第一章空间几何体章末质量检测（有解析新人教A版必修2）.doc

- 1 - 　章末质量检测(一)　空间几何体　 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．下列结论正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：A 错误．如图 1 所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面 都是三角形，但它不是棱锥． B 错误．如图 2，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直 线，所得的几何体都不是圆锥． C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以 正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D 正确． 答案：D 2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那 么一个五棱柱共有对角线(　　) A．20 条 B．15 条 C．12 条 D．10 条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为 不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有 2 条，五棱柱共有对角线 2×5＝10 条． 答案：D 3．关于直观图画法的说法中，不正确的是(　　) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段仍平行于 x′轴，其长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段仍平行于 y′轴，其长度不变 C．画与坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时，∠x′O′y′可画成 135° D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同- 2 - 解析：根据斜二测画法的规则可知 B 不正确． 答案：B 4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为 4S，则它的一个底面面积是(　　) A．4S B．4πS C．πS D．2πS 解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径 2R， 则 2R·2R＝4S，得 R2＝S.所以底面面积为 πR2＝πS. 答案：C 5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为 9 cm3，则其表面积为(　　) A．18 3 cm2 B．18 cm2 C．12 3 cm2 D．12 cm2 解析：设正四面体的棱长为 a cm，则底面积为 3 4 a2 cm2，易求得高为 6 3 a cm，则体积 为 1 3× 3 4 a2× 6 3 a＝ 2 12 a3＝9，解得 a＝3 2，所以其表面积为 4× 3 4 a2＝18 3(cm2)． 答案：A 6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为 1， 6，3，其四面体的 四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为(　　) A．16π　　　B．32π C．36π　　　D．64π 解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线 长为 12＋ 62＋32＝4，即球的半径为 2，故这个球的表面积为 4πr2＝16π. 答案：A 7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形， 则原来的图形是(　　) 解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为 2，所以原图形为平行四边形，位 于 y 轴上的对角线的长为 2 2. 答案：A- 3 - 8．球 O 的截面把垂直于截面的直径分成 1：3 两部分，若截面圆半径为 3，则球 O 的体积为(　　) A．16π B. 16π 3 C. 32π 3 D．4 3π 解析：设直径被分成的两部分分别为 r、3r，易知( 3)2＝r·3r，得 r＝1，则球 O 的 半径 R＝2，故 V＝ 4 3π·R3＝ 32 3 π. 答案：C 9．[2019·湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积 是(　　) A. 2 3 3 ＋π B. 2 3 3 ＋2π C．2 3＋π D．2 3＋2π 解析：由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积V＝ 1 2π×12×2 ＋ 1 2×2× 3×2＝π＋2 3. 答案：C 10. 如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 上一点，且 PB1＝ 1 4A1B1，则多 面体 P－BCC1B1 的体积为(　　) A. 8 3 B. 16 3 C．4 D．5 解析：V 多面体 P－BCC1B1＝ 1 3S 正方形 BCC1B1·PB1＝ 1 3×42×1＝ 16 3 . 答案：B- 4 - 11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面 积之比为(　　) A．1：2：3　B．1：3：5 C．1：2：4 D．1：3：9 解析： 如图，由题意知 O1A1O2A2OA＝1：2：3，以 O1A1，O2A2，OA 为半径的圆锥的侧面 积之比为 1：4：9. 故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为 1：(4－1)：(9－4)＝1：3：5. 答案：B 12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截 面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 解析：过直线 O1O2 的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为 r，母线长为 l，因为轴截面 是面积为 8 的正方形，所以 2r＝l＝2 2，所以 r＝ 2，所以圆柱的表面积为2πrl＋2πr2＝ 8π＋4π＝12π. 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体 14．[2019·甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的- 5 - 表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以 S 侧＝(1＋ 2＋ 3)× 2＝2＋ 2＋ 6， S 底＝ 1 2×1× 2＝ 2 2 ， 故 S 表＝2＋ 2＋ 6＋2× 2 2 ＝2＋2 2＋ 6. 答案：2＋2 2＋ 6 15. 如图所示，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，高为 5，一质点自 A 点出发，沿 着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为________． 解析：如图所示，将三棱柱沿AA1 剪开，可得一矩形，其长为 6，宽为 5，其最短路线为 两相等线段之和，其长度等于 2 (5 2 )2＋62＝13. 答案：13 16．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 1，则圆锥的体积为 ________． 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆⊙O1 和外切圆⊙O2，且两圆同圆 心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O1 的半径为 r＝1，△ABC 的边长为 2 3，于是知圆锥的底面半径为 3，高为 3.故所求体积为 V＝ 1 3×π×3×3＝3π. 答案：3π 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)- 6 - 17．(10 分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照 给出的数据，求该几何体的体积． 解：该几何体的体积 V＝V 长 方 体 －V 三 棱 锥 ＝4×4×6－ 1 3×(1 2 × 2 × 2)×2＝ 284 3 (cm3)． 18．(12 分)如图是由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放 置的直观图． 解：(1)以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建 立坐标系 x′O′y′，使两轴的夹角为 45°，如图(2)． (2)以 O′为中点，在 x′轴上截取 A′B′＝AB， 分别过 A′，B′作 y′轴的平行线，截取 A′E′＝ 1 2AE，B′C′＝ 1 2BC. 在 y′轴上截取 O′D′＝ 1 2OD. (3)连接 E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图， 如图(3)． 19．(12 分)如图所示，在多面体 FE­ABCD 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积 V.- 7 - 解析：如图所示，分别过A，B 作 EF 的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连接 DG，CH，容 易求得 EG＝HF＝ 1 2. 所以 AG＝GD＝BH＝HC＝ 3 2 ， S△AGD＝S△BHC＝ 1 2× 2 2 ×1＝ 2 4 ， V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC ＝(1 3 × 1 2 × 2 4 )×2＋ 2 4 ×1 ＝ 2 3 . 20．(12 分)用一张相邻边长分别为 4 cm,8 cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略 不计)，求该圆柱的表面积． 解析：有两种不同的卷法，分别如下： (1)如图①所示，以矩形 8 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆 的周长为 2π·OA＝4， 则 OA＝r1＝ 2 π cm，∴两底面面积之和为 8 π cm2， ∴S 表＝(32＋ 8 π) cm2，即该圆柱的表面积为 (32＋ 8 π)cm2. (2)如图②所示，以矩形 4 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆 的周长为 2π·OB＝8， 则 OB＝r2＝ 4 π cm，∴两底面面积之和为 32 π cm2， ∴S 表＝(32＋ 32 π)cm2，即该圆柱的表面积为 (32＋ 32 π)cm2.- 8 - 21．(12 分)如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，连接 A′C′，A′D，A′B， BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥 A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥 A′－BC′D 的体积． 解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝ 2a， ∴三棱锥 A′－BC′D 的表面积为 4× 1 2× 2a× 3 2 × 2a＝2 3a2. 而正方体的表面积为 6a2，故三棱锥 A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2 3a2 6a2 ＝ 3 3 . (2)三棱锥 A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的． 故 V 三棱锥 A′－BC′D＝V 正方体－4V 三棱锥 A′－ABD ＝a3－4× 1 3× 1 2a2×a＝ a3 3 . 22．(12 分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与 球的表面积之比． 解析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R， 则由题意得Error! ∴ 1 3π(2R)2·h＝ 4 3πR3，∴R＝h，r＝2h， ∴l＝ r2＋h2＝ 5h， ∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2， ∴ S圆锥侧 S球 ＝ 2 5πh2 4πh2 ＝ 5 2 .