人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案.docx

第二十八章　锐角三角函数 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎1．sin60°的值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为(　　)‎ A. B．6 C．12 D．8‎ ‎3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则cosα的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．如图1，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　)‎ 图1‎ A．1 B．1.5 C．2 D．3‎ ‎5．如图2，∠AOB在正方形网格中，则cos∠AOB的值为(　　)‎ ‎　　　‎ 图2‎ A. B. C. D. ‎6．如图3，将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是(　　)‎ ‎　　　‎ 图3‎ A. B. C．2 D. ‎7．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为(　　)‎ 图4‎ A. B. C. D. ‎8．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为(　　)‎ 图5‎ A.米 B．2米 C．2 米 D．3米 ‎9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N处，观测灯塔P在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)(　　)‎ ‎　　　‎ 图6‎ A．22.48海里 B．41.68海里 ‎ C．43.16海里 D．55.63海里 ‎10．如图7，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知BC＝10，cos∠BCD＝，∠BCE＝30°，则线段DE的长是(　　)‎ ‎　　　‎ 图7‎ A. B．7 C．4＋3 D．3＋4 请将选择题答案填入下表：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 总分 答案 第Ⅱ卷　(非选择题　共70分)‎ 二、填空题(每小题3分，共18分)‎ ‎11．如图8，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________．‎ 图8‎ ‎12．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：≈1.4)‎ ‎　　　‎ 图9‎ ‎13．如图10，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，点E，F在线段AD上，tan∠ABC＝3，则阴影部分的面积是________．‎ 图10‎ ‎14．已知△ABC，若与(tanB－)2互为相反数，则∠C的度数是________．‎ ‎15．如图11，已知四边形ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么tan∠PQB的值为________．‎ ‎　　　‎ 图11‎ ‎16.如图12，已知点A(5 ，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB.若∠α＝75°，则b＝________．‎ ‎　　‎ 图12‎ 三、解答题(共52分)‎ ‎17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.‎ ‎18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tanC的值．‎ 图13‎ ‎19.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sinC的值．‎ 图14‎ ‎20．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．‎ ‎(参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈)‎ 图15‎ ‎21．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.‎ ‎(1)求tan∠DBC的值；‎ ‎(2)求证：四边形OBEC是矩形．‎ 图16‎ ‎22．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．‎ 图17‎ ‎23．(9分)阅读下面的材料：‎ 小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：‎ ‎(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示)；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积．‎ 参考小凯思考问题的方法，解决问题：‎ 如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD的面积为________(用含a，b，α的式子表示)．‎ 图18‎ ‎24．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．‎ 在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D(如图19①)，‎ 则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，‎ 于是csinB＝bsinC，即＝，‎ 同理有＝，＝，所以＝＝.‎ 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．‎ 根据上述材料，完成下列各题：‎ ‎(1)如图②，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝________°，AC＝________；‎ ‎(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得海岛A在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A的距离AB.(结果精确到0.01海里，≈2.449)‎ 图19‎ 详解详析 ‎1．C ‎2．B　[解析] 由题意可得sinA＝＝.因为BC＝4，所以AB＝6.‎ ‎3．D　[解析] 因为cos(90°－α)＝，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cosα＝.‎ ‎4．C　[解析] ∵点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，∴tanα＝＝，∴t＝2.‎ ‎5．B　[解析] 如图，连接AC.由网格图的特点，易得△ACO是等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，所以cos∠AOB的值为.‎ ‎6．D　[解析] 如图，连接BD.由网格图的特点可知AD⊥BD，由AD＝2 ，BD＝，可得tanA的值为.‎ ‎7．A　[解析] 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝()2＋22＝9，∴AB＝3.∵∠B＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sinB＝＝.故选A.‎ ‎8．A　[解析] 如图，设中央转轴底端为A，两立柱底端的点为B，C，BC的中点为D，则有AB＝AC＝2米，所以AD⊥BC，且CD＝1米，所以AD＝米．‎ ‎9．B　[解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝60(海里)．‎ ‎∵∠PMN＝22°，∠PNA＝44°，‎ ‎∴∠MPN＝∠PNA－∠PMN＝22°，‎ ‎∴∠PMN＝∠MPN，‎ ‎∴MN＝PN＝60海里．‎ ‎∵∠PNA＝44°，‎ ‎∴在Rt△NAP中，PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)．‎ 故选B.‎ ‎10．D　[解析] 如图，过点B作BF⊥DE于点F.‎ 在Rt△CBD中，∵BC＝10，cos∠BCD＝，‎ ‎∴DC＝6，∴BD＝8.‎ 在Rt△BCE中，BC＝10，∠BCE＝30°，‎ ‎∴BE＝5.‎ 在Rt△BDF中，∠BDF＝∠BCE＝30°，BD＝8，‎ ‎∴DF＝BD·cos30°＝4 .‎ 在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BCD，‎ 即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，‎ ‎∴EF＝BE·cos∠BEF＝3，‎ ‎∴DE＝EF＋DF＝3＋4 .‎ ‎11．14a2　12.17‎ ‎13．6　[解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半．因为BD＝BC＝2，AD⊥BC，tan∠ABC＝3，所以AD＝6，所以△ABC的面积为12，所以阴影部分的面积为6.‎ ‎14．90°　[解析] 由题意得sinA＝，tanB＝，所以∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠C的度数是90°.‎ ‎15．2－　[解析] 延长QP交AB于点F.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形，‎ ‎∴四边形PCQD是菱形．‎ 设正方形ABCD的边长为a，则可得PE＝QE＝a，DE＝EC＝a，FB＝a，‎ ‎∴tan∠PQB＝＝＝2－.‎ ‎16．5　[解析] 设直线y＝x＋b(b＞0)与x轴交于点C，易得C(－b，0)，B(0，b)，‎ 所以OC＝OB，‎ 所以∠BCO＝45°.‎ 又因为α＝75°，所以∠BAO＝30°.‎ 因为OA＝5 ，所以OB＝5，所以b＝5.‎ ‎17. ‎18．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.‎ 在Rt△ABD中，∠B＝45°，‎ ‎∵sinB＝，‎ ‎∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4×＝2 ，‎ ‎∴BD＝AD＝2 .‎ 在Rt△ADC中，AC＝6，‎ 由勾股定理，得DC＝＝＝2 ，‎ ‎∴BC＝BD＋DC＝2 ＋2 ，‎ tanC＝＝＝.‎ ‎19．解：如图，过点A作AD⊥OB于点D.‎ ‎∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，‎ ‎∴OD＝AD＝OA·cos45°＝1×＝，‎ ‎∴BD＝OB－OD＝1－，‎ ‎∴AB＝＝＝.‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC＝90°，AC＝2，‎ ‎∴sinC＝＝.‎ ‎20．解：如图，过点B作BF⊥AE于点F，‎ 则BF＝DE.‎ 在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，‎ 则BF＝AB·sin∠BAF≈10×＝6(m)．‎ 在Rt△CDB中，tan∠CBD＝，则CD＝BD·tan65°≈10×≈21(m)．‎ 则CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈6＋21＝27(m)．‎ 答：大楼CE的高度约是27 m.‎ ‎21．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC＋∠BAD＝180°.‎ 又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，‎ ‎∴∠ABC＝60°.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC＝30°，‎ ‎∴tan∠DBC＝tan30°＝.‎ ‎(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠BOC＝90°.‎ ‎∵BE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴∠OBE＝∠BOC＝∠OCE＝90°，‎ ‎∴四边形OBEC是矩形．‎ ‎22．解：如图所示，过点E作EC⊥BD于点C，‎ 设BC＝x米．‎ ‎∵∠ABE＝120°，‎ ‎∴∠CBE＝60°.‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵∠CBE＝60°，‎ ‎∴tan60°＝＝，即CE＝x米．‎ ‎∵背水坡AF的坡度i＝1∶1，∴＝1.‎ ‎∵AC＝(3＋x)米，CF＝(1＋x)米，‎ ‎∴＝1，解得x＝＋1，‎ ‎∴EC＝x＝(3＋)米．‎ 答：水坝原来的高度为(3＋)米．‎ ‎23．解：(1)∵AO＝m，∠AOB＝30°，∴AE＝m，‎ ‎∴△ABD的面积为×m×6＝m.‎ 故答案为 m.‎ ‎(2)由(1)得S△ABD＝m.‎ 同理，CF＝(4－m)，‎ ‎∴S△BCD＝BD·CF＝6－m.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝6.‎ 解决问题：分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为x.‎ ‎∵∠AOB＝α，‎ ‎∴AE＝x·sinα，‎ ‎∴S△ABD＝BD·AE＝b·x·sinα.‎ 同理，CF＝(a－x)·sinα，‎ ‎∴S△BCD＝BD·CF＝b·(a－x)·sinα.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝b·x·sinα＋b·(a－x)·sinα＝ab·sinα.‎ 故答案为ab·sinα.‎ ‎24．解：(1)60　20 ‎(2)依题意，得BC＝40×0.5＝20(海里)．‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴∠DCB＋∠CBE＝180°.‎ ‎∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.‎ ‎∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，‎ ‎∴∠A＝45°.‎ 在△ABC中，＝，‎ 即＝，‎ 解得AB＝10 ≈24.49(海里)．‎ 答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．‎