20 ‎3‎ ， ∴AB=LB﹣AL=（20 ‎3‎ ﹣20）km， 故答案为（20 ‎3‎ ﹣20）km． 【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．‎ ‎14.【答案】（50﹣ ‎50‎‎3‎‎3‎ ） ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N． 则AB=MN，AM=BN． 在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m， ∴CM=AM=50m． ∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m， ∴CN= BNtan60°‎ = ‎50‎‎3‎ = ‎50‎‎3‎‎3‎ （m）， ∴MN=CM﹣CN=50﹣ ‎50‎‎3‎‎3‎ （m）． 则AB=MN=（50﹣ ‎50‎‎3‎‎3‎ ）m． 故答案是：（50﹣ ‎50‎‎3‎‎3‎ ）． 【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．‎ ‎15.【答案】1 ‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1． 【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．‎ ‎16.【答案】20°＜∠A＜30° ‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】解：∵‎3‎‎2‎＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°， ∴20°＜∠A＜30°． 故答案为：20°＜∠A＜30°． 【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．‎ ‎17.【答案】‎10‎‎10‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：由题意可知，AB=2，AO= ‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎ =2 ‎5‎ ，BO= ‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎ =2 ‎2‎ ， ∵S△ABO= ‎1‎‎2‎ AB•h= ‎1‎‎2‎ AO•BO•sin∠AOB， ∴ ‎1‎‎2‎ ×2×2= ‎1‎‎2‎ ×2 ‎5‎ ×2 ‎2‎ ×sin∠AOB， ∴sin∠AOB= ‎10‎‎10‎ ， 故答案为： ‎10‎‎10‎ ． 【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO= ‎1‎‎2‎ AB•h= ‎1‎‎2‎ AO•BO•sin∠AOB可得答案．‎ ‎18.【答案】‎2‎‎3‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边， ‎ ‎∴tanA= ab ，‎ ‎∵2b=3a，‎ ‎∴ ab = ‎2‎‎3‎ ，‎ ‎∴tanA= ‎2‎‎3‎ ．‎ 故答案为： ‎2‎‎3‎ ．‎ ‎【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA= ab ，然后根据题目所给2b=3a可求解．‎ ‎19.【答案】6 ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】∵sinA= BCAB ， ∴ BCAB‎=‎‎3‎‎4‎ ， 解得BC=6． 【分析】根据三角函数值直接求出BC的长即可.‎ ‎ ‎ ‎20.【答案】100 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 ‎ ‎【解析】【解答】根据坡度可得：BC：AB=1：2，根据BC=50m，则AB=100m． 【分析】由坡度的意义可得出两直角边的关系，进而求出斜边.‎ 三、解答题 ‎21.【答案】解：原式=2-‎2‎-2×‎2‎‎2‎+1+2‎2‎.               =3. ‎ ‎【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 ‎ ‎【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.‎ ‎22.【答案】（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4， ∴DC=AD=4． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=， AD=4， ∴AB=  ∴BD=， ∴BC=BD+DC= （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE=BC=， ∴DE=CE-CD=， ∴tan∠DAE=． ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=2‎5‎ ， 然后根据BC=BD+DC即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．‎ ‎ ‎ ‎23.【答案】解：作AD⊥BC,垂足为D. 设AD= xm， ∵∠ABC=45°， ∴BD＝AD= xm， ∵∠ACB=30°， ∴DC＝ ADtan30°‎ ＝ ‎3‎ xm， ∵AD+DC=BC ,且BC＝40m， ∴ x+‎3‎x=40‎ ， 解得， x=20‎3‎-20‎ ， 答：则河的宽度为 ‎(20‎3‎-20)‎ m ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【分析】作AD⊥BC,垂足为D.利用解直角三角形的知识进行求解即可。‎ ‎24.【答案】解：如图， 在Rt△BDF中，∵∠DBF=60°，BD=4km， ∴BF= BDcos60°‎ =8km， ∵AB=20km， ∴AF=12km， ∵∠AEB=∠BDF，∠AFE=∠BFD， ∴△AEF∽△BDF， ∴ AEAF = BDBF ， ∴AE=6km， 在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km． 故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km． ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【分析】首先在Rt△BDF中，根据特殊锐角三角函数值和三角函数的定义可求得BF的长，进一步求出AF，然后，再证明△AEF∽△BDF，依据相似三角形的性质可求得AE的长，最后，在Rt△AEF中根据三角函数可求这艘轮船的航行路程CE的长度.‎ ‎25.【答案】解：过点A作AM⊥CD于点M，则 四边形ABDM为矩形，AM=BD=6米， 在Rt△ACM中，∵∠CAM=30°，AM=6米， ∴CM=AM•tan∠CAM=6× =2 （米）， ∴CD=2 +1.5≈4.96（米）， 在Rt△CDE中，ED=6﹣2.3=3.7（米）， ∴CE= ≈6.2（米）． ‎ ‎【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【分析】过点A作AM⊥CD于点M，可得四边形ABDM为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为23°，在△ACM中求出CM的长度，然后在Rt△CDE中求出CE的长度．‎ ‎26.【答案】解:如图,过点P作PD⊥AB于点D. 由题意知∠DPB=∠DBP=45°. 在Rt△PBD中,sin 45°= PDPB = ‎2‎‎2‎ ,∴PB= ‎2‎ PD. ∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°. 在Rt△PAD中,cos 25°= PDPA . ∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里), ∴PB=80 ‎2‎ cos 25°海里 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角，在Rt△PAD中，求出PD；然后在Rt△PBD中，求出PB。‎ ‎27.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎ ‎ 在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1= AEDE ， ∠1=30°，‎ ‎∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40× ‎3‎‎3‎ ≈40×1.73× ‎1‎‎3‎ ≈23.1‎ 在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2= BEDE ， ∠2=10°，‎ ‎∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2‎ ‎∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【分析】根据已知底端B的俯角为10°，添加辅助线过点D作DE⊥AB于点E，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△DEB中，利用∠2的正切求出BE的长，然后根据AB=AE+BE，求出AB的长即可。‎ ‎28.【答案】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米， ∴DA=3米， 在Rt△ADC中，∠CDA=60°， ∴tan60°= CAAD ， ∴CA=3 ‎3‎ ． ∴BC=CA﹣BA=（3 ‎3‎ ﹣3）米． 答：路况显示牌BC是（3 ‎3‎ ﹣3）米 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC﹣AB得解．‎ ‎ ‎