第四章圆与方程章末质量检测（有解析新人教A版必修2）.doc

- 1 - 章末质量检测(四)　圆的方程　　 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．圆心坐标为(1，－1)，半径长为 2 的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 解析：由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4. 答案：C 2．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是(　　) A．以(1，－2)为圆心， 11为半径的圆 B．以(1,2)为圆心， 11为半径的圆 C．以(－1，－2)为圆心， 11为半径的圆 D．以(－1,2)为圆心， 11为半径的圆 解析：原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，所以表示以(－1,2)为圆心， 11为半径的 圆． 答案：D 3．直线 l：y＝k (x＋ 1 2 )与圆 C：x2＋y2＝1 的位置关系是(　　) A．相交或相切　　B．相交或相离 C．相切 D．相交 解析：方法一　圆 C 的圆心(0,0)到直线 y＝k (x＋ 1 2 )的距离 d＝ |1 2k | k2＋1， ∵d2＝ 1 4k2 k2＋1< 1 40 得 a0}，且 M∩N＝ N，则 r 的取值范围是(　　) A．(0， 2－1] B．(0,1] C．(0,2－ 2] D．[0,2] 解析：∵M∩N＝N，∴(x－1)2＋(y－1)2＝r2 在 x2＋y2＝4 的内部． ∴d≤2－r，即 2≤2－r，∴00，- 5 - 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ 2a 5＝ 4 5 5 ， 解得 a＝2， 所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 16．台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为 危险区，城市 B 在 A 地正东 40 km 处，求城市 B 处于危险区内的时间为________h. 解析：如图，以 A 地为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则以 B(40,0) 为圆心，30 为半径的圆内 MN 之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为 1 h. 答案：1 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(10 分)求圆心在直线 2x－y－3＝0 上，且过点 A(5,2)，B(3，－2)的圆的标准方 程． 解析：有两种方法． 方法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则Error!解得Error! 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 方法二　因为圆过 A，B 两点，所以圆心一定在 AB 的垂直平分线上，线段 AB 的垂直平 分线方程为 y＝－ 1 2(x－4)， 则Error!解得Error! 即圆心为(2,1)，r＝ 5－22＋2－12＝ 10. 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 18．(12 分)求圆心在直线 y＝x 上，且经过点 A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程． 解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是(－ D 2，－ E 2)， 由题意知，Error!解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.- 6 - 19．(12 分)如图，正四棱锥 P－ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 6，M，N 分别为 AB，BC 的中点，以 O 为原点，射线 OM，ON，OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系．若 E，F 分别为 PA，PB 的中点，求 A，B，C，D，E，F 的坐标． 解析：∵正四棱锥 P－ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 6， ∴OB＝ 2，OP＝ PB2－OB2＝ 6－2＝2， ∴由上可得 A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)． 又∵E，F 分别为 PA，PB 的中点， ∴由中点坐标公式可得 E(1 2，－ 1 2，1)，F(1 2， 1 2，1). 20．(12 分)求一个动点P 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 A(3,0)连线的中点 M 的轨 迹方程． 解析：设点 M 的坐标是(x，y)，点 P 的坐标是(x0，y0)． 由于点 A 的坐标为(3,0)且 M 是线段 AP 的中点， 所以 x＝ x0＋3 2 ，y＝ y0 2 ， 于是有 x0＝2x－3，y0＝2y. 因为点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动， 所以点 P 的坐标满足方程 x20＋y20＝1， 则(2x－3)2＋4y2＝1， 整理得 (x－ 3 2 )2＋y2＝ 1 4. 所以点 M 的轨迹方程为 (x－ 3 2 )2＋y2＝ 1 4. 21．(12 分)已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0 相交 于 A，B 两点，求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长． 解析：由圆 C1 的方程减去圆 C2 的方程，整理，得方程 3x－4y＋6＝0，又由于方程 3x－ 4y＋6＝0 是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程 3x－4y＋6＝0 的解．因为两点 确定一条直线，故 3x－4y＋6＝0 是两圆公共弦 AB 所在的直线方程． ∵圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， ∴圆心为 C1(－1,3)，半径 r＝3，- 7 - ∴圆心 C1 到直线 AB 的距离 d＝ |－3－12＋6| 25 ＝ 9 5， ∴|AB|＝2 r2－d2＝2 9－(9 5 )2＝ 24 5 . ∴AB 所在的直线方程为 3x－4y＋6＝0，公共弦 AB 的长为 24 5 . 22．(12 分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切．过点 B(－2,0) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点． (1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程． 解析：(1)设圆 A 的半径为 r， ∵圆 A 与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切， ∴r＝ |－1＋4＋7| 5 ＝2 5， ∴圆 A 的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时， 则直线 l 的方程 x＝－2， 此时有|MN|＝2 19，即 x＝－2 符合题意． 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＝0. ∵Q 是 MN 的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋(1 2|MN|)2＝r2. 又∵|MN|＝2 19，r＝2 5，∴|AQ|＝ 20－19＝1. 解方程|AQ|＝ |k－2| k2＋1＝1，得 k＝ 3 4， ∴此时直线 l 的方程为 y－0＝ 3 4(x＋2)，即 3x－4y＋6＝0. 综上所得，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0.